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Carmela Cappelli » 21.Uso delle tavole statistiche relative alle vc connesse alla Normale


Introduzione

Per le vc connesse alla vc Normale viste nella lezione precedente, ovvero la vc Chi- quadrato, la F di Fisher e la T di Student non è possibile esplicitare la funzione di ripartizione pertanto vengono utilizzate delle apposite tavole statistiche. La struttura di tali tavole differisce da quella vista per la la vc Normale standardizzata poiché quest’ultima riporta il valore della funzione di ripartizione corrispondente ad un intervallo di valori assunti dalla vc mentre, le tavole delle vc connesse alla Normale riportano i quantili per prefissati valori della probabilità \alpha , al variare dei rispettivi gradi di libertà.
Quindi, tali tavole riportano i valori del tipo x_{\alpha} tali che:
Pr( X> x_{\alpha})= \alpha

La tavola della vc Chi- quadrato

La tavola statistica della vc Chi-quadrato presenta la struttura indicata nella immagine a lato.
La tavola riporta in riga alcuni valori dei gradi di libertà g ed in colonna prefissati valori della probabilità \alpha ; pertanto, all’incrocio tra una riga ed una colonna vi è il valore \chi^2_{\alpha} ovvero il valore tale che Pr( \chi ^2_{(g)} > \chi^2_{\alpha}) = \alpha

Fonte: Wikipedia, valori critici calcolati con la funzione qchisq( ,1:30) del software R .

Fonte: Wikipedia, valori critici calcolati con la funzione qchisq( ,1:30) del software R .


Uso della tavola della vc Chi- quadrato

Esempio 1
Si vuole determinare il valore \chi^2_{\alpha} tale che
Pr( \chi ^2_{g} > \chi^2_{\alpha}) =\alpha ,  quando g=5 ed \alpha=0.1 dalla consultazione della tavola risulta che tale valore è pari a 1.61

Esempio 2
Si vuole determinare la probabilità Pr( \chi ^2_{10} > 18.307); dalla consultazione della tavola in corrispondenza di g=10 gradi di libertà e del valore \chi^2_{\alpha}= 18.307 risulta che \alpha=0.05

La tavola della vc F di Fisher

Per la vc F di Fisher, siccome essa dipende da due gradi di libertà, quelli del numeratore g_1 e quelli del denominatore g_2 , è necessaria una tavola per ogni valore di probabilità \alpha . In generale le tavole della vc F di Fisher all’incrocio tra un riga ed una colonna riportano il valore Pr( F_{(g_1,g_2)} > F_{\alpha}) = \alpha .
A lato è riportata la tavola corrispondente ad  \alpha=5\%.

Fonte: Wikipedia, valori critici calcolati con la funzione qf(p,g1,g2) del software R.

Fonte: Wikipedia, valori critici calcolati con la funzione qf(p,g1,g2) del software R.


Uso della tavola della vc F di Fisher (segue)

Dalla consultazione della tavola riportata nella slide precedente è possibile determinare il valore F{\{0.05} tale che Pr( F_{g_1,g_2} > F_{\0.05}) =0.05 quindi, ad esempio:
per g_1=10 eg_2=5 tale valore è pari a 4.74
per g_1=30 g_2=60 tale valore è pari a 1.65

La tavola della vc T di student

La tavola statistica della vc T di Student presenta la struttura indicata nella immagine a lato.

In riga sono riportati alcuni valori dei gradi di libertà g ed in colonna prefissati valori \alpha ; pertanto, all’incrocio tra una riga ed una colonna vi è il valore tale che Pr( T_{(g)} > t_{\alpha}) = \alpha

Fonte: Wikipedia, valori critici calcolati con la funzione qt(p,g) del software R .

Fonte: Wikipedia, valori critici calcolati con la funzione qt(p,g) del software R .


Uso della tavola della vc T di Student

Esempio 1
Si vuole determinare il valore t_{\alpha} tale che
Pr( T_{(g)} > t_{\alpha}) =\alpha quando g=10 ed \alpha=0.1. Dalla consultazione della tavola risulta che tale valore è pari a 1.372

Esempio 2
Si vuole determinare la probabilità Pr( T_{(15)} > 2.927); dalla consultazione della tavola in corrispondenza di g=15 gradi di libertà e del valore t_{\alpha}= 2.927 risulta  che \alpha=0.005

Uso della tavola della vc T di Student (segue)

Si noti che siccome la vc T di Student è simmetrica e E(X)=M_o=0, dalla consultazione della relativa tavola statistica, per un dato valore \alpha , è possibile ricavare i valori \pm t_{\alpha /2} tali che:

Pr( - t_{\alpha /2} \leq T_{(g)} \leq t_{\alpha /2})= 1-\alpha

Ad esempio, se \alpha =0.05 g=5 allora \alpha/2 =0.025
e \pm t_{0.025} = \pm 2.571.

Analogamente se g=7 e \pm t_{\alpha /2}=1.415 allora
Pr( - 1.415 \leq T_{(7)} \leq 1.415)= 0.8poiché il valore 1.415 si trova in corrispondenza di un valore di probabilità pari a 0.1 ovvero \alpha /2 =0.1 da cui \alpha=0.2 e quindi 1- \alpha =0.8

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