La ripetizione di un esperimento bernoulljano nelle medesime condizioni dà luogo alla vc Binomiale le cui caratteristiche sono quindi le seguenti:
Tale vc quindi è assimilabile ad un prova che consiste nell’estrarre x palline da un’urna che ne contiene n bianche e nere in diversa proporzione, re-immettendo la pallina estratta nell’urna prima di procedere alla estrazione successiva.
La vc binomiale consente di calcolare la probabilità di ottenere x successi in n prove bernoulliane,
si tratta di uno dei modelli di probabilità per vc discrete di uso più frequente, ne sono esempi:
Si pensi al caso del lancio di una moneta n volte essendo interessati al numero di teste .
La probabilità che in un singolo lancio esca testa è pari a .
Si vuole calcolare la probabilità che in n lanci si abbiano 0 teste, 1 testa, 2 teste,…., n teste.
La variabile casuale X “numero di successi in n prove” ha quindi supporto: .
Si consideri ora la particolare successione di teste e croci caratterizzata dall’uscita di testa
nei primi x lanci e di croci nei successivi n-x lanci (vedi figura).
Siccome la prove sono indipendenti, la probabilità del verificarsi della sequenza appena vista caratterizzata da x successi e n-x insuccessi è data del prodotto delle singole probabilità ovvero
.
Tuttavia, quella vista non è l’unica sequenza caratterizzata da x successi. Il numero di possibili sequenze caratterizzate da x successi è dato dalle combinazioni di n elementi presi ad x ad x (vedasi lezione 4).
Tenendo conto di tale numero si ha che la distribuzione di probabilità della vc binomiale sarà :
.
Per indicare che una vc X è distribuita come una Binomiale si scrive:
.
La vc binomiale è ben definita poiché
Dove, il secondo risultato discende dallo sviluppo del binomio di Newton:
La funzione generatrice dei momenti della vc binomiale è data da:
Si noti che allo stesso risultato si sarebbe potuti giungere osservando che, poiché la vc binomiale è la somma di n vc di Bernoulli indipendenti, la sua fgm è il prodotto delle fgm delle n vc addendi.
La fgm può essere utilizzata per ricavare i momenti della vc binomiale:
da cui:
Analogamente si ricava che   da cui:
Anche al risultato relativo al valore atteso ed alla varianza della vc binomiale si sarebbe potuti giungere a partire dal fatto che essa è la somma di n vc binomiali indipendenti, ovvero
, dove ciascuna Yi è una vc di bernoulli;
Pertanto si ha che:
In base alla genetica i genitori di un bambino gli trasferiscono i proprio geni in maniera indipendente.
Si supponga allora che una coppia ha 4 figli e che ciascuno di essi abbia probabilità di avere il sangue di tipo B negativo.
La vc X= “numero di figli con sangue di tipo B negativo” ha distribuzione di probabilità binomiale con n=4 e . Pertanto la probabilità che ad esempio 2 dei 4 figli abbia sangue di tipo B negativo è data da:
Si vuole calcolare la probabilità che in 10 lanci di una moneta si abbiano o 0 teste oppure n teste:
dove , ovvero , la moneta è truccata poiché la probabilità di ottenere testa è 0.7.
La probabilità richiesta è:
Si noti che per convenzione si ha:
mentreÂ
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