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Carmela Cappelli » 12.Modelli per vc discrete: vc uniforme discreta e vc di Bernoulli

Famiglia parametrica di vc

Sebbene gli esperimenti probabilistici siano infiniti, molti di essi sono riconducibili a degli schemi e danno luogo pertanto ad dei modelli di variabili casuali.
La formalizzazione di modelli è legata al concetto di famiglia parametrica definita come insieme di vc
$X \sim F(x, \theta)$ che presentano la medesima forma funzionale della funzione di ripartizione (e quindi stessa distribuzione di probabilità se sono vc discrete o funzione di densità se sono vc continue) e si distinguono per lo specifico valore assunto dal parametro $\theta$ i cui valori ammissibili definiscono il cd spazio parametrico $\Omega (\theta)$ .

La vc uniforme discreta

La vc uniforme discreta è generata da una prova assimilabile alla estrazione di una pallina da un’urna che contiene n palline numerate da 1 ad n identiche per forma, dimensione, peso in modo tale da renderle indistinguibili all’atto della estrazione.
Tale prova è molto frequente ne sono esempi:

Lancio di un dado regolare
Estrazione di una carta da un mazzo
Estrazione di un numero al lotto su una data ruota

La vc uniforme discreta (segue)

La vc uniforme discreta assume i valori $x=1,2,\dots,n$ con probabilità costante $p (X=x)=\frac{1}{n}, \forall x=1, \dots,n$ .
Per indicare che una vc X è distribuita come una uniforme discreta si scrive:
$X \sim Ud(n)$ .
Essa è ben definita poiché
$P(X=x)=\frac{1}{n} > 0$
$\sum _{x=1}^{n} P(X=x)= n \frac{1}{n}=1$

La vc uniforme discreta (segue)

La vc uniforme discreta ha funzione di ripartizione:
$\begin{array}{cl} F(x)=0 & \ x<1 \\ F(x)= \frac{m}{n} & \ m \leq x < m+1 \\ F(x)=1 & \ x \geq n \end{array}$ .
I suoi momenti caratteristici invece sono dati da:

$E( X)= \sum_{x=1}^{n} x \frac{1}{n}=\frac{n+1}{2}$

$E( X^2)= \sum_{x=1}^{n} x^2 \frac{1}{n}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$

$Var( X)= E(X^2)- [E(X)]^2 =\frac{n^2-1}{12}$

La vc uniforme discreta (segue)

In figura a fianco è riportata la distribuzione di probabilità e la funzione di ripartitone della vc x_˜ Ud(6) per il caso del lancio di un dado regolare

$E(X)= \frac{n+1}{2}=7/2=3.5$
$Var(X)= =\frac{n^2-1}{12}=35/12=2.92$

La vc di Bernoulli

La vc di Bernoulli prende il nome dallo scienziato svizzero J. Bernoulli, essa trae origine
da una prova nella quale è di interesse il verificarsi o meno di un evento E.
E’ il modello aleatorio che descrive quindi un esperimento di natura “dicotomica”, detto anche prova bernoulliana.
Tale situazione è estremamente diffusa nelle situazioni reali si pensi ad esempio:

Estrazione di un carta da un mazzo;
Effetto o meno di un farmaco;
Rendimento di un titolo al di sopra o al di sotto di una soglia;
Uscita di un dato numero lanciando un dado.

La vc di Bernoulli (segue)

Di norma si associa al verificarsi dell’evento $E$ (cd successo) il valore x=1 ed al verificarsi di $\bar E$ il valore x=0 indicando con $\theta$ la probabilità di successo e quindi sarà $1- \theta$ la probabilità che invece l’evento $E$ non si verifichi.
La distribuzione di probabilità della vc di Bernoulli riportata a fianco, può essere scritta in forma compatta come segue:
$Pr(X=x)= \theta^x(1- \theta)^{1-x}$
Tale espressione analitica racchiude tanto il caso del verificarsi di $E$ che quello del verificarsi di $\bar E$

In figura: Distribuzione di probabilità della vc x_˜ Ber(θ).

La vc di Bernoulli (segue)

La vc di Bernoulli ha funzione di ripartizione:
$\begin{array}{ll} F(x)=0 & \ x<0 \\ F(x)= 1-\theta & 0 \leq x < 1 \\ F(x)=1 & x \geq 1 \end{array}$

I momenti caratteristici della vc di Bernoulli sono i seguenti:
$E[X]= \sum x_i p_i=0 (1-\theta) + 1 \theta= \theta$

$Var[X]= E(X^2)- [E(X)]^2=\sum x_i^2 p_i - \theta^2=0^2(1-\theta) + 1^2 \theta - \theta^2= \theta(1- \theta)$

Tali momenti si possono alternativamente ricavare dalla fgm dei momenti:
$G(t)= E(\exp(tx))=\sum \exp(tx_i) p_i= \exp(t*0)(1-\theta) + \exp(t*1)\theta = 1- \theta[1- \exp(t)]$

La vc di Bernoulli note

Dalla espressione dei momenti caratteristici della vc di bernoulli si evince che il valore atteso coincide con la probabilità di successo mentre la varianza è compresa nell’ intervallo [1,1/4] ed è massima quando
$\theta=1- \theta= 1/2$ che configura la situazione di massima incertezza del successo come ad esempio nel lancio di una moneta bilanciata.