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Carmela Cappelli » 22.La vc Normale Multivariata

La vc Normale Multivariata

La vc Normale Multivariata costituisce la generalizzazione a più dimensioni della vc Normale.
Sia $\bf{X}= (X_1,X_2,\dots,X_m) ^\prime$ il vettore delle m vc componenti ed indichiamo con $E( \bf{X})= \mathbf{\mu}$ il vettore dei valori attesi delle vc componenti e con $\mathbf{\Sigma}$ la matrice simmetrica di ordine $m \times m$ delle varianze e covarianze.

La funzione di densità della Normale Multivariata risulta essere:

$f(\mathbf{x}, \mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma})=\mid 2 \pi \mathbf{\Sigma}\mid^{- 1/2} \exp\{- \frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu})^\prime \mathbf{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x}-\mathbf{\mu})\}$

E si indica, in analogia al caso univariato, con la

${\bf X} \sim N(\mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma})$

Gli ellissoidi di uguale concentrazione

Da un punto di vista geometrico la funzione di densità della Normale Multivarita assume valori costanti lungo gli ellissoidi (ellissi in caso sia m=2) definiti dalla forma quadratica $(\mathbf{x}-\mathbf{\mu})^\prime \mathbf{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x}-\mathbf{\mu})=c^2$ che sono detti di uguale concentrazione e si ha che:

$(\mathbf{x}-\mathbf{\mu})^\prime \mathbf{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x}-\mathbf{\mu}) \sim \chi^2_{m}$

pertanto la probabilità che un vettore osservato $\bf{x}$ sia incluso nell’ellissoide è data da:
$Pr[(\mathbf{x}-\mathbf{\mu})^\prime \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}) \leq c^2 ]= Pr ( \chi^2_{m} \leq c^2)$ .

FGM della vc Normale Multivariata

Ricordiamo che nel caso univariato la funzione generatrice dei momenti della vc Normale è:
$GX(t)= E(e^{tx})= e^{t\mu -\frac{1}{2}t^2\sigma^2}$ .
Analogamente, nel caso multivariato è:
$G({\bf t})=E(e^{{\bf t}^\prime {\bf x}})= e^{{\bf t}^\prime {\mathbf \mu} -{\bft}^\prime {\mathbf \Sigma} {\bf t}}$ ,
dove $\bf t$ è un vettore di variabili di comodo.

Caratterizzazione della vc Normale Multivariata

La caratterizzazione della vc Normale Multivariata è legata al seguente risultato dovuto a Cramer:
una vc m-variata è una Normale Multivariata se e solo se qualsiasi combinazione lineare delle sue vc componenti del tipo

${\bf a} ^\prime {\bf X}$ è una vc Normale univariata non degenere per qualsiasi vettore di coefficienti $\bf a$ di dimensione m.

Questo teorema assicura che qualsiasi rotazione, traslazione o proiezione di ${\bf X}$ a seconda di come è definito il vettore dei coefficienti $\bf a$ , non altera la appartenenza alla famiglia e che, inoltre, qualunque sottoinsieme di componenti è ancora una vc Normale Multivariata di dimensioni ridotte.

Proprietà della vc Normale Multivariata

La vc Normale Multivariata gode di numerose e rilevanti proprietà che è opportuno riassumere:

se ${\bf X} \sim N({\bf \mu}, {\bf \Sigma})$ allora la vc $Y= {\bf \Sigma}^{-1/2}({\bf X} - {\bf \mu}) \sim N({\bf 0}, {\bf I} )$ ovvero la vc Y è una normale Multivariata a componenti indipendenti e standardizzate;

se ${\bf X} \sim N({\bf 0}, {\bf I})$ , dato un vettore non nullo $\bf a$ si ha che $\frac{{\bf a}^\prime \mathbf{x}}{\sqrt{{\bf a}^\prime {\bf a}}} \sim N(0,1)$ ;

se ${\bf X} \sim N({\bf \mu}, {\bf \Sigma})$ allora ${\bf AX} + {\bf b} \sim N({\bf A \mu} +{\bf b} , {\bf A \Sigma A^\prime})$

Quest’ultima proprietà merita alcune precisazioni: essa afferma che qualunque combinazione lineare delle vc componenti una Normale Multivariata è ancora una Normale multivariata anche se le componenti non sono indipendenti. La proprietà, si noti bene, non afferma che ogni combinazione lineare di vc Normali è una vc Normale (lo è se le vc addendi sono indipendenti grazie alla proprietà riproduttiva).

La vc Normale Bivariata

Taluni aspetti e proprietà della vc Normale Multivariata possono essere meglio messi in luce considerando il caso della Normale Bivariata (X,Y) che è caratterizzata da 5 parametri $\mu_x, \mu_y, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_{xy}$ e siccome $\rho =\frac{\sigma_{xy}}{\sqrt{\sigma_x \sigma_y}}$ si può fare riferimento a $\rho$

in luogo di $\sigma_{xy}$ .
La vc Normale Bivariata ha funzione di densità:

$f(\mu_x, \mu_y, \sigma_x, \sigma_y, \rho)= \frac{1}{2\pi \sqrt{\sigma^2_x \sigma^2_y (1-\rho^2)}} \exp\{- \frac{1}{2(1-\rho^2)}[(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x})^2+ (\frac{y- \mu_y}{\sigma_y})^2- 2\rho(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x})(\frac{y- \mu_y}{\sigma_y})] \}$

La vc Normale Bivariata (segue)

Come mostrato in figura la funzione di densità definisce una superficie campanulare e simmetrica che ha massimo nel punto di coordinate $\mu_x, \mu_y$

ogni piano parallelo al piano (x,y) interseca la superficie in corrispondenza di un valore costante della funzione did densità $f(x,y)=c$ che definisce il cd ellisse di concentrazione;

ogni piano perpendicolare la piano (x,y) intersecando la superficie in corrispondenza di un dato valore di x (o di y) definisce la cd vc sezione o condizionata $(Y|X)$ o $(X|Y )$ ;

integrando la funzione di densità rispetto ad X oppure rispetto ad Y si ottengono le funzioni di densità delle vc marginali, rispettivamente di Y o di X.

Funzione di densità della vc Normale Bivariata.

La vc Normale Bivariata (segue)

Si noti che se $\rho=0$ la funzione di densità congiunta si fattorizza nel prodotto delle marginali, infatti:
$f(x,y)= \frac{1}{2 \pi \sqrt{\sigma_x \sigma_y}} \exp \{ -\frac{1}{2}[ (\frac{x - \mu_x} {\sigma_x})^2 + (\frac{ y-\mu_y}{\sigma^2_y})^2]\}=\frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma^2_x }} \exp \{-\frac{1}{2\sigma^2_x} (x - \mu_x)^2\}\frac{1}{ \sqrt{2 \pi\sigma^2_xy }} \exp \{ -\frac{1}{2 \sigma^2_y}( y- \mu_y)^2\}=f(x) f(y)$
Pertanto, siccome la fattorizzazione della funzione di densità congiunta nel prodotto delle marginali è la condizione che in generale qualifica la indipendenza delle marginali, nel caso della Normale Bivariata e solo in tale caso, la incorrelazione $( \rho=0)$ implica indipendenza.

Normalità delle vc Condizionate

Data la vc Nornale Bivariata (X,Y), le vc condizionate (X|Y) ed (Y|X) sono delle variabili casuali normali.
Per semplicità espositiva, ma senza perdita di generalità, ai fini della dimostrazione di tale risultato consideriamo le vc standardizzate:
$Z_x= \frac{X - \mu_x}{\sigma_x}$
$Z_y= \frac{Y- \mu_y}{\sigma_y}$

Dimostriamo il risultato per la vc condizionata $(Z_y|Z_x)$ che ha funzione di densità :

$f(x,y)= \frac{1}{2 \pi \sqrt{\sigma_x \sigma_y}} \exp \{ -\frac{1}{2}[ (\frac{x - \mu_x} {\sigma_x})^2 + (\frac{ y-\mu_y}{\sigma^2_y})^2]\}=\frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma^2_x }} \exp \{-\frac{1}{2\sigma^2_x} (x - \mu_x)^2\}\frac{1}{ \sqrt{2 \pi\sigma^2_xy }} \exp \{ -\frac{1}{2 \sigma^2_y}( y- \mu_y)^2\}=f(x) f(y)$

Normalità delle vc Condizionate (segue)

Svolgendo il prodotto nell’argomento dell’esponenziale e semplificando risulta:
$f (Z_y|Z_x)= [\sqrt{2 \pi(1- \rho^2})] ^{-1} \exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}(Z_x^2 + Z_y^2 - 2\rho Z_xZ_y -Z^2_x + \rho^2 Z^2_x) \} =[\sqrt{2 \pi(1- \rho^2})] ^{-1} \exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}( Z_y + \rho Z_x)^2 \}$

Tale espressione rappresenta la funzione di densità di una vc Normale con valore atteso e varianza rispettivamente pari a:

$E(Z_y|Z_x )= \rho Z_x$
$Var(Z_y|Z_x )= (1-\rho^2)$

In termini di componenti non standardizzate si ha:
$E(Y|X)= \mu_y+ \rho \sigma_yZ_x= \mu_y + \rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x}(X-\mu_x)$
$Var(Z_y|Z_x )= \sigma^2_y (1-\rho^2)$

Quindi, la vc
$Y| X \sim N(\mu_y + \rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x}(X-\mu_x), \sigma^2_y (1-\rho^2)$

Vc Condizionate e funzione di regressione

Si consideri la vc sezione:
$Y\mid X \sim N(\mu_y + \rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x}(X-\mu_x), \sigma^2_y (1-\rho^2))$
il suo valore atteso $E(Y|X)$ dipende linearmente da $\mu_x$ .
D’altrocanto $E(Y|X)= m(X |Y)$ dove con $m(X |Y)$ si è denotata la funzione di regressione che quindi, nel caso della Normale Bivariata presenta una evidente linearità essendo:

$m(Y| X) = \mu_y + \rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x}(X-\mu_x)= \alpha + \beta X$
Dove

$\alpha= \mu_y -\rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x}\mu_x$ e $\beta= \rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x}$

Quindi, nel caso della Normale Bivariata la funzione di regressione è sempre lineare e ciò implica tra l’altro che che il rapporto di correlazione coincida con il coefficiente di correlazione ovvero $\eta^2 =\rho^2$