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Carmela Cappelli » 12.Modelli per vc discrete: vc uniforme discreta e vc di Bernoulli


Famiglia parametrica di vc

Sebbene gli esperimenti probabilistici siano infiniti, molti di essi sono riconducibili a degli schemi e danno luogo pertanto ad dei modelli di variabili casuali.
La formalizzazione di modelli è legata al concetto di famiglia parametrica definita come insieme di vc
X \sim F(x, \theta) che presentano la medesima forma funzionale della funzione di ripartizione (e quindi stessa distribuzione di probabilità se sono vc discrete o funzione di densità se sono vc continue) e si distinguono per lo specifico valore assunto dal parametro \theta i cui valori ammissibili definiscono il cd spazio parametrico \Omega (\theta).

La vc uniforme discreta

La vc uniforme discreta è generata da una prova assimilabile alla estrazione di una pallina da un’urna che contiene n palline numerate da 1 ad n identiche per forma, dimensione, peso in modo tale da renderle indistinguibili all’atto della estrazione.
Tale prova è molto frequente ne sono esempi:

  • Lancio di un dado regolare
  • Estrazione di una carta da un mazzo
  • Estrazione di un numero al lotto su una data ruota

La vc uniforme discreta (segue)

La vc uniforme discreta assume i valori   x=1,2,\dots,n con probabilità costante p (X=x)=\frac{1}{n}, \forall x=1, \dots,n.
Per indicare che una vc X è distribuita come una uniforme discreta si scrive:
X \sim Ud(n).
Essa è ben definita poiché
P(X=x)=\frac{1}{n} > 0
\sum _{x=1}^{n} P(X=x)= n \frac{1}{n}=1

La vc uniforme discreta (segue)

La vc uniforme discreta ha funzione di ripartizione:
\begin{array}{cl} F(x)=0 & \ x<1 \\ F(x)= \frac{m}{n} & \ m \leq x < m+1 \\ F(x)=1 & \ x \geq n \end{array}.
I suoi momenti caratteristici invece sono dati da:

E( X)= \sum_{x=1}^{n} x \frac{1}{n}=\frac{n+1}{2}

E( X^2)= \sum_{x=1}^{n} x^2 \frac{1}{n}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}

Var( X)= E(X^2)- [E(X)]^2 =\frac{n^2-1}{12}

La vc uniforme discreta (segue)

In figura a fianco è riportata la distribuzione di probabilità e la funzione di ripartitone della vc x˜ Ud(6) per il caso del lancio di un dado regolare

E(X)= \frac{n+1}{2}=7/2=3.5
Var(X)= =\frac{n^2-1}{12}=35/12=2.92


La vc di Bernoulli

La vc di Bernoulli prende il nome dallo scienziato svizzero J. Bernoulli, essa trae origine
da una prova nella quale è di interesse il verificarsi o meno di un evento E.
E’ il modello aleatorio che descrive quindi un esperimento di natura “dicotomica”, detto anche prova bernoulliana.
Tale situazione è estremamente diffusa nelle situazioni reali si pensi ad esempio:

  • Estrazione di un carta da un mazzo;
  • Effetto o meno di un farmaco;
  • Rendimento di un titolo al di sopra o al di sotto di una soglia;
  • Uscita di un dato numero lanciando un dado.

La vc di Bernoulli (segue)

Di norma si associa al verificarsi dell’evento E (cd successo) il valore x=1 ed al verificarsi di \bar E il valore x=0 indicando con \theta la probabilità di successo e quindi sarà 1- \theta la probabilità che invece l’evento E non si verifichi.
La distribuzione di probabilità della vc di Bernoulli riportata a fianco, può essere scritta in forma compatta come segue:
Pr(X=x)= \theta^x(1- \theta)^{1-x}
Tale espressione analitica racchiude tanto il caso del verificarsi di E che quello del verificarsi di \bar E

In figura: Distribuzione di probabilità della vc x˜ Ber(θ).


La vc di Bernoulli (segue)

La vc di Bernoulli ha funzione di ripartizione:
\begin{array}{ll} F(x)=0 & \ x<0 \\ F(x)= 1-\theta & 0 \leq x < 1 \\ F(x)=1 & x \geq 1 \end{array}

I momenti caratteristici della vc di Bernoulli sono i seguenti:
E[X]= \sum x_i p_i=0 (1-\theta) + 1 \theta= \theta

Var[X]= E(X^2)- [E(X)]^2=\sum x_i^2 p_i - \theta^2=0^2(1-\theta) + 1^2 \theta - \theta^2= \theta(1- \theta)

Tali momenti si possono alternativamente ricavare dalla fgm dei momenti:
G(t)= E(\exp(tx))=\sum \exp(tx_i) p_i= \exp(t*0)(1-\theta) + \exp(t*1)\theta = 1- \theta[1- \exp(t)]

La vc di Bernoulli note

Dalla espressione dei momenti caratteristici della vc di bernoulli si evince che il valore atteso coincide con la probabilità di successo mentre la varianza è compresa nell’ intervallo [1,1/4] ed è massima quando
\theta=1- \theta= 1/2 che configura la situazione di massima incertezza del successo come ad esempio nel lancio di una moneta bilanciata.

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