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Carmela Cappelli » 18.Modelli per vc continue: la vc Normale

Introduzione

La vc Normale è di gran lunga il modello per vc continue più importante; essa infatti riveste un ruolo centrale nel calcolo delle probabilità e nella statistica e tale importanza è riconducibile a due motivi fondamentali:

La vc normale approssima la distribuzione empirica di molti fenomeni reali;
Molti fenomeni reali che non hanno distribuzione normale sono però ad essa riconducibili sotto opportune condizioni.

Cenni storici

La introduzione della vc Normale è legata alla ricerca della distribuzione degli errori accidentali. La prima derivazione analitica risale al 1733 ad opera di de Moivre come approssimazione della somma di vc Binomiali. Intorno al 1770-1771 Bernoulli fornisce la prima tavola di calcolo della funzione di densità e successivamente Laplace la utilizza in una serie di lavori. Infine, nel 1809 Gauss nel suo trattato ” Theoria Motus Corporum Celestium” la presenta e la utilizza dichiarando di avere derivato i relativi risultati sin dal 1795 da qui il nome sovente utilizzato di vc Gaussiana.

Funzione di densità della vc Normale

Una vc continua X si dice Normale di parametri $\alpha$ e $\beta^2$ se possiede la seguente funzione di densità: $f(x)=\int_{-\infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta^2}}\exp[- \frac{1}{2 \beta^2} (x - \alpha) ^2]$ Dove $- \infty < x< + \infty$ , $- \infty < \alpha< + \infty$ e $\beta \geq 0$ e si denota con la $X \sim N(\alpha , \beta^2 )$

Funzione di densità della vc Normale (segue)

La funzione di densità della vc Normale è ben definita poiché essa è positiva su tutto l’asse $\mathbb{R}$ ; in quanto alla integrazione sul supporto che deve valere 1, si utilizza la seguente trasformazione: $\frac{(x - \alpha)^2}{2 \beta^2}= t$ ; $dx= t^{- \frac{1}{2}}\frac{\beta}{\sqrt{2}}$ Da cui, sostituendo nella espressione della funzione di densità e semplificando, si ottiene: $f(t)= \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+ \infty} \exp{(-t)} t^{-\frac{1}{2}} dt =\frac{ \Gamma(1/2)}{\sqrt{\pi}}=1$ Essendo $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ . Si noti che ai fini della dimostrazione si è implicitamente sfruttata la proprietà della simmetria della densità normale.

Proprietà della densità Normale

La funzione di densità della vc Normale gode delle seguenti proprietà:

Il massimo della funzione si trova in corrispondenza di $x=\alpha$
È simmetrica rispetto all’ordinata condotta per $\alpha$ (pertanto $f(x- \alpha)= f(x+\alpha)$ ;
Ha due flessi in corrispondenza di $x = \alpha \pm \beta$ ;
L’asse x è asintoto orizzontale.

Il parametro α

Dallo studio analitico della funzione di densità emerge che il parametro $\alpha$ corrisponde al valore centrale, alla mediana, alla media, alla moda ed al valore atteso della vc Normale , ovvero: $\alpha= \mu = Mo= Me$ La modifica del valore del parametro $\alpha$ a parità di $\beta$ implica una traslazione della funzione di densità lungo l’asse x.

Il parametro β²

Il parametro $\beta^2$ esprime la dispersione intorno al parametro di posizione $\alpha$ Gli effetti della modifica di $\beta^2$ a parità di $\alpha$ vanno distinti a seconda che esso aumenti oppure si riduca:

Al crescere di $\beta^2$ i due punti di flesso si allontanano ed aumenta la probabilità associata a valori più lontani dal valore centrale e la curva, graficamente, tende a schiacciarsi diventando platicurtica;
Al ridursi di $\beta^2$ i due punti di flesso si avvicinano ed aumenta la probabilità che la vc assuma valori attorno al valore centrale; graficamente, la curva tende ad appuntirsi diventando leptocurtica.

Ad un estremo, per $\beta \rightarrow 0$ la vc Normale diviene una vc degenere che assume il solo valore $\alpha$ con probabilità pari ad 1.

Alcune densità Normali

$X \sim N(\alpha, \beta^2 )$
$E(X) =\mu =\alpha$
$Var(X) =\sigma^2 =\beta^2$
↓
$X \sim N(\mu, \sigma^2 )$

In figura: Andamento della funzione di densità Normale al variare dei parametri μ e σ²

La fgm della vc Normale

La funzione generatrice dei momenti della vc Normale è definita come: $G(t)= E( e^{tx})= E( e^{tx- t\alpha + t\alpha})=E( e^ {t \alpha}e^{t(x -\alpha)})= e^{t \alpha}\int_{-\infty}^ {+\infty}e^{t(x- \alpha)}\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta^2}}e^ {- \frac{1}{2 \beta^2}(x - \alpha)^2} dx =$ $= e^{t \alpha}\int_{-\infty}^ {+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta^2}} e^{- \frac{1}{2 \beta2}[(x- \alpha)^2- 2\beta^2 t(x -\alpha)]}= e^{t \alpha}\int_{-\infty}^ {+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi \beta^2}} e^{- \frac{1}{2 \beta2}\{ [(x- \alpha)- \beta^2 t]^2 -\beta^4t^2 \}}dx$

Dove, l’ultimo passaggio si è ottenuto, aggiungendo e sottraendo nell’argomento dell’esponenziale la quanità $\beta^4 t^2$ .

Ridistribuendo i termini e semplificando si ottiene: $G(t)= e^{t \alpha}\int_{-\infty}^ {+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta^2}} e^{- \frac{1}{2 \beta2} [(x- (\alpha+ \beta^2 t)]^2} e^{\frac{1}{2}\beta^2t^2}dx= e^{t \alpha +\frac{1}{2}\beta^2t^2}$

Poiché $\int_{-\infty}^ {+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta^2}} e^{- \frac{1}{2 \beta2} [(x- (\alpha+ \beta^2 t)]^2} dx= 1$ è l’integrale della densità di una vc $X \sim N( \alpha + \beta^2t, \beta^2 )$

Momenti della vc Normale

La funzione generatrice dei momenti m può essere utilizzata per derivare i momenti caratteristici della vc Normale. $G(t)= e^{t \alpha +\frac{1}{2}\beta^2t^2}$

$E(X)= \frac{d}{dt} G(t) \mid_{t=0}=\alpha$
$E(X^2)= \frac{d^2}{dt^2} G(t) = \alpha^ 2+ \beta^2$
$Var(X)=E(X^2)- [E(X)]^2= \beta^2$

Proprietà riproduttiva della vc Normale

La vc Normalegode della proprietà riproduttiva, pertanto date n vc Normali indipendenti del tipo $X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$ la vc somma: $Y = a_1X_1+ a_2X_2+\dots + a_n X_n = \sum_{i=1}^{n} a_i X_i$ è una vc $N(\mu, \sigma^2)$ dove $\mu= a_i \sum_i \mu_i$ e $\sigma^2= \sum_i a_i^2 \sigma_i^2$ . Siano date ad esempio le vc normali indipendenti: $X_1 \sim N(2,9)$ e $X_2 \sim N( -1,10)$ Si ha che la vc $Y= 2X_1+ X_2$ è distribuita come una vc Normale di parametri $\mu= 2*2-1=3$ e $\sigma^2= 2^2 *9 +10=46$