Si consideri una prova che genera una collezione di eventi inclusi nello spazio campione . Se a ciascun evento E di tale spazio campione si associa un’unica k-pla ordinata di numeri reali (x1, x2, …, xk), allora risulta definita una vc multivariata a k dimensioni (x1, x2, …, xk).
La vc multivariata, pertanto, fa corrispondere ad ogni evento un punto dello spazio Rk anche in tale caso la corrispondenza avviene attraverso una funzione misurabile.
Le singole vc X1, X2, …, Xk vengono dette vc componenti mentre ciascun sottoinsieme di p<k vc componenti è detta vc marginale di dimensione p. Quindi ciascuna vc componente è anche una vc marginale di dimensione 1.
Delle vc multivariate interessa soprattutto studiare la distribuzione congiunta ovvero la probabilità del verificarsi contemporaneo delle k-ple di numeri reali e ciò allo scopo di mettere in luce eventuali “legami” che sussistono tra le vc componenti.
In analogia a quanto visto per le vc univariate anche per quelle multivariate, ai fini della loro conoscenza, occorre porsi i seguenti quesiti:
Nel rispondere a tali quesiti distinguiamo il caso delle vc mutivariate discrete e continue.
Data una vc multivariata discreta (X1, X2, …, Xk), essa è nota se sono note le k-ple di numeri reali (x1, x2, …,xk) ∈Rk, che essa può assumere in corrispondenza degli eventi dello spazio campione discreto e le corrispondenti probabilità :
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Essa è ben definita se:
La funzione di ripartizione di una vc multivariata discreta è definita come:
Le proprietà della funzione di ripartizione sono analoghe a quelle viste nel caso univariato con la necessaria attenzione al fatto che tutte le probabilità che possono essere calcolate a partire da essa mediante unione, intersezione e negazione di intervalli di Rk, devono essere positive.
Nello studio delle vc multivariate assume particolare rilievo il concetto di indipendenza probabilistica che attiene alle vc componenti.
In caso infatti di indipendenza delle componenti la distribuzione di probabilità congiunta si fattorizza nel prodotto delle distribuzioni di probabilità marginali delle componenti.
In termini di funzione di ripartitone si ha:
Data una vc mutivariata, accanto alle vc marginali che escludono dalla considerazione una o più variabili componenti, si definiscono le vc condizionate che invece esprimono la distribuzione di probabilità della vc multivariata avendo fissato i valori di una o più vc componenti.
Considerando il caso della vc doppia discreta (X,Y) , si definiscono le seguenti distribuzioni condizionate:
.
.
Anche per le vc multivariate si pone il problema della sintesi mediante valori medi.
Si definiscono pertanto i cd momenti misti di ordine r1+r2+….+rk:
Come vedremo, nella pratica sono di interesse i momenti misti solo di alcuni ordini che servono sovente a mettere in luce legami esistenti tra le vc componenti.
La vc multivariata continua definita su Rk è nota se è nota la sua funzione di ripartizione:
Dove prende il nome di funzione di densità della vc continua multivariata la quale è ben definita se:
Analogamente a quanto visto per le vc discreta anche per le vc continue si definiscono le vc condizionate ma, siccome la funzione di densità di una vc continua in un punto è nulla, occorre considerare ai fini del condizionamento, un intervallo di valori.
Considerando il caso di vc continua doppia (x,y) le due vc condizionate sono definite come segue:
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.
In analogia al caso discreto anche per le vc continue multivariate si introduce il concetto di indipendenza probabilistica delle vc componenti. Formalmente una vc continua multivariata è a componenti indipendenti se per ogni k-pla di numeri reali (x1, x2, …, xk), si ha:
E quindi la indipendenza si caratterizza per la fattorizzazione della funzione di densità congiunta nel prodotto delle funzioni di densità delle singole vc componenti.
In caso di indipendenza delle vc componenti una vc mutivariata, la fattorizzazione investe anche i momenti.
Si consideri ad esempio la vc doppia discreta (X,Y) a componenti indipendenti, il momento misto di ordine 1+1 è dato da:
Quindi il valore atteso del prodotto è dato dal prodotto dei valori attesi delle vc componenti, sempre che tali moneti esistano.
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