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Carmela Cappelli » 14.Modelli per vc discrete: la vc di Poisson


Introduzione

La vc di Poisson è stata derivata da Poisson (da cui prende il nome) come limite della vc Binomiale e successivamente utilizzata da Bartwiecz nello studio del numero annuo di morti da calcio di cavallo nell’armata prussiana.
Fissato un ambito di riferimento (spazio o tempo) di definisce processo di Poisson la ripetizione nelle medesime condizioni di un esperimento che soddisfa determinate condizioni.
Con tali premesse, la vc di Poisson è un vc di “conteggio” ovvero, essa consente di calcolare la probabilità del verificarsi del numero di eventi di interesse nell’intervallo prefissato ed ha quindi ad oggetto eventi discreti (numerabili) in spazi (intervalli) continui.

Esemplificazioni

La variabile casuale di Poisson è un modello per vc discrete che viene impiegato per calcolare la probabilità connessa a prove del seguenti tipo:

  • Numero di incidenti ad un incrocio pericoloso in un mese;
  • Numero di chiamate che giungono da un centralino in un’ora;
  • Numero di arrivi ad un pronto soccorso ospedaliero in un week end.

Caratteristiche della vc di Poisson

Sia E l’evento da studiare nell’intervallo [O,T], le condizioni che definiscono un processo di Poisson sono le seguenti:

  1. Gli eventi sono tra loro indipendenti, ovvero il verificarsi di E nell’intervallo [t1,t2] è indipendente dal suo verificarsi nell’intervallo [t3,t4] se i due intervalli non si sovrappongono;
  2. La probabilità del verificarsi di E in un intervallo infinitesimo [t0, t0+dt] è proporzionale ad un parametro \theta >0 che caratterizza la prova;
  3. La probabilità che si verifichino più eventi nell’intervallo di riferimento è circa pari a zero.

La distribuzione di probabilità della vc di poisson

Un vc discreta numerabile si definisce di Poisson se ha la seguente distribuzione di probabilità:

Pr(X=x)= \frac{e^{-\theta} \theta^x}{x!}, x=0,1,2,\dots e \theta >0
Per denotare che una vc ha distribuzione di Poisson si scrive: X \sim Po(\theta)
Essa è ben definita poiché:

  • Pr(X=x) \geq 0 ;
  • \sum_{x=0}^{\infty} \frac{e^{-\theta} \theta^x}{x!}=e^{-\theta}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{\theta^x}{x!}=e^{-\theta}e^{\theta}=1

Esempio

Da valutazioni empiriche risulta che in europa si verificano 6 incidenti automobilistici mortali all’ora nel corso del fine settimana, calcolare la probabilità:
a) che trascorra un’ora senza che si verifichino incidenti;
b) che trascorrano 20 minuti con un solo incidente;
c) che trascorrano 3 intervalli consecutivi di 20 minuti ciascuno con un solo incidente in ognuno di essi;
d) che si abbiano 3 incidenti in un ora.

Esempio soluzione

Gli incidenti presentano un tasso orario pari a 6 e sono indipendenti, pertanto si può assumere che la vc X che rappresenta il num. di incidenti segua la distribuzione di Poisson con parametro \theta=8 quando l’intervallo temporale di riferimento è l’ora.

  • Pr(X=0)= \frac{\theta ^x}{x!} e^{-6}=0.0025 dove X \sim Po(6)
  • Pr( X=1) = \frac{\theta ^x}{x!} e^{-2}=0.2706706 dove adesso è X \sim Po(6/3) poiché l’intervallo temporale sono 20 minuti ovvero un terzo di ora;
  • [Pr( X=1)]^3=0.0198 con  X \sim Po(6/3)
  • Pr(X=3)= \frac{\theta ^x}{x!} e^{-6}=0.0892 con  X \sim Po(6)

La fgm della vc di Poisson

La vc di Poisson di parametro \theta possiede la seguente funzione generatrice dei momenti:

G(t)= E( e^{tx})= \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx} \frac{e^{-\theta}\theta^x}{x!}= e^{-\theta} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{(e^t \theta)^x}{x!}=e^{-\theta} e^{e^t \theta}=e^{\theta( e^t -1)}

Come di consueto la fgm può essere utilizzata per derivare i momenti caratteristici della vc di Poisson.

Utilizzo della fgm della vc di Poisson

Ai fini della derivazione dei momenti caratteristici della vc di Poisson a partire dalle fgm si ricordi che:

  • E(X)=\frac{d G(t)}{d t} \mid_{t=0}
  • E(X^2)=\frac{d^2 G(t)}{d t^2} \mid_{t=0}
  • Var(X)= E(X^2) - [E(X)]^2

Momenti caratteristici della vc di Poisson

Essendo
\frac{d G(t)}{d t}=e^{\theta( e^t -1)}(\theta e^t) = \theta e^{\theta( e^t -1) +t} e
\frac{d^2 G(t)}{d t^2}=\theta e^{\theta( e^t -1) +t} = \theta e^{\theta( e^t -1) +t} (\theta e^t +1)
si ha:

  • E(X)=\frac{d G(t)}{d t} \mid_{t=0}=\theta
  • E(X^2)=\frac{d^2 G(t)}{d t^2} \mid_{t=0} = \theta (\theta +1)
  • Var(X)= \theta^2 + \theta - \theta^2= \theta

Pertanto, il valore atteso e la varianza della vc di Poisson coincidono.

Proprietà riproduttiva della vc di Poisson

La famiglia di vc di Poisson è chiusa rispetto allo operazione di somma di vc indipendenti, ovvero gode della proprietà riproduttiva in virtù della quale la somma di vc di Poisson indipendenti è ancora una vc di Poisson.
Siano X_1, X_2, \dots, X_n n vc di poisson indipendenti tali che X \sim Po( \theta_i) con i=1,\dots,n , si ha che:
\sum_{i=1}^ n X_i \sim Po( \sum \theta_i)

se la vc addendi sono anche somiglianti allora:
\sum_{i=1}^ n X_i \sim Po( n \theta)

Legami con altre variabili

Come si è detto in precedenza, la vc di Poisson è stata derivata come limite della vc Binomiale, in particolare, sia X \sim Bin(n, \theta) e si suppinga che n \rightarrow \infty theta \rightarrow 0 in modo tale che  n\theta= \lamdba resti costante.

È allora possibile dimostrare che
\lim_{\left\begin{array}{l} n \rightarrow \infty \\ \theta \rightarrow 0\end{array}\right} \left(\begin{array}{l} n \\x\end{array}\right) \theta ^x(1- \theta)^{n-x}=\frac{e^{- \lambda} \lambda^x}{x!}

Quindi, quando n \rightarrow \infty e \theta \rightarrow 0 con n\theta= \lamdba costante, la vc  Bin(n, \theta) tende in distribuzione ad una vc \sim Po( \lambda) . In virtù del tendere di \theta a zero la vc di Poisson è detta vc degli eventi rari, tuttavia tale definizione è scorretta poiché essa è ben definita anche per eventi tutt’altro rari.

Quando invece \theta \rightarrow \infty la vc di Poisson converge in distribuzione ad una vc continua.

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