La funzione di ripartizione costituisce l’elemento unificante della teoria delle vc continue e discrete:
se X è continua
.
.
se X è discreta
Ed infatti l’integrale costituisce l’estensione al continuo del concetto di somma.
Una funzione F(x) è una funzione di ripartizione se:
1) F(x) è non decrescente e quindi se per ;
.
2) e    Â
.
3) F(x) è continua da destra:  Â
La conoscenza della funzione di ripartizione di una vc X equivale alla conoscenza della vc stessa, infatti:
Se due vc hanno la medesima funzione di ripartizione esse si dicono somiglianti.
Si consideri la prova consistente nel lancio di un dado e la variabile casuale X discreta che associa ad ogni evento dello spazio campione, un numero reale pari al numero che compare sulla faccia del dado.
La vc assume tutti i valori interi da 1 a 6 con probabilità costante pari ad 1/6. In figura è riportata la corrispondente funzione di ripartizione F(x).
In caso di vc continue attraverso la funzione di ripartizione F(x) è possibile calcolare la probabilità che la vc assuma valore in qualunque intervallo;
Si consideri infatti il caso illustrato in figura, si ha che:
Nello studio delle vc assumono particolare rilievo alcuni valori medi detti momenti che servono a metterne in luce alcune caratteristiche.
Sia X una vc ed g(x) una funzione misurabile della vc, si definisce valore medio o momento di g(x) la seguente espressione:
A seconda di come viene specificata la funzione g(x) si hanno diversi tipi di momenti, in particolare, se g(x) è la funzione potenza r-esima di X si hanno i cd momenti di ordine r rispetto all’origine definiti come:
Tali momenti denotati nel prosieguo con sono quindi definiti come valore medio di una potenza r-esima della vc sempre che l’integrale o la somma convergano poiché i momenti esistono se esistono finiti.
Per r=0 si ha mentre, per r=1 :è
se X è continua
se X è discreta
Tale momento di ordine 1 o momento primo è il valore medio per eccellenza e vien denotato semplicemente con . Per la legge empirica del caso, infatti, la frequenza relativa con cui in un gran numero di prove si presentano i valori della vc approssima le rispettive probabilità pertanto il momento primo rappresenta la media dei risultati che si otterrebbero in un numero sufficientemente grande di prove e perciò esso è detto valore atteso.
Il valore atteso gode di proprietà analoghe a quelle della media aritmetica in ambito statistico
Riprendiamo l’esempio della vc X discreta “numero di teste in 3 lanci di una moneta“, la cui distribuzione di probabilità è riportata di fianco.
Il valore atteso di X risulta essere:
Avendo introdotto il valore atteso è possibile definire la vc scarto:
I momenti di ordine r di tale vc casuale, ovvero i valori medi delle sue potenze r-esime sono denotati con , vengono detti momenti di ordine r rispetto al valore atteso e rivestono anch’essi particolare interesse nello studio delle vc come si vedrà in seguito.
1. Introduzione al corso: cenni storici, definizioni alternative, ...
2. Postulati e teoremi del calcolo delle probabilità , probabilitÃ...
3. Esercizi ricapitolativi di calcolo delle probabilitÃ
4. Elementi di calcolo combinatorio
5. Teoria delle variabili casuali
6. Funzione di ripartizione e momenti delle variabili casuali
7. Momenti delle variabili casuali
8. Disuguaglianza di Cebicev, funzione generatrice dei momenti
10. Legami tra variabili casuali
11. Trasformazioni di vc, successioni e criteri di convergenza
12. Modelli per vc discrete: vc uniforme discreta e vc di Bernoulli
13. Modelli per vc discrete: la vc binomiale
14. Modelli per vc discrete: la vc di Poisson
15. Modelli per vc continue: le vc uniforme continua
16. Modelli per vc continue: la vc Beta e la vc Esponenziale Negati...
17. Modelli per vc continue: la vc Esponenziale Negativa e la vc Ga...
18. Modelli per vc continue: la vc Normale
19. La vc Normale Standardizzata
20. Variabili casuali connesse alla Normale
21. Uso delle tavole statistiche relative alle vc connesse alla Nor...