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Carmela Cappelli » 16.Modelli per vc continue: la vc Beta e la vc Esponenziale Negativa

Le funzioni Beta e Gamma

Ai fini dello studio di alcune vc continue introduciamo due funzioni matematiche che compaiono nelle funzione di densità di tali vc.
La funzione Beta è definita come:
$B(r,s)= \frac{1}{s} \left (\begin{array}{c} r+s-1 \\r-1\end{array}\right)^{-1}= \frac{\Gamma (r) \Gamma (s)}{ \Gamma (r+s)}$
Con r ed s interi; come si vede la funzione Beta è a sua volta legata alla funzione Gamma:
$\Gamma(k)= \int_0^{\infty} x^{k-1} e^{-x} dx$

Alcuni risultati relativi alla funzione Gamma

Pe la funzione Gamma è opportuno richiamare alcuni risultati che sono utili a fini di calcolo:

$\Gamma(n+1)= n \Gamma(n)$
$\Gamma(\frac{1}{2})= \sqrt{\pi}$
$$\Gamma(n+1)= n$$

La vc Beta

La vc X definita in (0,1) è un vc Beta se ha funzione di densità:
$f(x)=\frac{1}{B(\theta_1, \theta_2)} x^{\theta_1 -1} (1-x)^{\theta_2-1}$
Dove B è la funzione Beta vista in precedenza e $(\theta_1, \theta_2)>0$ ;
per indicare che una vc è distribuita come una vc Beta si usa la notazione: $X \sim Be(\theta_1, \theta_2)$ .
I suoi momenti caratteristici sono:
$E(X)= \frac{\theta_1}{\theta_1+ \theta_2}$
$Var(X)= \frac{\theta_1 \theta_2}{(\theta_1+ \theta_2)^2(\theta_1 +\theta_2 +1)}$

Alcuni risultati sulla vc Beta

Per la vc beta valgono i seguenti risultati:

Per $\theta_1= \theta_2$ la funzione è simmetrica rispetto ad $E(X)=1/2$
Se $\theta_1 =\theta_2 =1$ allora f(x)=1 ovvero la vc Beta è una vc Uniforme continua in (0,1)
Se $X \sim Be(\theta_1, \theta_2)$ allora $(1-X) \sim Be (\theta_2 ,\theta_1)$ cosicché se $\theta_1= \theta_2$ allora X ed (1-X) sono somiglianti

La vc Beta – esempio

Si supponga che la percentuale annua di documenti erronei rilevati da una società di certificazione presso una compagnia sia rappresentata da una vc Beta di parametri $\theta_1=2$ e $\theta_2=3$ . Si calcoli la probabilità che che nell’anno i corso meno del 10% dei documenti risulti erronea.

Soluzione:
La probabilità richiesta è:
$Pr (X < 0.1)= \int_0^{0.1} \frac{1}{ B(2, 3)} x (1-x)^{2}dx$
esplicitando la funzione Beta che compare a denominatore della funzione di densità si ha:
$Pr (X < 0.1)= \frac{\Gamma(5)}{ \Gamma(2) \Gamma(3)}\int_0^{0.1} (1-x)^{2}dx= \frac{4!}{2! } [\frac{x^2}{2}+ \frac{x^4}{4}- \frac{2x^3}{3}]\mid_0^{0.1}= 0.0523$
Dove, per il calcolo dell’integrale, è stato utilizzata la proprietà della linearità degli integrali (l’integrale della somma è pari alla somma degli integrali).

Fenomeni di durata

Ai fini dello studio di fenomeni di durata risulta particolarmente utile la vc esponenziale negativa che costituisce uno dei modelli per variabili casuali continue definite su supporto positivo più diffuso.
Per i fenomeni di durata si ipotizza però la assenza di memoria; in termini di tempo di sopravvivenza, si ipotizza che qualunque sia il tempo t>0 già trascorso, la probabilità di sopravvivere un tempo t+k resta invariata. Ovvero:
$Pr (X>t+k \mid X \geq t)= Pr (X \geq k)$ .

Tale ipotesi è verosimile per componenti elettroniche e particelle ma non per gli esseri viventi complessi.

Fenomeni di durata (segue)

Verosimile: l’ufficio tecnico di un museo ha incaricato un addetto di ordinare un faretto speciale da utilizzare per sostituire in caso di guasto, quello che illumina una installazione. La consegna è prevista non prima di 24 ore. Dato che il faretto ha funzionato per t ore, la probabilità che esso non si rompa nelle 24 ore successive è la stessa che aveva di non rompersi nelle prime t ore.

Inverosimile: La signora Maria aspetta con ansia che il genero la chiami dall’ospedale per annunciarle la nascita della nipotina; dopo t ore, la chiamata non è ancora arrivata, la probabilità che non arrivi nelle prossime 2 ore è la stessa che aveva di non arrivare nelle prime t ore…

La funzione di rischio

Per vc continue definite su supporto positivo che denotano fenomeni di durata è utile introdurre la cd funzione di rischio (hazard function).
Tale funzione, che denotiamo con con $H(x )$ , rappresenta la probabilità che il fenomeno di durata rappresentato dalla vc X duri un infinitesimo oltre $x$ dato che esso è durato fino al tempo $x$ . Per la vc X tale che $Pr (X \geq 0)=1$ la funzione di rischio è definita come:

$H(x)\log= \frac{f(x)}{1- F(x)}= - \frac{d}{d x}[1- F(x)]$
È pertanto possibile far discendere la funzione di ripartizione (o la funzione di densità) dalla conoscenza della funzione di rischio, infatti:
$F(x)= 1 - \exp{[- \int_0^ x H(x) dx]}$

La vc esponenziale negativa

Nel caso di fenomeni di durata senza memoria si assume che la funzione di rischio sia costante,
ovvero $H(x)= \theta$ $\forall x$ dove $\theta >0$ rappresenta la durata media di sopravvivenza supposta appunto costante al trascorre del tempo.
In tale caso risulta:
$F(x)=1- e^{- \int_0^x H(x)dx}=1- e^{-\theta x}$
e la vc X “durata” è la vc esponenziale negativa con parametro $\theta>0$ ; essa si denota con $X \sim En(\theta)$ ed ha funzione di densità:
$f(x)=\theta e^{-\theta x}$

La vc Esponenziale Negativa (segue)

Se si ipotizza una durata minima $\theta_2$ allora il supporto è $(\theta_2, + \infty)$ e la funzione di densità diviene :
$f(x)=\theta_1 \exp [-\theta_1( x- \theta_2)]$ con $x> \theta_2$
Essendo $X^{\prime}= X + \theta_2$ ogni risultato su $X{\prime}$ può essere dedotto dalla conoscenza di $X$ .

Densità esponenziali

La funzione di densità della vc esponenziale negativa è decrescente a partire da $x=0$ pertanto la sua moda è proprio $Mo=0$ ; ovviamente in caso della vc esponenziale negativa $X^{\prime}= X + \theta_2$ la moda risulta essere $Mo=\theta_2$ .