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Carmela Cappelli » 19.La vc Normale Standardizzata


Introduzione

La funzione di ripartizione della vc Normale definita come:
F(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\exp[- \frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2] non ha una forma esplicitabile.
Sebbene esistano varie approssimazioni, si ricorre usualmente all vc Normale standardizzata per la quale, essendo unica, esistono delle tavole che riportano i valori della funzione di ripartizione in un dato intervallo.

La vc Normale standardizzata

La vc Normale standardizzata è ottenuta a partire dalla vc Normale X \sim N(\mu, \sigma^2) mediante la seguente trasformazione lineare:

Z=\frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)
essa ha funzione di densità:
f(z)=\int_{-\infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp( - \frac{1}{2} z^2)

Unicità della vc Normale standardizzata

Unicità della vc  Normale standardizzata: qualunque sia la vc normale di partenza ed i valori dei parametri  μ e σ2, la standardizzata possiede valore atteso pari a 0 e varianza pari ad 1.

Unicità della vc Normale standardizzata: qualunque sia la vc normale di partenza ed i valori dei parametri μ e σ2, la standardizzata possiede valore atteso pari a 0 e varianza pari ad 1.


La fgm della vc Normale Standard

Sostituendo nella funzione generatrice dei momenti della vc Normale i valori \mu=0 e \sigma^2=1 si ottiene la corrispondete funzione per la vc Normale standardizzata che risulta quindi essere definita come:
G(t)= E(e^{tz})= e^{\frac{t^2}{2}}

Lo sviluppo in serie di G(t) dà luogo a:
G(t)= e^{\frac{t^2}{2}}= \sum_{r=0}^{\infty} \frac{(\frac{t^2}{2})^r}{r!}=\sum_{r=0}^{\infty} \frac{t^{2r}}{2^r r!}

La fgm della vc Normale Standard (segue)

Moltiplicando e divedendo la espressione di G(t) per (2r)! si ottiene:
G(t)= \sum_{r=0}^{\infty} \frac{t^{2r}}{2^r r!} \frac{ (2r)!}{(2r)!}=\sum_{r=0}^{\infty} \frac{t^{2r}}{(2r)!} \frac{ (2r)!}{2^r r!}=\sum_{r=0}^{\infty} \frac{t^{2r}}{(2r)!} \frac{ (2r)!}{2^r r!}

Da cui, essendo in generale G(t)= \sum_{r=0}^{\infty} \mu_r \frac{t^r}{r!} , discende che:
\mu_{2r}= E(Z^{2r})= \frac{(2r)!}{ 2^r r!}

Momenti r-esimi della vc Normale standardizzata

Dalla espressione dei momenti di ordine 2r vista in precedenza.
\mu_{2r}= E(Z^{2r})= \frac{(2r)!}{ 2^r r!}
discende che solo i momenti di ordine pari della vc Normale standardizzata sono non nulli mentre i momenti di ordine dispari sono tutti nulli. In particolare si ha:
E(Z)=\mu= 0
Var(Z)=1
Asym(Z)= 0
Kurt(Z) =3

Ovviamente i momenti si possono ricavare anche per derivazione della fgm, essendo:
E(Z)= \frac{ d}{dt} G(t) \mid_{t=0}= [\exp(\frac{1}{2} t^2) t] \mid _{t=0}= 0
E(Z^2)= Var(Z)=\frac{ d^2}{dt^2} G(t) \mid_{t=0}=[ \exp(\frac{1}{2}  t^2) t^2+\exp(\frac{1}{2} t^2)] \mid_{t=0}= 1

Tavola della vc Normale standardizzata

La conoscenza della funzione di ripartizione della vc Normale standardizzata Z=\frac{X - \mu}{\sigma} equivale alla conoscenza della funzione di ripartizione della vc X \sim N(\mu, \sigma^2)  infatti:

Pr(x_1 \leq X \leq x_2)= Pr ( \frac{x_1 - \mu}{\sigma} \leq \frac{X - \mu }{\sigma}\leq \frac{x_2 - \mu}{\sigma})=Pr(z_1 \leq Z\leq z_2)= F(z_2)- F(z_1)
Dove z_1= \frac{x_1 - \mu}{\sigma} e z_2= \frac{x_2 - \mu}{\sigma} .

I valori della funzione di ripartizione F(z) sono stati tabulati

Uso della tavola della vc Normale standardizzata

Le tavole riportano i valori della funzione di ripartizione della vc Normale standardizzata F(z) in un determinato intervallo tipicamente [0;3] oppure [0;4] ; i valori negativi non compaiono nelle tavole perché le corrispondenti probabilità sono deducibili dalla proprietà della simmetria.
Le principali regole da ricordare sono le seguenti.

Pr(Z \leq z)= F(z)
Pr(Z > z)=1- F(z)
Pr(Z\leq -z)= Pr(Z > z)= 1- F(z)
Pr(Z > -z)=Pr(Z \leq z)= F(z)
Pr(z_1< Z \leq z_2)=F(z_2)- F(z_1) se  z_1 e z_2 sono entrambi positivi o entrambi negativi
Pr(-z_1< Z \leq z_2)=F(z_2)- [1- F(z_1)]

Uso delle tavola alcuni esempi

Di seguito sono riportate le probabilità dedotte dall’uso delle tavole associate ad alcuni valori secondo le regole riportate in precedenza:
Pr(Z \leq 2.3)=F(2.3)=0.98928
Pr(Z > 2.3)=1-F(2.3)=1- 0.98928=0.01072
Pr(Z \leq - 1.65)= Pr(Z > 1.65)= 1- F(1.65)=1- 0.95053=0.04947
Pr(Z > - 1.65)= Pr(Z \leq 1.65)= F(1.65)=0.95053
Pr(1.65< Z \leq 2.3)=F(2.3)- F(1.65)= 0.98928- 0.95053 =0.03875
Pr(- 1.65< Z \leq 2.3)=F(2.3)-[1- F(1.65)]= 0.98928- 1+0.95053=0.93981

Uso delle tavole

Siccome la conoscenza della funzione di ripartizione della vc Z=\frac{X - \mu}{\sigma} equivale alla conoscenza della funzione di ripartizione della vc X \sim N(\mu, \sigma^2)  ,
mediante l’uso delle tavole della vc Z  è possibile calcolare la probabilità chela vc Normale vc X assuma valore in qualunque intervallo:

X \sim N(10, 25)

Pr(X \leq 20)= Pr(Z \leq \frac{20-10}{\sqrt{25}})=Pr (Z \leq 2)=0.97725
Pr(X>30)= Pr(Z > \frac{30-10}{\sqrt{25}})=Pr (Z >4)=1- F(4)=1-0.99998 \simeq 0
Pr(-5 < X \leq 10)= Pr(\frac{-5-10}{\sqrt{25}}

Uso delle tavole (segue)

Si noti che mediante la trasformazione inversa X= Z \sigma + \mu è possibile risalire dalle probabilità ai corrispondenti valori.
Infatti , essendo  Pr( X \leq x^*)= Pr(Z \leq z^*=  \frac{x^* - \mu}{\sigma} )=p
nota p dalle tavole si risale a z^* e da questa ad x^*+= z^* \sigma + \mu .

Esempio:
Sia X \sim N(40, 100) e P(X \leq x*) = 0,93319 si ha:
P(X \leq x*) = P(Z \leq z^*= \frac{x^* - 40}{10} )= F(z^*)=0.93319

Dalla tavola in corrispondenza di p= 0.93319 risulta essere z^*= 1.5 pertanto:
x^*= 1.5\times 10 + 40=55

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