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Carmela Cappelli » 20.Variabili casuali connesse alla Normale


Introduzione

Numerose vc sono connesse alla vc Normale e rivestono una notevole importanza ai fini della inferenza statistica.
Studiamo in particolare le seguenti vc:

  • Chi- quadrato
  • F di Fisher
  • T di Student

La vc Chi- quadrato

La vc Chi- quadrato è definita come somma di k vc Normali standardizzate indipendenti al quadrato.
Pertanto, sia Z_i  \sim N(0,1) con i=1,\dots,k una sequenza di vc normali standardizzate indipendenti, la vc Chi-quadrato è definita come
X=\sum_{i=1}^k Z_i^2
e si indica con X \sim \chi^2 _{(k)}
Il parametro k per motivi legati all’utilizzo di questa vc nel contesto inferenziale prende il nome di gradi di libertà; tale parametro può assumere qualunque valore reale positivo, tuttavia gli impieghi nell’ambito della statistica sono limitati al caso i cui esso sia un intero positivo.
Si noti che la vc Chi-quadrato costituisce una famiglia parametrica i cui membri sono caratterizzati dal valore assunto dal parametro k

Funzione di densità della vc Chi-quadrato

Andamento della funzione di densità della vc Chi-quadrato la variare del numero di gradi di libertà:
La vc Chi-quadrato ha funzione di densità:
f(x,k)= \frac{1}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma(\frac{k}{2})} \exp(- \frac{x}{2}) x^{\frac{k}{2}-1}, \ x \geq 0
Come mostrato in figura, la forma della funzione di densità è monotona decrescente per k \leq 2 ; per k > 2 presenta invece un massimo intermedio in corrispondenza della moda Mo= k-2 . La sua asimmetria positiva tende ad attenuarsi al crescere dei gradi di libertà e per k \rightarrow \infty assume una forma vieppiù simmetrica prossima alla normale

Andamento della funzione di densità della vc Chi-quadrato la variare del numero di gradi di libertà:

Andamento della funzione di densità della vc Chi-quadrato la variare del numero di gradi di libertà:


Momenti della vc Chi-quadrato

la funzione generatrice dei momenti della vc Chi-quadrato è definita come:
G(t)= E(e^{tx })=(1- 2t){-k/2}
Da cui è agevole ricavare i momenti:
E(X)= \frac{d G(t)}{dt}\mid_{t=0}= k

E(X^2)= \frac{d^2 G(t)}{dt^2}\mid_{t=0}= k^2 +2k

Var(X)= E(X^2) - [E(X)]^2=2k

Vc Chi-quadrato e vc Gamma

La vc Chi-quadrato è una particolare vc Gamma infatti, data la X \sim Ga( \beta, \theta) se
\beta= \frac{k}{2} e \theta= \frac{1}{2} allora X \sim Ga( \frac{1}{2}, \frac{k}{2}) è una vc \chi_{(k)}.
Inoltre, se k=2 allora \beta =1 e la vc \chi_{(2)} coincide con la vc En(\frac{1}{2}) .
Essendo delle particolari vc Gamma le vc Chi-quadrato godono della proprietà riproduttiva, pertanto se
X_m \sim \chi_{(k_m)} si ha che la vc X=\sum_{i=1}^m X_{m} \sim \chi_{(k)}
con k=k_1+k_2+\dots+k_m

La vc F di Fisher

La vc F di Fisher è è definita come rapporto tra due vc Chi-quadrato indipendenti rapporttae ai propri gradi di libertà .
Essa è stata utilizzata da Fisher nell’mabito della Analisi della varianza, tuttavia la sua derivazione si deve a Snedecor, pertanto andrebbe più correttamente denominata come vc di Snedecor e Fisher.
Formlamnte sinao X_1 \sim \chi_{(k_1}) ed X_2 \sim \chi_{(k_2}) due vc Chi-quadrato indipendneti, la vc F di Fisher è definita come:
X=\frac{X_1/k_1}{X_2/k_2}
e viene denotata con X \sim F(k_1, k_2) .
Essa dipende da due parametri, i gradi di libertà del numeratore e del denominatore .

Funzione di densità della vc F di Fisher

La vc F di Fisher ha funzione di densità:
f(x,k_1, k_2)= \frac{(k_1/k_2)^{k_1/2}}{B(k_1/2,k_2/2)} \frac{x^{(k_1/2) -1}} {(1+ \frac{k_1}{k_2}x)^{(k_1+k_2)/2}}, \ x \geq 0
In figura sono riportate alcune funzioni di densità per varie combinazioni dei gradi di libertà.
In generale la funzione di densità è asimmetrica positiva ed presenta una sola moda intermedia (eccettuato il caso in cui k_1=2 in cui la moda si colloca in x=0 ).
Per k_1 \rightarrow \infty e k_2 \rightarrow \infty la funzione di desnità converge in distribuzione a quella di una vc Normale
Andamento della funzione di densità della vc F di Fisher per alcune combinazioni dei valori dei gradi di libertà:


Momenti della vc F di Fisher
LA vc F di Fisaher non possiede la funzione generatrice dei moenti (ovvero essa non esiste finita) ed i suoi momenti di ordine r esistono solo per r < g_2/2 ; essi sono derivabili per integrazione diretta della funzione di densità, in particolare si ha: E(X)= \frac{k_2}{k_2 -2}, k_2>2
Var(X)= \frac{ 2(k_2)^2(k_1+k_2 - 2)}{k_1(k_2-2)^2(k_2-4)}, \ k_2>4

Si noti infine che le vc X ed 1/X appartengono alla stessa famiglia parametrica e dato un |\alpha| <1 si ha: F(k_1, k_2, 1- \alpha)=\frac{1  }{F(k_2, k_1, \alpha)}

La vc T di Student

La vc T di Student come le precedenti, ruveste un’importanza notevole nell’ambito della inferenza statica. Essa fu derivata del chimico Gosset all’inizio del 1900 e deve la sua denominazione al fatto che Gosset firmava i propri lavori con lo pseudonimo Student.
Essa è definita come rapporto tra un vc Normale standardizzata e la radice di un rapportato ai èpropri gradi di libertà, indipendente dal numeratore.
Formalmente se la Z \sim N(0,1) è indipendente dalla vc Y \sim \chi_{(k)} la vc:
X= \frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{k}}}
si definisce vc T di Student e si denota con X \sim T(k)

Funzione di densità della vc T di Student

La vc T di Student ha funzione di densità:
f(x,k)= \frac{\Gamma (\frac{k+1}{2})}{\sqrt{\pi k} \Gamma (\frac{k}{2})} [1+ \frac{x^2}{k}], \ -\infty<+\infty
La forma di tale funzione di densità è molto simile a quella di una vc Normale standardizzata infatti ha forma campanulare e simmetrica ma presenta code più pesanti come mostrato in figura.
L’asse x è asintoto orizzontale, essa possiede due punti flesso in corrispondenza dei valori x \pm \sqrt{g/(g+2)} e per k \rightarrow \infty essa converge alla vc Normale standardizzata

Andamento della funzione di densità della vc F di Fisher per alcune combinazioni dei valori dei gradi di libertà:

Andamento della funzione di densità della vc F di Fisher per alcune combinazioni dei valori dei gradi di libertà:


Momenti della vc T di Student

LA vc T di Student non possiede la funzione generatrice dei momenti. Tutti i suoi moennti diosri szono nulli mnetre i moenti pari esitono solo per ordini 2r < k . In particolare si ha: E(X)= 0 Var(X)= \frac{k}{k-2}, k>2

Si noti che per k \rightarrow \infty per Var(X) \rightarrow 1 confermando la convergenza
vc T di Student alla vc Normale standardizzata

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