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Carmela Cappelli » 13.Modelli per vc discrete: la vc binomiale


Introduzione

La ripetizione di un esperimento bernoulljano nelle medesime condizioni dà luogo alla vc Binomiale le cui caratteristiche sono quindi le seguenti:

  • replicazione di n prove bernoulliane
  • le prove sono indipendenti
  • ogni prova dà luogo a 2 possibili risultati successo ed insuccesso con probabilità rispettivamente pari a \theta ed 1- \theta

Tale vc quindi è assimilabile ad un prova che consiste nell’estrarre x palline da un’urna che ne contiene n bianche e nere in diversa proporzione, re-immettendo la pallina estratta nell’urna prima di procedere alla estrazione successiva.

Esempi di esprimenti binomialei

La vc binomiale consente di calcolare la probabilità di ottenere x successi in n prove bernoulliane,
si tratta di uno dei modelli di probabilità per vc discrete di uso più frequente, ne sono esempi:

  • Numero di teste in n lanci di una moneta;
  • Numero di preferenze riportate da un candidato in un sondaggio elettorale condotto su di un campione;
  • Numero di corse che partono dal capolinea in orario su n corse di un autobus.

La ddp della vc binomiale

Si pensi al caso del lancio di una moneta n volte essendo interessati al numero di teste .
La probabilità che in un singolo lancio esca testa è pari a \theta .
Si vuole calcolare la probabilità che in n lanci si abbiano 0 teste, 1 testa, 2 teste,…., n teste.
La variabile casuale X “numero di successi in n prove” ha quindi supporto: x=0,1,2,\dots,n .
Si consideri ora la particolare successione di teste e croci caratterizzata dall’uscita di testa
nei primi x lanci e di croci nei successivi n-x lanci (vedi figura).


La ddp della vc binomiale (segue)

Siccome la prove sono indipendenti, la probabilità del verificarsi della sequenza appena vista caratterizzata da x successi e n-x insuccessi è data del prodotto delle singole probabilità ovvero
\theta * \theta \dots* \theta *(1- \theta ) *(1- \theta )\dots *(1- \theta )= \theta^n (1-\theta)^ {n-x}.

Tuttavia, quella vista non è l’unica sequenza caratterizzata da x successi. Il numero di possibili sequenze caratterizzate da x successi è dato dalle combinazioni di n elementi presi ad x ad x (vedasi lezione 4).
Tenendo conto di tale numero si ha che la distribuzione di probabilità della vc binomiale sarà:
P(X=x)= \left(\begin{array}{l}n \\ x \end{array}\right) \theta^x(1- \theta)^{n-x}

\forall x=1, \dots,n .

Per indicare che una vc X è distribuita come una Binomiale si scrive:
X \sim Bin(n,\theta) .

La ddp della vc binomiale (segue)

La vc binomiale è ben definita poiché

  • P(X=x)> 0 .
  • \sum _{x=0}^{n} P(X=x)= \sum _{x=0}^{n} \left(\begin{array}{l}n \\ x \end{array}\right) \theta^x(1- \theta)^{n-x} =1^n=1

Dove, il secondo risultato discende dallo sviluppo del binomio di Newton:

(a+b)^n= \sum_{i=0 }^{n} \left(\begin{array}{l} n \\ i \end{array}\right) a^i(b)^{n-i}

La fgm del vc binomiale

La funzione generatrice dei momenti della vc binomiale è data da:

G(t)= Ee^{tx}))= \sum_{x=0 }^{n} e^{tx} \left(\begin{array}{l}n \\ x \end{array}\right) \theta^x(1- \theta)^{n-x} = [\theta e^t+(1-\theta)]^n

Si noti che allo stesso risultato si sarebbe potuti giungere osservando che, poiché la vc binomiale è la somma di n vc di Bernoulli indipendenti, la sua fgm è il prodotto delle fgm delle n vc addendi.

Momenti della vc binomiale

La fgm può essere utilizzata per ricavare i momenti della vc binomiale:
\frac{d G(t)}{d t}=n [\theta e^t+(1-\theta)]^{n-1} * \theta e^t da cui:
E(X) = \frac{d G(t)}{dt}\mid_{ t=0}=n*\theta
Analogamente si ricava che    E(X^2) = \frac{d ^2G(t)}{dt^2}\mid_{ t=0}=n* [(n-1)\theta^2 +\theta] da cui:

Var(X) = E(X^2)- [E(X)]^2=n \theta(1- \theta)

Momenti della vc binomiale (segue)

Anche al risultato relativo al valore atteso ed alla varianza della vc binomiale si sarebbe potuti giungere a partire dal fatto che essa è la somma di n vc binomiali indipendenti, ovvero
X=Y_1+Y_2+\dots+Y_n=\sum Y_i, dove ciascuna Yi è una vc di bernoulli;
Pertanto si ha che:

E(X)= E(\sum Y_i)=\sum E(Y_i)=n \theta

Var(X)=Var(\sum Y_i)= \sum _i Var(Y_i)=n \theta(1- \theta)

vc binomiale – esempio

In base alla genetica i genitori di un bambino gli trasferiscono i proprio geni in maniera indipendente.
Si supponga allora che una coppia ha 4 figli e che ciascuno di essi abbia probabilità \theta =0.3 di avere il sangue di tipo B negativo.
La vc X= “numero di figli con sangue di tipo B negativo” ha distribuzione di probabilità binomiale con n=4 e \theta =0.3. Pertanto la probabilità che ad esempio 2 dei 4 figli abbia sangue di tipo B negativo è data da:
P(X=2)= \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ \end{array} }\right) 0.3^2(1- 0.3)^{4-2}=12*0.3^2*0.7^2=0.2646

vc binomiale – esempio 2

Si vuole calcolare la probabilità che in 10 lanci di una moneta si abbiano o 0 teste oppure n teste:
Pr(X=0 \cup X=10)= Pr(X=0)+Pr(X=10)

dove X \sim Bin(10, 0.7) , ovvero , la moneta è truccata poiché la probabilità di ottenere testa è 0.7.

La probabilità richiesta è:
Pr(X=0 \cup X=10)= Pr(X=0)+Pr(X=10)= (0.7)^0(0.3)^10+(0.7)^{10}(0.3)^0=0.3^{10} +0.7^{10}

Si noti che per convenzione si ha: \left(\begin{array}{c} n \\ 0 \\ \end{array}\right) =1

mentre  \left(\begin{array}{c} n \\ n \\ \end{array}\right) =1

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