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Carmela Cappelli » 11.Trasformazioni di vc, successioni e criteri di convergenza

Trasformazioni di vc

Data una vc X la cui distribuzione è nota, sovente è di interesse studiare una sua trasformata Y=T(X);
Ai fini di tale studio sono possibili 3 approcci alternativi che utilizzano rispettivamente:

La funzione di ripartizione di X;
La funzione di densità;
La funzione generatrice dei momenti.

Funzione di ripartizione di una trasformata di X

Sia Y=T(X) una trasformata della vc X che ha funzione di ripartizione nota F(x). Se la funzione T(.) è monotona sul supporto di X la funzione di ripartizione della trasformata può essere agevolmente ricavata. Distinguiamo due casi:

La funzione T() è monotona crescente, allora:
- $F_{Y}(y)= Pr(T(X) \leq y) =Pr (T^{-1} T(X) \leq (T^{-1} (y)) =Pr(X \leq (T^{-1} (y))= F _{X}(T^{-1} (y)).$

La funzione T() è monotona decrescente, allora:
- $F_{Y}(y)= Pr(T(X) \leq y) =Pr (T^{-1} T(X) \geq (T^{-1} (y)) =Pr(X \geq (T^{-1} (y))= 1- F _{X}(T^{-1} (y))$

Funzione di densità di una trasformata di X

Sia Y=T(X) una trasformata della vc X che ha funzione di ripartizione nota F(x). Se la funzione T(.) è monotona e differenziabile ed ammette inversa sul supporto di X, la funzione di densità della trasformata risulta essere:
$g(y)=f (T^{-1} (y)) \mid \frac{d T^{-1}(y)}{dy} \mid$

Tale risultato si fonda sulla differenziazione del risultato appena visto per la funzione di ripartizione. Considerando infatti il caso in cui T(.) sia monotona crescente essendo $F_{Y}(y)= F _{X}(T^{-1} (y))$ si ha:

$g(y)=\frac{d F_{Y}(y)}{dy}= \frac{ d F_{X}T^{-1}(y)}{dy}= f(T^{-1}(y)) \frac{d T^{-1}(y)}{dy}$

FGM di una trasformata di X

Un ulteriore approccio allo studio della trasformata T(X) della vc X si fonda sulla funzione generatrice dei momenti Gx(t). Se tale funzione infatti esiste, ovvero è ben definita in un intorno dell’origine, essa identifica univocamente la vc. Se assume una forma nota e “trattabile” può essere efficacemente utilizzata per ricavare la fgm della trasformata.
L’importanza di tale approccio, come vedremo nel prosieguo, deriva dal seguente teorema:
Sia $(X_1,X_2,\[...X_k)$ una vc mutivariata a componenti indipendenti ognuna della quali possiede fgm $G_i(t)$ e sia $S=\sum_{i=1}^{k} X_i}$ la vc somma. Tale vc somma ha la seguente fgm: $G_s(t)=G_1(t) G_2(t)\dots G_k(t) =\prod_{i=1}^{k}G_i(t)$

Successioni di vc

Alcune situazioni sperimentali danno luogo ad una successione (infinita) di sottoprove a cui sono associate altrettante vc.
Formalmente una successione di vc è definita come una regola che associa ad ogni n=1,2,… una vc $X_n$ con funzione di ripartizione $F_n(x)$ .
In tale caso è di interesse studiare il comportamento asintotico delle vc quando n cresce all’infinito. Si parla a tale proposito di convergenza.

Criteri di convergenza

I principali criteri di convergenza che studiamo sono:

Convergenza in distribuzione;
Convergenza in probabilità;
Convergenza in media quadratica;
Convergenza quasi certa.

Convergenza in distribuzione

Sia $X_n$ una successione di vc con funzione di ripartizione $F_n(x)$ e sia $X$ un’altra vc con funzione di ripartizione $F (x)$ , se:

$\lim_{n\rightarrow \infty} F_n(x)= F(x)$

Si dice che la successione converge in distribuzione alla vc X e si scrive $X_n \stackrel{d}\rightarrow X$ .
Tale tipo di convergenza attenendo alla funzione di distribuzione è legata al concetto di somiglianza tra vc ed include il caso di convergenza ad una costante quando cioè la successione converge ad una vc degenere che assume con probabilità pari ad 1 un valore costante.

Convergenza in probabilità

Sia $X_n$ una successione di vc con funzione di ripartizione $F_n(x)$ e sia $X$ un’altra vc con funzione di ripartizione $F (x)$ , se

$\forall \epsilon >0$ $\lim_{n\rightarrow \infty} Pr( \mid X_n-X \mid < \epsilon) =1$

si dice che la successione converge in probabilità alla vc X si scrive $X_n \stackrel{p}\rightarrow X$

Tale tipo di convergenza ha natura probabilistica nel senso che al crescere di n la probabilità che $X_n$ assuma valori vicini ad X tende all’unità, ovvero l’evento $\mid X_n-X \mid < \epsilon$ tende a divenire l’evento certo.

Se la vc X è degenere allora si ha la convergenza in probabilità ad una costante e vale il seguente risultato:
$X_n \stackrel{d}\rightarrow \Theta \Longleftrightarrow X_n \stackrel{p}\rightarrow \Theta$

Convergenza in media quadratica

Un ulteriore tipo di convergenza è definito mediante i momenti del secondo ordine.
Formalmente data una successione di vc $X_n$ e un’altra vc s $X$ se:
$\lim_{n\rightarrow \infty} E(X_n-X)^2 =0$

Si dice che la successione converge in media quadratica alla vc X e si scrive $X_n \stackrel{mq}\rightarrow X$ . Dalla espressione si evince che tale tipo di convergenza si fonda sul fatto che al crescere di n la distribuzione della successione si addensa su quella di X e quindi la vc $(X_n - X)$ diviene degenere.
E’ possibile dimostrare che se $X_n \stackrel{mq}\rightarrow X$ allora $E(X_n) \rightarrow E(X)$ e $Var(X_n) \rightarrow Var(X)$ .

Convergenza quasi certa

Un criterio molto forte di convergenza è costituito dalla convergenza quasi certa. Formalmente la successione di vc $X_n$ converge quasi certamente all vc $X$ se: $\lim_{n\rightarrow \infty} Pr( \mid X_{n_0}-X \mid < \epsilon, \forall n_0 \geq n) =1, \forall \epsilon>0$
e si scrive: $X_n \stackrel{qc}\rightarrow X$ .
Tale criterio somiglia a quello visto per la convergenza in probabilità ma è molto più forte poiché richiede che esista un $n_0$ a partite dal quale la condizione di vicinanza probabilistica è soddisfatta congiuntamente per tutti gli eventi $\mid X_{n_0}-X \mid$

Legami tra i criteri di convergenza

Data una successione di vc $X_n$ e un’altra vc s $X$ i legami esistenti tra i diversi tipi di convergenza sono riassunti nello schema in figura, quindi, tanto la convergenza quasi certa che quella in media quadratica implicano la convergenza in probabilità che a sua volta implica quella in distribuzione.

Valori medi di funzioni di vc

Sia $X_1,X_2,\dots X_n$ una successione di vc e $a_1,a_2,\dots, a_n$ una successione di costanti tali che la successione possiede il momento secondo e $\sum_{i=1}^{\infty} a_i^2 < + \infty$ . Allora esistono il valore medio e la varianza della vc $\sum_{i=1}^{\infty} a_i X_i$ che sono definite come segue: