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Carmela Cappelli » 6.Funzione di ripartizione e momenti delle variabili casuali


La Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione costituisce l’elemento unificante della teoria delle vc continue e discrete:
F(x)=Pr( X \leq x)= \int_{- \infty}^{x}f(x)dx se X è continua

.

.

F(x)=Pr( X \leq x)= \sum_{x_i \leq x} p_i se X è discreta
Ed infatti l’integrale costituisce l’estensione al continuo del concetto di somma.
Una funzione F(x) è una funzione di ripartizione se:

1) F(x) è non decrescente e quindi se per x_1< x_2 \rightarrow F(x_1) \leq F(x_2);

.
2) \lim_{x\rightarrow -\infty}F(x)=0 e      \lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)=1

.

3) F(x) è continua da destra:    \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}} F(x)=F(x_0)

La Funzione di ripartizione (segue)

La conoscenza della funzione di ripartizione di una vc X equivale alla conoscenza della vc stessa, infatti:

  • Se la vc è continua F(x) è una funzione continua su R ed ogni evento può essere ricondotto all’unione, negazione o intersezione di intervalli del tipo (-∞,x) di cui la F(x) fornisce la probabilità;
  • Se la vc X è discreta, F(x) è una funzione a gradini costante su intervalli di R che cresce un numero finito di volte nei valori x1, x2, …, xi assunti dalla vc ed il rispettivo gradino è dato dalle probabilità p1, p2, …, pi. Essa è comunque definita su tutto l’asse reale perché per un dato x0, F(x0) rappresenta la probabilità di tutti i valori inferiori od uguali ad x0 (per la proprietà 3).

Se due vc hanno la medesima funzione di ripartizione esse si dicono somiglianti.

La Funzione di ripartizione – esempio

Si consideri la prova consistente nel lancio di un dado e la variabile casuale X discreta che associa ad ogni evento dello spazio campione, un numero reale pari al numero che compare sulla faccia del dado.

La vc assume tutti i valori interi da 1 a 6 con probabilità costante pari ad 1/6. In figura è riportata la corrispondente funzione di ripartizione F(x).

Funzione di ripartizione della vc discreta legata al lancio di un dado.

Funzione di ripartizione della vc discreta legata al lancio di un dado.


La Funzione di ripartizione – esempio

In caso di vc continue attraverso la funzione di ripartizione F(x) è possibile calcolare la probabilità che la vc assuma valore in qualunque intervallo;
Si consideri infatti il caso illustrato in figura, si ha che:

Pr( x_0 \leq X < x_1)= Pr[(X \leq x_1) \cup (\overline {X \leq x_0})]= F(x_1)-F(x_0)=\int_{x_0}^{x_1} f(x )dx


Momenti delle vc

Nello studio delle vc assumono particolare rilievo alcuni valori medi detti momenti che servono a metterne in luce alcune caratteristiche.
Sia X una vc ed g(x) una funzione misurabile della vc, si definisce valore medio o momento di g(x) la seguente espressione:

  • E[g(x)]= \int_{- \infty}^{+\infty} g(x) f(x)dx se X è continua
  • E[g(x)]= \sum g(x_i)p_i se X è discreta

Momenti di ordine r delle vc

A seconda di come viene specificata la funzione g(x) si hanno diversi tipi di momenti, in particolare, se g(x) è la funzione potenza r-esima di X si hanno i cd momenti di ordine r rispetto all’origine definiti come:

  • E[X^r]= \int_{- \infty}^{+\infty} x^r f(x)dx se X è continua
  • E[X^r]= \sum x_{i}^r p_i se X è discreta

Tali momenti denotati nel prosieguo con \mu_r sono quindi definiti come valore medio di una potenza r-esima della vc sempre che l’integrale o la somma convergano poiché i momenti esistono se esistono finiti.

Valore atteso

Per r=0 si ha \mu_0=1 mentre, per r=1 :è

E[X]= \int_{- \infty}^{+\infty} x f(x)dx se X è continua
E[X]= \sum x_i p_i se X è discreta
Tale momento di ordine 1 o momento primo è il valore medio per eccellenza e vien denotato semplicemente con \mu. Per la legge empirica del caso, infatti, la frequenza relativa con cui in un gran numero di prove si presentano i valori della vc approssima le rispettive probabilità pertanto il momento primo rappresenta la media dei risultati che si otterrebbero in un numero sufficientemente grande di prove e perciò esso è detto valore atteso.

Proprietà del valore atteso

Il valore atteso gode di proprietà analoghe a quelle della media aritmetica in ambito statistico

  • E[aX]= aE(X)
  • E[b]= b
  • E[X+Y]= E(X)+E(Y)
  • E(X+c)=E(X)+c
  • E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

Valore atteso – esempio

Riprendiamo l’esempio della vc X discreta “numero di teste in 3 lanci di una moneta“, la cui distribuzione di probabilità è riportata di fianco.
Il valore atteso di X risulta essere:

E[X]= \sum x_i p_i=0*1/8+1*3/8+2*3/8+3*1/8= 12/8=3/2=1.5


La vc scarto

Avendo introdotto il valore atteso è possibile definire la vc scarto:

X-\mu
I momenti di ordine r di tale vc casuale, ovvero i valori medi delle sue potenze r-esime sono denotati con \bar \mu^r, vengono detti momenti di ordine r rispetto al valore atteso e rivestono anch’essi particolare interesse nello studio delle vc come si vedrà in seguito.

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