La vc di Poisson è stata derivata da Poisson (da cui prende il nome) come limite della vc Binomiale e successivamente utilizzata da Bartwiecz nello studio del numero annuo di morti da calcio di cavallo nell’armata prussiana.
Fissato un ambito di riferimento (spazio o tempo) di definisce processo di Poisson la ripetizione nelle medesime condizioni di un esperimento che soddisfa determinate condizioni.
Con tali premesse, la vc di Poisson è un vc di “conteggio” ovvero, essa consente di calcolare la probabilità del verificarsi del numero di eventi di interesse nell’intervallo prefissato ed ha quindi ad oggetto eventi discreti (numerabili) in spazi (intervalli) continui.
La variabile casuale di Poisson è un modello per vc discrete che viene impiegato per calcolare la probabilità connessa a prove del seguenti tipo:
Sia E l’evento da studiare nell’intervallo [O,T], le condizioni che definiscono un processo di Poisson sono le seguenti:
Un vc discreta numerabile si definisce di Poisson se ha la seguente distribuzione di probabilità :
, e
Per denotare che una vc ha distribuzione di Poisson si scrive:
Essa è ben definita poiché:
Da valutazioni empiriche risulta che in europa si verificano 6 incidenti automobilistici mortali all’ora nel corso del fine settimana, calcolare la probabilità :
a) che trascorra un’ora senza che si verifichino incidenti;
b) che trascorrano 20 minuti con un solo incidente;
c) che trascorrano 3 intervalli consecutivi di 20 minuti ciascuno con un solo incidente in ognuno di essi;
d) che si abbiano 3 incidenti in un ora.
Gli incidenti presentano un tasso orario pari a 6 e sono indipendenti, pertanto si può assumere che la vc X che rappresenta il num. di incidenti segua la distribuzione di Poisson con parametro quando l’intervallo temporale di riferimento è l’ora.
La vc di Poisson di parametro possiede la seguente funzione generatrice dei momenti:
Come di consueto la fgm può essere utilizzata per derivare i momenti caratteristici della vc di Poisson.
Ai fini della derivazione dei momenti caratteristici della vc di Poisson a partire dalle fgm si ricordi che:
Essendo
e
si ha:
Pertanto, il valore atteso e la varianza della vc di Poisson coincidono.
La famiglia di vc di Poisson è chiusa rispetto allo operazione di somma di vc indipendenti, ovvero gode della proprietà riproduttiva in virtù della quale la somma di vc di Poisson indipendenti è ancora una vc di Poisson.
Siano n vc di poisson indipendenti tali che con , si ha che:
se la vc addendi sono anche somiglianti allora:
Come si è detto in precedenza, la vc di Poisson è stata derivata come limite della vc Binomiale, in particolare, sia e si suppinga che e in modo tale che resti costante.
È allora possibile dimostrare che
Quindi, quando e con costante, la vc tende in distribuzione ad una vc . In virtù del tendere di a zero la vc di Poisson è detta vc degli eventi rari, tuttavia tale definizione è scorretta poiché essa è ben definita anche per eventi tutt’altro rari.
Quando invece la vc di Poisson converge in distribuzione ad una vc continua.
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