Vai alla Home Page About me Courseware Federica Living Library Federica Federica Podstudio Virtual Campus 3D Le Miniguide all'orientamento Gli eBook di Federica La Corte in Rete
 
 
Il Corso Le lezioni del Corso La Cattedra
 
Materiali di approfondimento Risorse Web Il Podcast di questa lezione

Carmela Cappelli » 15.Modelli per vc continue: le vc uniforme continua


Introduzione

La vc uniforme continua è legata ad una prova che genera quale risultato un numero reale compreso in un intervallo delimitato e caratterizzato dal fatto che sotto-intervalli di pari ampiezza presentano la medesima probabilità e che quindi in generale la probabilità è proporzionale alla lunghezza dell’intervallo.
Sia X un vc continua definita sul supporto \theta_1, \theta_2 e, per qualsiasi intervallo (a,b) \subset [\theta_1, \theta_2] , sia:
Pr(a<X<b )=\int _a ^ b f(x) dx= c(b-a) dove c è una costante di normalizzazione.
Ciò avviene se e solo se f(x) è costante e cioè UNIFORME sull’intervallo di definizione.

Caratteristiche della vc Uniforme

Affinché la vc X sia ben definita la costante di normalizzazione c deve essere non negativa e l’integrale sull’intervallo di definizione pari all’unità. Quindi, si definisce vc Uniforme continua sull’intervallo \theta_1, \theta_2 e la si indica con X \sim U(\theta_1, \theta_2) , la vc la cui funzione di densità è pari a:
f(x)=\frac{1}{\theta_2-\theta_1}


Fr della vc Uniforme

La vc uniforme continua ha la seguente funzione di ripartizione:
F(x)=\int _{\theta_1}^{x} f(w) dw=   \left\{\begin{array}{ll} 0 & x\leq \theta_1 \\  \frac{x-\theta_1}{\theta_2 - \theta_1} & \theta_1 < x < \theta_2 \\  1 & x \geq \theta_2\end{array}\right
Data la definizione di quantile si ha:

F(x_p,)=p, \forall p \subset [0,1]

\frac{x_p - \theta_1}{\theta_2 - \theta_1}=p da cui: x_p = \theta_1+ p(\theta_2 - \theta_1)}

Quantili della vc Uniforme discreta

Esplicitando  x_p dalla formula vista prima si ha che in generale  x_p = \theta_1+ p(\theta_2 - \theta_1} da cui si possono ricavare i quartili della vc Uniforme continua che sono riportati nella tabella a fianco.
Pertanto il valore atteso della vc uniforme continua è pari a
\mu= \frac{\theta_2 - \theta_1}{2}


Momenti della vc Uniforme

I momenti di ordine r della vc Uniforme continua sono ricavabili agevolmente per integrazione:
\mu_r= \int_{\theta_1}^{\theta_2} x^r \frac{1}{\theta_2 -\theta_1}= \frac{ \theta_2 ^{(r+1)} -\theta_1 ^{(r+1)}}{(r+1)(\theta_2 - \theta_1)} da cui:

  • E(X)= \mu= \frac{\theta_2 - \theta_2}{2}
  • Var(X)= \frac{(\theta_2- \theta_1)^2}{12}

Esempio

Si supponga che il tempo di attesa di uno studente per sostenere l’esame di calcolo delle probabilità e statistica sia descrivibile mediante una vc uniforme.
Si calcoli la probabilità che uno studente attenda almeno 10 minuti assumendo che gli esami durino almeno 20 minuti.

Esempio 2

Denotata con X la vc “il tempo di attesa di uno studente per sostenere l’esame di calcolo delle probabilità e statistica” tale vc presenta la seguente densità di probabilità:
f(x) = \left \{\begin{array}{ll} \frac{1}{20} & x\in(0,20) \\  0 & altrove \end{array}\right
Pertanto la probabilità richiesta è data da:
Pr(X \geq 10)= 1- Pr( X < 10)= 1- \int_0^{10} \frac{1}{20} dx=0.5

Uniforme continua standard

Una formulazione standard della vc Uniforme continua si ha quando \theta_1=0 e \theta_2=1 ovvero X \sim U(0, 1) , in tal caso:

E(X)= \frac{\theta_2 - \theta_2}{2}= 1/2
Var(X)= \frac{(\theta_2- \theta_1)^2}{12}=1/12
Si noti che ogni vc X Uniforme continua nell’intervallo (\theta_1, \theta_2) può essere ricondotta da una vc Y uniforme continua in (0,1) mediante la trasformazione:
Y= \frac{X- \theta_1}{\theta_2 -\theta_1} \sim U(0,1)

La trasformazione integrale

Una proprietà molto importante della vc Uniforme continua è la cd Trasformazione integrale.
Grazie a tale proprietà ogni vc continua può essere ricondotta ad una vc Uniforme in (0,1).
Sia X \sim F(x) e Y= F(x) , si ha:

F_Y(y)= Pr( Y \leq y)&=& Pr(F_X(x) \leq y) = Pr(F_X^{-1}(F(x))\leq F_X^{-1}(y)) = Pr(X \leq _X^{-1}(y)) &=&F_X(F_X^{-1}(y))=y

Combinazione lineare di vc Uniformi continue

La combinazione lineare di più vc uniformi continue indipendenti non è una vc uniforme, in particolare:

  • S_2= U_1 + U_2 con    U_1, U_2 \sim U(0,1) indipendenti è una vc che prende il nome di vc triangolare (non è oggetto del programma);
  • S_n_ \sum_{i=1}^n U_i con U_i \sim U(0,1) indipendenti è una vc la cui funzione di densità è la giustapposizione di n polinomi di grado n-1 ognuno definito su sotto-intervalli di pari ampiezza; la standardizzata di S_n al crescere di n tende ad assumere una forma campanulare e simmetrica.
  • Contenuti protetti da Creative Commons
  • Feed RSS
  • Condividi su FriendFeed
  • Condividi su Facebook
  • Segnala su Twitter
  • Condividi su LinkedIn
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion