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Carmela Cappelli » 20.Variabili casuali connesse alla Normale

Introduzione

Numerose vc sono connesse alla vc Normale e rivestono una notevole importanza ai fini della inferenza statistica.
Studiamo in particolare le seguenti vc:

Chi- quadrato
F di Fisher
T di Student

La vc Chi- quadrato

La vc Chi- quadrato è definita come somma di $k$ vc Normali standardizzate indipendenti al quadrato.
Pertanto, sia $Z_i \sim N(0,1)$ con $i=1,\dots,k$ una sequenza di vc normali standardizzate indipendenti, la vc Chi-quadrato è definita come
$X=\sum_{i=1}^k Z_i^2$
e si indica con $X \sim \chi^2 _{(k)}$
Il parametro $k$ per motivi legati all’utilizzo di questa vc nel contesto inferenziale prende il nome di gradi di libertà; tale parametro può assumere qualunque valore reale positivo, tuttavia gli impieghi nell’ambito della statistica sono limitati al caso i cui esso sia un intero positivo.
Si noti che la vc Chi-quadrato costituisce una famiglia parametrica i cui membri sono caratterizzati dal valore assunto dal parametro $k$

Funzione di densità della vc Chi-quadrato

Andamento della funzione di densità della vc Chi-quadrato la variare del numero di gradi di libertà:
La vc Chi-quadrato ha funzione di densità:
$f(x,k)= \frac{1}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma(\frac{k}{2})} \exp(- \frac{x}{2}) x^{\frac{k}{2}-1}, \ x \geq 0$
Come mostrato in figura, la forma della funzione di densità è monotona decrescente per $k \leq 2$ ; per $k > 2$ presenta invece un massimo intermedio in corrispondenza della moda $Mo= k-2$ . La sua asimmetria positiva tende ad attenuarsi al crescere dei gradi di libertà e per $k \rightarrow \infty$ assume una forma vieppiù simmetrica prossima alla normale

Andamento della funzione di densità della vc Chi-quadrato la variare del numero di gradi di libertà:

Momenti della vc Chi-quadrato

la funzione generatrice dei momenti della vc Chi-quadrato è definita come:
$G(t)= E(e^{tx })=(1- 2t){-k/2}$
Da cui è agevole ricavare i momenti:
$E(X)= \frac{d G(t)}{dt}\mid_{t=0}= k$

$E(X^2)= \frac{d^2 G(t)}{dt^2}\mid_{t=0}= k^2 +2k$

$Var(X)= E(X^2) - [E(X)]^2=2k$

Vc Chi-quadrato e vc Gamma

La vc Chi-quadrato è una particolare vc Gamma infatti, data la $X \sim Ga( \beta, \theta)$ se
$\beta= \frac{k}{2}$ e $\theta= \frac{1}{2}$ allora $X \sim Ga( \frac{1}{2}, \frac{k}{2})$ è una vc $\chi_{(k)}$ .
Inoltre, se $k=2$ allora $\beta =1$ e la vc $\chi_{(2)}$ coincide con la vc $En(\frac{1}{2})$ .
Essendo delle particolari vc Gamma le vc Chi-quadrato godono della proprietà riproduttiva, pertanto se
$X_m \sim \chi_{(k_m)}$ si ha che la vc $X=\sum_{i=1}^m X_{m} \sim \chi_{(k)}$
con $k=k_1+k_2+\dots+k_m$

La vc F di Fisher

La vc F di Fisher è è definita come rapporto tra due vc Chi-quadrato indipendenti rapporttae ai propri gradi di libertà .
Essa è stata utilizzata da Fisher nell’mabito della Analisi della varianza, tuttavia la sua derivazione si deve a Snedecor, pertanto andrebbe più correttamente denominata come vc di Snedecor e Fisher.
Formlamnte sinao $X_1 \sim \chi_{(k_1})$ ed $X_2 \sim \chi_{(k_2})$ due vc Chi-quadrato indipendneti, la vc F di Fisher è definita come:
$X=\frac{X_1/k_1}{X_2/k_2}$
e viene denotata con $X \sim F(k_1, k_2)$ .
Essa dipende da due parametri, i gradi di libertà del numeratore e del denominatore .

Funzione di densità della vc F di Fisher

La vc F di Fisher ha funzione di densità:
$f(x,k_1, k_2)= \frac{(k_1/k_2)^{k_1/2}}{B(k_1/2,k_2/2)} \frac{x^{(k_1/2) -1}} {(1+ \frac{k_1}{k_2}x)^{(k_1+k_2)/2}}, \ x \geq 0$
In figura sono riportate alcune funzioni di densità per varie combinazioni dei gradi di libertà.
In generale la funzione di densità è asimmetrica positiva ed presenta una sola moda intermedia (eccettuato il caso in cui $k_1=2$ in cui la moda si colloca in $x=0$ ).
Per $k_1 \rightarrow \infty$ e $k_2 \rightarrow \infty$ la funzione di desnità converge in distribuzione a quella di una vc Normale
Andamento della funzione di densità della vc F di Fisher per alcune combinazioni dei valori dei gradi di libertà:

Momenti della vc F di Fisher
LA vc F di Fisaher non possiede la funzione generatrice dei moenti (ovvero essa non esiste finita) ed i suoi momenti di ordine r esistono solo per $r < g_2/2$ ; essi sono derivabili per integrazione diretta della funzione di densità, in particolare si ha: $E(X)= \frac{k_2}{k_2 -2}, k_2>2$
$Var(X)= \frac{ 2(k_2)^2(k_1+k_2 - 2)}{k_1(k_2-2)^2(k_2-4)}, \ k_2>4$

Si noti infine che le vc X ed 1/X appartengono alla stessa famiglia parametrica e dato un $|\alpha| <1$ si ha: $F(k_1, k_2, 1- \alpha)=\frac{1 }{F(k_2, k_1, \alpha)}$

La vc T di Student

La vc T di Student come le precedenti, ruveste un’importanza notevole nell’ambito della inferenza statica. Essa fu derivata del chimico Gosset all’inizio del 1900 e deve la sua denominazione al fatto che Gosset firmava i propri lavori con lo pseudonimo Student.
Essa è definita come rapporto tra un vc Normale standardizzata e la radice di un rapportato ai èpropri gradi di libertà, indipendente dal numeratore.
Formalmente se la $Z \sim N(0,1)$ è indipendente dalla vc $Y \sim \chi_{(k)}$ la vc:
$X= \frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{k}}}$
si definisce vc T di Student e si denota con $X \sim T(k)$

Funzione di densità della vc T di Student

La vc T di Student ha funzione di densità:
$f(x,k)= \frac{\Gamma (\frac{k+1}{2})}{\sqrt{\pi k} \Gamma (\frac{k}{2})} [1+ \frac{x^2}{k}], \ -\infty<+\infty$
La forma di tale funzione di densità è molto simile a quella di una vc Normale standardizzata infatti ha forma campanulare e simmetrica ma presenta code più pesanti come mostrato in figura.
L’asse x è asintoto orizzontale, essa possiede due punti flesso in corrispondenza dei valori $x \pm \sqrt{g/(g+2)}$ e per $k \rightarrow \infty$ essa converge alla vc Normale standardizzata

Andamento della funzione di densità della vc F di Fisher per alcune combinazioni dei valori dei gradi di libertà:

Momenti della vc T di Student

LA vc T di Student non possiede la funzione generatrice dei momenti. Tutti i suoi moennti diosri szono nulli mnetre i moenti pari esitono solo per ordini $2r < k$ . In particolare si ha: $E(X)= 0$ $Var(X)= \frac{k}{k-2}, k>2$