Nell’ambito del calcolo delle probabilità assumono particolare rilievo alcuni teoremi asintotici che attengono alla convergenza di una successione di vc ad una costante oppure ad una distribuzione nota.
Nel primo caso si parla di leggi dei grandi numeri; tali teoremi muovono dalla constatazione empirico-sperimentale che in una successione di prove, all’aumentare del numero delle stesse, la frequenza relativa con cui un evento si manifesta tende a stabilizzarsi e per vc continue la media calcolata su un campione di osservazioni al crescere della dimensione campionaria si stabilizza e converge verso la media della popolazione.
Le leggi dei grandi numeri si distinguono in leggi definite deboli quando la convergenza è in probabilità e forti quando la convergenza è quasi certa.
Cominciamo ad esaminare tali leggi ipotizzando il caso di prove bernoulliane ed introduciamo a tal fine
la successione di vc generate dalla ripetizione di un esperimento bernoulliano in cui la probabilità che un evento di interesse E si verifichi è costante e pari a e sia
con la successione delle somme parziali.
Per un dato valore di n, si ha che pertanto,
ed
Si noti che esprime la frequenza assoluta con cui si verifica l’evento E nelle n prove ed i suoi momenti crescono al crescere di n.
Invece la vc frequenza relativa ha valore medio costante e pari a e varianza decrescente al crescere di n.
Data la successione di vc indipendenti e somiglianti alla vc
la legge debole dei grandi numeri per prove bernoulliane (teorema di Bernoulli) afferma che:
e quindi .
La dimostrazione del teorema è immediata poiché dalla definizione di convergenza in media quadratica si ha:
e la convergenza in media quadratica implica quella in probabilità :
Si deve invece a Borel la cd legge forte dei grandi numeri per prove bernoulliane che stabilisce la convergenza quasi certa ovvero , se allora
Si noti come le leggi dei grandi rappresentano un forte argomento a favore della impostazione frequentista al calcolo delle probabilità . Esse affermano che successione delle vc media aritmetica converge al valore medio costante
in ogni sottoprova.
Entrambi teoremi appena visti assumono che le vc della successione siano identicamente distribuite, Poisson realizzò che la condizione della somiglianza non era necessaria, giungendo ad una estensione della legge debole al caso di prove bernoulliane differenti.
Sia una successione di vc di Bernoulli indipendenti e di valore atteso tali cioè che la generica vc della successione .
La vc converge in probabilità al valore medio ovvero
Il teorema può essere esteso a vc indipendenti e somiglianti (o solo indipendenti) di qualsiasi natura svincolando il risultato dalla natura bernuolliana della prove; a seconda delle ipotesi formulate sulla esistenza dei momenti e/o sul loro comportamento asintotico si hanno diverse formulazioni che prendono semplicemente il nome di leggi dei grandi numeri.
Il teorema limite centrale costituisce uno dei risultati più rilevanti nell’ambito della statistica ed il calcolo probabilità per le numerose applicazioni e per l’intrinseco valore scientifico. Esso è stato così denominato da Polya quasi per sottolineare che esso attiene alla convergenza di una vc di forma qualsiasi ad una centrata sulla media (come la vc Normale).
In effetti tale teorema, nella sua varie formulazioni definisce le condizioni sotto le quali una successione di vc casuali indipendenti ed identicamente distribuite converge alla distribuzione normale.
Le condizioni riguardano essenzialmente la distribuzione delle vc della successione e la esistenza dei loro momenti.
Si consideri il caso di una vc discreta X1 che assume i soli valori:
1 con probabilità 1/6
2 con probabilità 2/6
3 con probabilità 3/6
la distribuzione di probabilità è rappresentata graficamente in figura.
La prima formulazione del teorema limite centrale considera una somma di vc di Bernoulli ed è stata proposta da De Moivre nel 1718 in maniera non rigorosa; sebbene il risultato fosse poi impiegato ampiamente da Gauss nell’ambito della sua teoria degli errori accidentali, la dimostrazione si a Laplace, pertanto si parla di teorema di de Moivre- Laplace.
Sia una successione di vc indipendenti ed identicamente distribuite come una vc di bernoulli di parametro che rappresenta la probabilità di successo ed inoltre, ricordiamo, , Il teromea di De Moivre alplace affrema che:
La formulazione più ricorrente del teorema limite centrale si deve a Lindberg e Lévy; esso generalizza il teorema di de Moivre e Laplace prescindendo dalla distribuzione bernoulliana della vc della successione imponendo una condizione sulla esistenza del momento secondo.
Sia una successione di vc indipendenti ed identicamente distribuite con valore atteso e varianza si ha che:
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