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Carmela Cappelli » 24.Alcuni teoremi limite sulle variabili casuali


Introduzione

Nell’ambito del calcolo delle probabilità assumono particolare rilievo alcuni teoremi asintotici che attengono alla convergenza di una successione di vc ad una costante oppure ad una distribuzione nota.
Nel primo caso si parla di leggi dei grandi numeri; tali teoremi muovono dalla constatazione empirico-sperimentale che in una successione di prove, all’aumentare del numero delle stesse, la frequenza relativa con cui un evento si manifesta tende a stabilizzarsi e per vc continue la media calcolata su un campione di osservazioni al crescere della dimensione campionaria si stabilizza e converge verso la media della popolazione.

Leggi dei grandi numeri

Le leggi dei grandi numeri si distinguono in leggi definite deboli quando la convergenza è in probabilità e forti quando la convergenza è quasi certa.
Cominciamo ad esaminare tali leggi ipotizzando il caso di prove bernoulliane ed introduciamo a tal fine
la successione X_n di vc generate dalla ripetizione di un esperimento bernoulliano in cui la probabilità che un evento di interesse E si verifichi è costante e pari a \theta e sia
S_n=\sum_{i=1}^n X_i con n= 1,\dots,n la successione delle somme parziali.
Per un dato valore di n, si ha che S_n = \sum_{i=1}^n X_i \sim \Bin (n, \theta) pertanto,
E(S_n)=n \theta ed Var(S_n)= n \theta(1- \theta)
Si noti che S_n esprime la frequenza assoluta con cui si verifica l’evento E nelle n prove ed i suoi momenti crescono al crescere di n.
Invece la vc frequenza relativa F_n =\frac{S_n}{n} ha valore medio costante e pari a \theta e varianza \frac{\theta(1- \theta)}{n} decrescente al crescere di n.

Legge debole dei grandi numeri per prove bernoulliane

Data la successione X_n di vc indipendenti e somiglianti alla vc X \sim Ber(\theta)
la legge debole dei grandi numeri per prove bernoulliane (teorema di Bernoulli) afferma che:
F_n \stackrel{mq}\rightarrow \theta e quindi F_n \stackrel{p}\rightarrow \theta .
La dimostrazione del teorema è immediata poiché dalla definizione di convergenza in media quadratica si ha:
\lim_{n \rightarrow \infty} E(F_n- \theta)^2= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\theta(1- \theta)}{n}=0 e la convergenza in media quadratica implica quella in probabilità:

\lim_{n \rightarrow \infty} Pr (|F_n- \theta| < \epsilon)=1

Legge forte dei grandi numeri per prove bernoulliane

Si deve invece a Borel la cd legge forte dei grandi numeri per prove bernoulliane che stabilisce la convergenza quasi certa ovvero , se X_n \sim Ber (\theta) allora
F_n \stackrel{qc}\rightarrow \theta
Si noti come le leggi dei grandi rappresentano un forte argomento a favore della impostazione frequentista al calcolo delle probabilità. Esse affermano che successione delle vc media aritmetica F_n=\frac{S_n}{n}=\frac{\sum_{i}X_i}{n} converge al valore medio costante
E(X_i)= \theta in ogni sottoprova.

Legge debole per prove bernoulliane differenti

Entrambi teoremi appena visti assumono che le vc della successione siano identicamente distribuite, Poisson realizzò che la condizione della somiglianza non era necessaria, giungendo ad una estensione della legge debole al caso di prove bernoulliane differenti.
Sia X_n una successione di vc di Bernoulli indipendenti e di valore atteso E(X_i)= \theta_i tali cioè che la generica vc della successione X_i \sim Ber (\theta_i) .
La vc F_n =\sum_{i=1}^{n} X_i converge in probabilità al valore medio =\sum_{i=1}^{n} \frac{\theta_i}{n} ovvero \lim_{n \rightarrow \infty} Pr (|F_n- \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \theta_i | < \epsilon)=1

Il teorema può essere esteso a vc indipendenti e somiglianti (o solo indipendenti) di qualsiasi natura svincolando il risultato dalla natura bernuolliana della prove; a seconda delle ipotesi formulate sulla esistenza dei momenti e/o sul loro comportamento asintotico si hanno diverse formulazioni che prendono semplicemente il nome di leggi dei grandi numeri.

Teorema limite centrale

Il teorema limite centrale costituisce uno dei risultati più rilevanti nell’ambito della statistica ed il calcolo probabilità per le numerose applicazioni e per l’intrinseco valore scientifico. Esso è stato così denominato da Polya quasi per sottolineare che esso attiene alla convergenza di una vc di forma qualsiasi ad una centrata sulla media (come la vc Normale).
In effetti tale teorema, nella sua varie formulazioni definisce le condizioni sotto le quali una successione di vc casuali indipendenti ed identicamente distribuite converge alla distribuzione normale.
Le condizioni riguardano essenzialmente la distribuzione delle vc della successione e la esistenza dei loro momenti.

Teorema limite centrale: esempio

Si consideri il caso di una vc discreta X1 che assume i soli valori:
1 con probabilità 1/6
2 con probabilità 2/6
3 con probabilità 3/6
la distribuzione di probabilità è rappresentata graficamente in figura.

Distribuzione di probabilità della vc  discreta X1

Distribuzione di probabilità della vc discreta X1


Teorema limite centrale: esempio (segue)


Teorema limite centrale: esempio (segue)


Teorema limite centrale- De Moivre Laplace

La prima formulazione del teorema limite centrale considera una somma di vc di Bernoulli ed è stata proposta da De Moivre nel 1718 in maniera non rigorosa; sebbene il risultato fosse poi impiegato ampiamente da Gauss nell’ambito della sua teoria degli errori accidentali, la dimostrazione si a Laplace, pertanto si parla di teorema di de Moivre- Laplace.
Sia X_n una successione di vc indipendenti ed identicamente distribuite come una vc di bernoulli di parametro \theta che rappresenta la probabilità di successo \theta= Pr(X_n=1) ed inoltre, ricordiamo, \theta= E(X_n) , Il teromea di De Moivre alplace affrema che:
Z_n= \frac{S_n- n\theta}{\sqrt{(n\theta(1-\theta)}} \stackrel{d} \rightarrow Z \sim N(0,1)

Teorema limite centrale – Lindberg e Lévy

La formulazione più ricorrente del teorema limite centrale si deve a Lindberg e Lévy; esso generalizza il teorema di de Moivre e Laplace prescindendo dalla distribuzione bernoulliana della vc della successione imponendo una condizione sulla esistenza del momento secondo.

Sia X_n una successione di vc indipendenti ed identicamente distribuite con valore atteso \mu e varianza 0< \sigma^2 <+ \infty si ha che:
Z_n \stackrel{d} \rightarrow Z \sim N(0,1)

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