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Carmela Cappelli » 15.Modelli per vc continue: le vc uniforme continua


Introduzione

La vc uniforme continua è legata ad una prova che genera quale risultato un numero reale compreso in un intervallo delimitato e caratterizzato dal fatto che sotto-intervalli di pari ampiezza presentano la medesima probabilità e che quindi in generale la probabilità è proporzionale alla lunghezza dell’intervallo.
Sia X un vc continua definita sul supporto \theta_1, \theta_2 e, per qualsiasi intervallo (a,b) \subset [\theta_1, \theta_2] , sia:
Pr(a<X<b )=\int _a ^ b f(x) dx= c(b-a) dove c è una costante di normalizzazione.
Ciò avviene se e solo se f(x) è costante e cioè UNIFORME sull’intervallo di definizione.

Caratteristiche della vc Uniforme

Affinché la vc X sia ben definita la costante di normalizzazione c deve essere non negativa e l’integrale sull’intervallo di definizione pari all’unità. Quindi, si definisce vc Uniforme continua sull’intervallo \theta_1, \theta_2 e la si indica con X \sim U(\theta_1, \theta_2) , la vc la cui funzione di densità è pari a:
f(x)=\frac{1}{\theta_2-\theta_1}


Fr della vc Uniforme

La vc uniforme continua ha la seguente funzione di ripartizione:
F(x)=\int _{\theta_1}^{x} f(w) dw=   \left\{\begin{array}{ll} 0 & x\leq \theta_1 \\  \frac{x-\theta_1}{\theta_2 - \theta_1} & \theta_1 < x < \theta_2 \\  1 & x \geq \theta_2\end{array}\right
Data la definizione di quantile si ha:

F(x_p,)=p, \forall p \subset [0,1]

\frac{x_p - \theta_1}{\theta_2 - \theta_1}=p da cui: x_p = \theta_1+ p(\theta_2 - \theta_1)}

Quantili della vc Uniforme discreta

Esplicitando  x_p dalla formula vista prima si ha che in generale  x_p = \theta_1+ p(\theta_2 - \theta_1} da cui si possono ricavare i quartili della vc Uniforme continua che sono riportati nella tabella a fianco.
Pertanto il valore atteso della vc uniforme continua è pari a
\mu= \frac{\theta_2 - \theta_1}{2}


Momenti della vc Uniforme

I momenti di ordine r della vc Uniforme continua sono ricavabili agevolmente per integrazione:
\mu_r= \int_{\theta_1}^{\theta_2} x^r \frac{1}{\theta_2 -\theta_1}= \frac{ \theta_2 ^{(r+1)} -\theta_1 ^{(r+1)}}{(r+1)(\theta_2 - \theta_1)} da cui:

  • E(X)= \mu= \frac{\theta_2 - \theta_2}{2}
  • Var(X)= \frac{(\theta_2- \theta_1)^2}{12}

Esempio

Si supponga che il tempo di attesa di uno studente per sostenere l’esame di calcolo delle probabilità e statistica sia descrivibile mediante una vc uniforme.
Si calcoli la probabilità che uno studente attenda almeno 10 minuti assumendo che gli esami durino almeno 20 minuti.

Esempio 2

Denotata con X la vc “il tempo di attesa di uno studente per sostenere l’esame di calcolo delle probabilità e statistica” tale vc presenta la seguente densità di probabilità:
f(x) = \left \{\begin{array}{ll} \frac{1}{20} & x\in(0,20) \\  0 & altrove \end{array}\right
Pertanto la probabilità richiesta è data da:
Pr(X \geq 10)= 1- Pr( X < 10)= 1- \int_0^{10} \frac{1}{20} dx=0.5

Uniforme continua standard

Una formulazione standard della vc Uniforme continua si ha quando \theta_1=0 e \theta_2=1 ovvero X \sim U(0, 1) , in tal caso:

E(X)= \frac{\theta_2 - \theta_2}{2}= 1/2
Var(X)= \frac{(\theta_2- \theta_1)^2}{12}=1/12
Si noti che ogni vc X Uniforme continua nell’intervallo (\theta_1, \theta_2) può essere ricondotta da una vc Y uniforme continua in (0,1) mediante la trasformazione:
Y= \frac{X- \theta_1}{\theta_2 -\theta_1} \sim U(0,1)

La trasformazione integrale

Una proprietà molto importante della vc Uniforme continua è la cd Trasformazione integrale.
Grazie a tale proprietà ogni vc continua può essere ricondotta ad una vc Uniforme in (0,1).
Sia X \sim F(x) e Y= F(x) , si ha:

F_Y(y)= Pr( Y \leq y)&=& Pr(F_X(x) \leq y) = Pr(F_X^{-1}(F(x))\leq F_X^{-1}(y)) = Pr(X \leq _X^{-1}(y)) &=&F_X(F_X^{-1}(y))=y

Combinazione lineare di vc Uniformi continue

La combinazione lineare di più vc uniformi continue indipendenti non è una vc uniforme, in particolare:

  • S_2= U_1 + U_2 con    U_1, U_2 \sim U(0,1) indipendenti è una vc che prende il nome di vc triangolare (non è oggetto del programma);
  • S_n_ \sum_{i=1}^n U_i con U_i \sim U(0,1) indipendenti è una vc la cui funzione di densità è la giustapposizione di n polinomi di grado n-1 ognuno definito su sotto-intervalli di pari ampiezza; la standardizzata di S_n al crescere di n tende ad assumere una forma campanulare e simmetrica.
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