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Carmela Cappelli » 15.Modelli per vc continue: le vc uniforme continua

Introduzione

La vc uniforme continua è legata ad una prova che genera quale risultato un numero reale compreso in un intervallo delimitato e caratterizzato dal fatto che sotto-intervalli di pari ampiezza presentano la medesima probabilità e che quindi in generale la probabilità è proporzionale alla lunghezza dell’intervallo.
Sia X un vc continua definita sul supporto $\theta_1, \theta_2$ e, per qualsiasi intervallo $(a,b) \subset [\theta_1, \theta_2]$ , sia:
$Pr(a<X<b )=\int _a ^ b f(x) dx= c(b-a)$ dove c è una costante di normalizzazione.
Ciò avviene se e solo se f(x) è costante e cioè UNIFORME sull’intervallo di definizione.

Caratteristiche della vc Uniforme

Affinché la vc X sia ben definita la costante di normalizzazione c deve essere non negativa e l’integrale sull’intervallo di definizione pari all’unità. Quindi, si definisce vc Uniforme continua sull’intervallo $\theta_1, \theta_2$ e la si indica con $X \sim U(\theta_1, \theta_2)$ , la vc la cui funzione di densità è pari a:
$f(x)=\frac{1}{\theta_2-\theta_1}$

Fr della vc Uniforme

La vc uniforme continua ha la seguente funzione di ripartizione:
$F(x)=\int _{\theta_1}^{x} f(w) dw= \left\{\begin{array}{ll} 0 & x\leq \theta_1 \\ \frac{x-\theta_1}{\theta_2 - \theta_1} & \theta_1 < x < \theta_2 \\ 1 & x \geq \theta_2\end{array}\right$
Data la definizione di quantile si ha:

$F(x_p,)=p, \forall p \subset [0,1]$

$\frac{x_p - \theta_1}{\theta_2 - \theta_1}=p$ da cui: $x_p = \theta_1+ p(\theta_2 - \theta_1)}$

Quantili della vc Uniforme discreta

Esplicitando $x_p$ dalla formula vista prima si ha che in generale $x_p = \theta_1+ p(\theta_2 - \theta_1}$ da cui si possono ricavare i quartili della vc Uniforme continua che sono riportati nella tabella a fianco.
Pertanto il valore atteso della vc uniforme continua è pari a
$\mu= \frac{\theta_2 - \theta_1}{2}$

Momenti della vc Uniforme

I momenti di ordine r della vc Uniforme continua sono ricavabili agevolmente per integrazione:
$\mu_r= \int_{\theta_1}^{\theta_2} x^r \frac{1}{\theta_2 -\theta_1}= \frac{ \theta_2 ^{(r+1)} -\theta_1 ^{(r+1)}}{(r+1)(\theta_2 - \theta_1)}$ da cui:

$E(X)= \mu= \frac{\theta_2 - \theta_2}{2}$
$Var(X)= \frac{(\theta_2- \theta_1)^2}{12}$

Esempio

Si supponga che il tempo di attesa di uno studente per sostenere l’esame di calcolo delle probabilità e statistica sia descrivibile mediante una vc uniforme.
Si calcoli la probabilità che uno studente attenda almeno 10 minuti assumendo che gli esami durino almeno 20 minuti.

Esempio 2

Denotata con X la vc “il tempo di attesa di uno studente per sostenere l’esame di calcolo delle probabilità e statistica” tale vc presenta la seguente densità di probabilità:
$f(x) = \left \{\begin{array}{ll} \frac{1}{20} & x\in(0,20) \\ 0 & altrove \end{array}\right$
Pertanto la probabilità richiesta è data da:
$Pr(X \geq 10)= 1- Pr( X < 10)= 1- \int_0^{10} \frac{1}{20} dx=0.5$

Uniforme continua standard

Una formulazione standard della vc Uniforme continua si ha quando $\theta_1=0$ e $\theta_2=1$ ovvero $X \sim U(0, 1)$ , in tal caso:

$E(X)= \frac{\theta_2 - \theta_2}{2}= 1/2$
$Var(X)= \frac{(\theta_2- \theta_1)^2}{12}=1/12$
Si noti che ogni vc X Uniforme continua nell’intervallo $(\theta_1, \theta_2)$ può essere ricondotta da una vc Y uniforme continua in (0,1) mediante la trasformazione:
$Y= \frac{X- \theta_1}{\theta_2 -\theta_1} \sim U(0,1)$

La trasformazione integrale

Una proprietà molto importante della vc Uniforme continua è la cd Trasformazione integrale.
Grazie a tale proprietà ogni vc continua può essere ricondotta ad una vc Uniforme in (0,1).
Sia $X \sim F(x)$ e $Y= F(x)$ , si ha:

$F_Y(y)= Pr( Y \leq y)&=& Pr(F_X(x) \leq y) = Pr(F_X^{-1}(F(x))\leq F_X^{-1}(y)) = Pr(X \leq _X^{-1}(y)) &=&F_X(F_X^{-1}(y))=y$

Combinazione lineare di vc Uniformi continue

La combinazione lineare di più vc uniformi continue indipendenti non è una vc uniforme, in particolare:

$S_2= U_1 + U_2$ con $U_1, U_2 \sim U(0,1)$ indipendenti è una vc che prende il nome di vc triangolare (non è oggetto del programma);

$S_n_ \sum_{i=1}^n U_i$ con $U_i \sim U(0,1)$ indipendenti è una vc la cui funzione di densità è la giustapposizione di n polinomi di grado n-1 ognuno definito su sotto-intervalli di pari ampiezza; la standardizzata di $S_n$ al crescere di n tende ad assumere una forma campanulare e simmetrica.