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Carmela Cappelli » 19.La vc Normale Standardizzata

Introduzione

La funzione di ripartizione della vc Normale definita come:
$F(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\exp[- \frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2]$ non ha una forma esplicitabile.
Sebbene esistano varie approssimazioni, si ricorre usualmente all vc Normale standardizzata per la quale, essendo unica, esistono delle tavole che riportano i valori della funzione di ripartizione in un dato intervallo.

La vc Normale standardizzata

La vc Normale standardizzata è ottenuta a partire dalla vc Normale $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ mediante la seguente trasformazione lineare:

$Z=\frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
essa ha funzione di densità:
$f(z)=\int_{-\infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp( - \frac{1}{2} z^2)$

Unicità della vc Normale standardizzata

Unicità della vc Normale standardizzata: qualunque sia la vc normale di partenza ed i valori dei parametri μ e σ², la standardizzata possiede valore atteso pari a 0 e varianza pari ad 1.

La fgm della vc Normale Standard

Sostituendo nella funzione generatrice dei momenti della vc Normale i valori $\mu=0$ e $\sigma^2=1$ si ottiene la corrispondete funzione per la vc Normale standardizzata che risulta quindi essere definita come:
$G(t)= E(e^{tz})= e^{\frac{t^2}{2}}$

Lo sviluppo in serie di $G(t)$ dà luogo a:
$G(t)= e^{\frac{t^2}{2}}= \sum_{r=0}^{\infty} \frac{(\frac{t^2}{2})^r}{r!}=\sum_{r=0}^{\infty} \frac{t^{2r}}{2^r r!}$

La fgm della vc Normale Standard (segue)

Moltiplicando e divedendo la espressione di $G(t)$ per $(2r)!$ si ottiene:
$G(t)= \sum_{r=0}^{\infty} \frac{t^{2r}}{2^r r!} \frac{ (2r)!}{(2r)!}=\sum_{r=0}^{\infty} \frac{t^{2r}}{(2r)!} \frac{ (2r)!}{2^r r!}=\sum_{r=0}^{\infty} \frac{t^{2r}}{(2r)!} \frac{ (2r)!}{2^r r!}$

Da cui, essendo in generale $G(t)= \sum_{r=0}^{\infty} \mu_r \frac{t^r}{r!}$ , discende che:
$\mu_{2r}= E(Z^{2r})= \frac{(2r)!}{ 2^r r!}$

Momenti r-esimi della vc Normale standardizzata

Dalla espressione dei momenti di ordine 2r vista in precedenza.
$\mu_{2r}= E(Z^{2r})= \frac{(2r)!}{ 2^r r!}$
discende che solo i momenti di ordine pari della vc Normale standardizzata sono non nulli mentre i momenti di ordine dispari sono tutti nulli. In particolare si ha:
$E(Z)=\mu= 0$
$Var(Z)=1$
$Asym(Z)= 0$
$Kurt(Z) =3$

Ovviamente i momenti si possono ricavare anche per derivazione della fgm, essendo:
$E(Z)= \frac{ d}{dt} G(t) \mid_{t=0}= [\exp(\frac{1}{2} t^2) t] \mid _{t=0}= 0$
$E(Z^2)= Var(Z)=\frac{ d^2}{dt^2} G(t) \mid_{t=0}=[ \exp(\frac{1}{2} t^2) t^2+\exp(\frac{1}{2} t^2)] \mid_{t=0}= 1$

Tavola della vc Normale standardizzata

La conoscenza della funzione di ripartizione della vc Normale standardizzata $Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$ equivale alla conoscenza della funzione di ripartizione della vc $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ infatti:

$Pr(x_1 \leq X \leq x_2)= Pr ( \frac{x_1 - \mu}{\sigma} \leq \frac{X - \mu }{\sigma}\leq \frac{x_2 - \mu}{\sigma})=Pr(z_1 \leq Z\leq z_2)= F(z_2)- F(z_1)$
Dove $z_1= \frac{x_1 - \mu}{\sigma}$ e $z_2= \frac{x_2 - \mu}{\sigma}$ .

I valori della funzione di ripartizione $F(z)$ sono stati tabulati

Uso della tavola della vc Normale standardizzata

Le tavole riportano i valori della funzione di ripartizione della vc Normale standardizzata $F(z)$ in un determinato intervallo tipicamente [0;3] oppure [0;4] ; i valori negativi non compaiono nelle tavole perché le corrispondenti probabilità sono deducibili dalla proprietà della simmetria.
Le principali regole da ricordare sono le seguenti.

$Pr(Z \leq z)= F(z)$
$Pr(Z > z)=1- F(z)$
$Pr(Z\leq -z)= Pr(Z > z)= 1- F(z)$
$Pr(Z > -z)=Pr(Z \leq z)= F(z)$
$Pr(z_1< Z \leq z_2)=F(z_2)- F(z_1)$ se $z_1$ e $z_2$ sono entrambi positivi o entrambi negativi
$Pr(-z_1< Z \leq z_2)=F(z_2)- [1- F(z_1)]$

Uso delle tavola alcuni esempi

Di seguito sono riportate le probabilità dedotte dall’uso delle tavole associate ad alcuni valori secondo le regole riportate in precedenza:
$Pr(Z \leq 2.3)=F(2.3)=0.98928$
$Pr(Z > 2.3)=1-F(2.3)=1- 0.98928=0.01072$
$Pr(Z \leq - 1.65)= Pr(Z > 1.65)= 1- F(1.65)=1- 0.95053=0.04947$
$Pr(Z > - 1.65)= Pr(Z \leq 1.65)= F(1.65)=0.95053$
$Pr(1.65< Z \leq 2.3)=F(2.3)- F(1.65)= 0.98928- 0.95053 =0.03875$
$Pr(- 1.65< Z \leq 2.3)=F(2.3)-[1- F(1.65)]= 0.98928- 1+0.95053=0.93981$

Uso delle tavole

Siccome la conoscenza della funzione di ripartizione della vc $Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$ equivale alla conoscenza della funzione di ripartizione della vc $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ,
mediante l’uso delle tavole della vc $Z$ è possibile calcolare la probabilità chela vc Normale vc $X$ assuma valore in qualunque intervallo:

$X \sim N(10, 25)$

$Pr(X \leq 20)= Pr(Z \leq \frac{20-10}{\sqrt{25}})=Pr (Z \leq 2)=0.97725$
$Pr(X>30)= Pr(Z > \frac{30-10}{\sqrt{25}})=Pr (Z >4)=1- F(4)=1-0.99998 \simeq 0$
$Pr(-5 < X \leq 10)= Pr(\frac{-5-10}{\sqrt{25}}$

Uso delle tavole (segue)

Si noti che mediante la trasformazione inversa $X= Z \sigma + \mu$ è possibile risalire dalle probabilità ai corrispondenti valori.
Infatti , essendo $Pr( X \leq x^*)= Pr(Z \leq z^*= \frac{x^* - \mu}{\sigma} )=p$
nota $p$ dalle tavole si risale a $z^*$ e da questa ad $x^*+= z^* \sigma + \mu$ .