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Immacolata Ortosecco » 6.Analisi di Fourier

Analisi dei segnali in altri domini e dominio della frequenza

Trasformate
Basi
Serie di Fourier (tempo continuo)

I segnali e il dominio

Prendiamo in esame segnali di tipo sinusoidale con frequenza fissa e frequenza variabile nel tempo.

E’ possibile analizzare il comportamento di questi segnali nel dominio del tempo.

Facendo un grafico nel dominio del tempo si possono valutare ampiezza, fase e considerando gli attraversamenti dell’asse dei tempi, (zero crossing) anche la frequenza.

Se occorre si può valutare il contenuto energetico, il valore medio, la deviazione standard, o il grado di somiglianza con altri segnali, utilizzando ad es. la correlazione.
Ci occuperemo ora dell’analisi degli stessi segnali nel dominio della frequenza, allo scopo di valutare in maniera più agevole le componenti sinusoidali contenute nel segnale con relative ampiezze e frequenze.

Per l’ascolto dei segnali vedi “Materiali di supporto alla lezione”.

Segnale#1 Tono a 300 Hz di durata 1.5 s

Segnale#2 sweep di durata 2s. Passada 0 Hz passa a 150 Hz dopo 1 s

Trasformate…Trasformate…

Le operazioni matematiche, denominate ‘trasformate’ consentono di analizzare comportamenti di un ampio numero di fenomeni fisici spostandosi in domini più convenienti.

Un esempio semplice di trasformata

Pensiamo all’operazione prodotto di due numeri.

L’algoritmo della moltiplicazione può essere lungo e richiedere grande attenzione se fatto manualmente ed applicato ad un numero notevole di dati.

In passato, prima dell’avvento delle calcolatrici elettroniche, era in uso, per coloro che facevano molte operazioni tipo prodotti, divisioni etc.. Il regolo calcolatore.

Il regolo, sfruttando le proprietà dei logaritmi,consentiva di ottenere in maniera rapida operazioni di prodotti , divisioni ed esponenziali di numeri, sommando o sottraendo i logaritmi del loro valore su assicelle fornite di scale logaritmiche.

Questo concetto di trasformata è abbastanza semplice, perché questo è un problema monodimensionale: un singolo valore di una variabile viene trasformato in un altro singolo valore.

$\begin{array}{cc} X\rightarrow & log(X)\end{array}$

Fare la Trasformata di un segnale equivale a fare la trasformata di una funzione o di una sequenza

Nel caso di una funzione x(t) con t variabile da –∞ a +∞ occorre trovare una nuova funzione X(f) in un nuovo dominio che è quello della variabile f.
Tutte le trasformate utilizzano un insieme di funzioni speciali che formano la base.

Basi

Il concetto di base è stato incontrato già in altre occasioni. In particolare per le basi numeriche.
Qualunque numero si può esprimere come una combinazione lineare di potenze della base moltiplicate per coefficienti appartenenti all’insieme delle cifre della base.

Esempio: numero binario 101 =1*2²+ 0*2¹+1*2⁰

La rappresentazione numerica è unica in quella base.

E’ un fatto noto che i vettori di uno spazio vettoriale, ad esempio versori di un sistema di riferimento tridimensionale cartesiano,

i_x,i_y, i_zcostiuiscono una base, che è ortonormale in R3 nel senso che il loro prodotto scalare è zero o uno.

$i_{x}\bullet i_{y}=0, & i_{y}\bullet i_{z}=0, & i_{z}\bullet i_{x}=0 & i_{x}\bullet i_{x}=1,i_{y}\bullet i_{y}=1,i_{z}\bullet i_{z}=1\end{array}$

Basi di funzioni

Anche le funzioni o le sequenze sinusoidali armoniche nel tempo o esponenziali complessi armonici possono formare una base. Ci sono classi di funzioni x(t) o di sequenze x[n] che possono essere esprimibili o approssimabili come combinazione lineare degli elementi alla base, il numero degli elementi alla base può essere finito o infinito.
$x(t)\approx\bar{x}(t)=\sum_{k}c_{k}\phi_{k}(t)$

Basi di funzioni di Walsh

Un insieme di funzioni ortogonali per rappresentare funzioni discrete. Alcune funzioni della base.

Walsh: sequenze di onde quadre

Basi (segue)

Ricordiamo anche: Serie di Taylor e Serie di Mac Laurin.

Data una funzione f(x) definita nell’intervallo aperto (a-b,a+b) continua e derivabile infinite volte è possibile svilupparla in serie mediante una serie di Taylor

$f(x+a)=f(a)+f^{'}(a)x+f^{''}(a)\frac{x^{2}}{2!}+\cdot\cdot\cdot f^{n}(a)\frac{x^{n}}{n!}\cdot\cdot\cdot$

Uno sviluppo in serie di Mac Laurin è la serie precedente con a=0
Data una funzione f(t) a tempo continuo m volte derivabile

$f(t)=f(0)\times t^{0}+f^{'}(0)\times t+\frac{f^{''}(0)}{2!}\times t^{2}+...\frac{f^{m}(0)}{m!}\times t^{m}+ ...=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{f^{m}(0)}{m!}t^{m}$

Entrambe sono polinomiali nelle basi $\{x^n\}$ e $\{t^m\}$ rispettivamente.

Sviluppo in serie di Fourier

Le funzioni considerate più adatte per l’analisi di Fourier sono le funzioni sinusoidali o gli esponenziali complessi.
Proprietà delle funzioni della base
1. Le funzioni o sequenze seno e coseno oppure esponenziali complessi, che indicheremo genericamente come Φ_k (t) o Φ_k [n] costituiscono una base ortonormale.
$\frac{1}{T}\int_{T}\phi_{m}^{*}(t)\phi_{k}(t)=\delta(m-k)$

L’asterisco indica il complesso coniugato di Φm

Vedere materiali di studio per una dimostrazione.

2. Le funzioni Φ_k (t) o le sequenze Φ_k[n] sono autofunzioni per i Sistemi Lineari Tempo Invarianti.

Quando in input ad un sistema LTI c’è un’autofunzione, l’output risulta essere l’input moltiplicato per un fattore di guadagno. Lo stesso si verifica se in input c’è una combinazione lineare di autofunzioni.

Il fattore di guadagno Φ_kè l’autovalore.

Gli esponenziali complessi: autofunzioni dei sistemi LTI

Se l’input al sistema LTI nel TC è x(t) = e^st con $s\in\mathbb{C}$ ,

s=a+ib

$y(t)=\intop_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau=e^{st}\intop_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$
$H(s)=\intop_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$
È l’autovalore che rappresenta l’ampiezza dell’autofunzione.
Analogamente per il discreto

x[n] = zⁿ con $z\in\mathbb{C}$ e z=e^jω

La risposta del sistema è

$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]x[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{(n-k)}$

$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{(n-k)}=z^{n}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k}$

$H(e^{j\omega})=H(z)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k}$

È l’autovalore che rappresenta l’ampiezza dell’uscita nel discreto.

Sviluppo in serie di Fourier di x(t) periodico e continuo.

Dato un segnale periodico e continuo, vediamo ora come trovare i termini dello sviluppo in serie . Da

$x(t)=\underset{k=-\infty}{\sum^{\infty}a_{k}}e^{jk\omega_{0}t}$
Moltiplicando il primo e secondo membro per $e^{-in\omega_{0}t}$ ed integrando su un periodo T abbiamo $\int_{T}x(t)e^{-in\omega_{0}t}dt=\int_{T}$$\left(\underset{k=-\infty}{\sum^{\infty}a_{k}}e^{jk\omega_{0}t}\right)e^{-in\omega_{0}t}dt$

$={\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}\left(\int_{T}e^{j(k-n)\omega_{0}t}dt\right)}$
osservando che $\int_{T}e^{j(k-n)\omega_{0}t}dt=\begin{cases} T & k=n\\0, & k\neq n\end{cases}$ per l’ortogonalità delle funzioni della base ,quest’ultima espressione si può scrivere
$=T\delta[k-n]$

di conseguenza , l’espressione di partenza è =

${\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}T\delta[k-n]=a_{n}T}$

Questo ci consente di ottenere la formula di analisi della serie di F. a TC

Sviluppo in serie di F. per l’onda quadra

Per l’onda QUADRA in figura i coefficienti $a_k$ sono: per

$k=0$

$a_{0}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)dt=\frac{2T_{1}}{T}$

e per $k\neq0$

$a_k=\frac{1}{T}\int_{-T_{1}}^{T_{1}}e^{-jk\omega_{0}t}dt=\frac{1}{jk\omega_{0}T}e^{-jk\omega_{0}t}|_{-T_{1}}^{T_{1}}=\frac{sink\omega_{0}T_{1}}{K\pi}$

Istruzioni Matlab per la visualizzazione dei coefficienti dello sviluppo in serie

T=8;T1=1;
y=sin((-20:20).*2*pi./8)./((-20:20).*pi);
stem([-20:20],y)
y(21)=1/4;stem([-20:20],y)
title(‘ak=sin((-20:20).*2*pi./8)./((-20:20).*pi); a0=1/4′)

Onda quadra e suoi coefficienti di Fourier

Convergenza

Quando diciamo che vale la relazione

$x(t)=undersetBk=-inftyDBsum^BinftyDa_BkDDe^Bjkomega_B0DtD$

intendiamo che non ci sia energia nell’errore

$e(t)=x(t)-undersetBk=-inftyDBsum^BinftyDa_BkDDe^Bjkomega_B0DtD$ Che equivale a dire

$int_BTD|e(t)|^B2Ddt=0$

Questo implica che x(t) abbia su un periodo T energia finita $\int_T|x(t)|^2 dt<\infty$

Convergenza (segue)

Utilizzando esponenziali complessi $e^{jk\omega_{0}n}$ , attraverso la formula di Eulero potremo sempre esprimere anche le sequenze armoniche seno e coseno e potremo avere una rappresentazione della trasformata in termini di seno e coseno.
Analisi di segnali a tempo continuo periodici.

Il problema centrale dell’analisi di Fourier mediante la serie di F. é mostrare come una funzione periodica, che nel nostro caso rappresenta un segnale, può essere descritta come una serie di funzioni o sequenze esponenziali complesse armoniche.

Un altro punto importante da osservare è : quali condizioni devono essere soddisfatte perchè la serie converga alla funzione periodica data?

A questo proposito ricordiamo le condizioni di Dirichlet.

Condizioni di Dirichlet per la convergenza della serie:

La funzione periodica deve essere assolutamente integrabile su un periodo.
In ogni periodo ci deve essere solo un numero finito di massimi e di minimi.
In ogni intervallo finito ci deve essere un numero finito di discontinuità e ciascuna discontinuità deve essere finita.

Convergenza e Fenomeno di Gibbs

I segnali periodici f(t) come l’onda quadra , che ha discontinuità finite possono essere approssimati con le componenti di Fourier fornite dall’analisi.
La serie converge a x(t) in tutti i punti in cui la funzione periodica è continua
La serie converge alla media del limite destro e del limite sinistro nel punto della discontinuità.
Infine, per i segnali periodici a tempo continuo , come ad esempio l’onda quadra, l’approssimazione di x(t), limitata ad N componenti in frequenza, positive e negative è

$x_{N}(t)=\sum_{k=-N}^{N}a_{k}e^{-jk\omega_{0}t}$

mostra il fenomeno di Gibbs, come un’oscillazione che aumenta nella discontinutà e che non scompare mai, anche facendo tendere a infinito in numero delle componenti in frequenza.

Sintesi con 11 componenti spettrali.

Sintesi con 41 componenti spettrali

Convergenza della serie di Fourier alle discontinuità

x(t) sia un segnale che soddisfa le condizioni di Dirichlet. Sia discontinuo a t=t₀.

Sia x_N(t) un’approssimazione del segnale x(t) con coefficienti della serie che vanno da – N a N. Allora la serie converge al valor medio dei limiti destro e sinistro nel punto di discontinuità

$lim{}_{N\rightarrow\infty}x_{N}(t_{0})=\frac{lim_{t\rightarrow t_{0}^{+}}x(t)+lim_{t\rightarrow t_{0}^{-}}x(t)}{2}$

Esempio di sintesi

Sintesi di un'onda quadra . Sono state sovrapposte le varie sintesi a partire dal coefficiente di F. n.1 e fino al n.5,colori dal viola all'indaco.

Esempio: data la funzione periodica x(t) – treno di impulso – cerchiamo i corrispondenti coefficienti della serie

$x(t)=sum_{k=-infty&#125^{infty&#125delta(t-kT)$

$x(t)longleftrightarrow a_{k&#125$

Per calcolare i coefficienti della serie, selezioniamo un intervallo di integrazione da -T/2 a T/2 non mettendo gli impulsi ai limiti di integrazione, in questo intervallo x(t) coincide con una delta e segue:

$a_{k}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jk\omega_{0}t}dt=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\delta(t)e^{-jk\omega_{0}t}dt=\frac{1}{T}$

I coefficienti della serie sono tutti uguali. Sono reali e pari come i valori del treno x(t) che sono reali e pari. Stesso valore per tutti i k significa che tutte le componenti spettrali hanno la stessa ampiezza e la stessa fase.

Principali proprietà

Linearità
Simmetria coniugata
Time shift
Relazione di Parseval
Moltiplicazione
Convoluzione periodica

Proprietà segue

Linearità
$$se $ x(t)\leftrightarrow a_{k}$ e se $y(t)\leftrightarrow b_{k}$ , allora $\alpha x(t)+\beta y(t)\leftrightarrow\alpha a_{k}+\beta b_{k}$

Simmetria coniugata

Se x(t) è reale
la sequenza dei coefficienti di F. è tale che $a_{-k}=a*_{k}$
i coefficienti negativi sono uguali ai complessi coniugati di quelli positivi.
$Re\left\{ a_{k}\right\} +Im\left\{ a_{k}\right\} =|a_{k}|e^{j\angle a_{k}}$

La parte reale è pari e la parte immaginaria è dispari o equivalentemente se il numero complesso è espresso in forma polare , il modulo è pari e la fase è dispari.

Proprietà

Time shift

$x(t-t_{0&#125)longleftrightarrow a_{k&#125e^{-jkomega_{0&#125t_{0&#125&#125$

Relazione di Parseval

$frac{1&#125{T&#125int_{T&#125|x(t)|^{2&#125dt=underset{k=-infty&#125{sum^{infty&#125|a_{k&#125|^{2&#125&#125$

La potenza media del segnale e uguale alla somma della potenza delle varie armoniche.

Passando dal dominio del tempo a quello della frequenza l’energia misurata rimane la stessa.

Moltiplicazione

Dati x(t) ed y(t) segnali periodici di periodo T, con i rispettivi coefficienti di Fourier, a_k,b_ksegue che il prodotto dei due segnali x(t)y(t) ha coefficienti di F. dati dalla convoluzione dei coefficienti di Fourier di x(t) ed y(t):
$x(t)y(t)\longleftrightarrow c_{k}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}b_{k-m}$

Quindi i coefficienti del prodotto delle due funzioni sono dati dalla convoluzione discreta dei coefficienti delle rispettive funzioni periodiche.

Convoluzione periodica

Verifichiamo che date due funzioni x(t) e y(t) periodiche di periodo T, la convoluzione di x(t) con y(t) è:

$x(t)\otimes y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_{T}(\tau)y_{T}(t-\tau)d\tau.$

Se indichiamo con z(t) la convoluzione dei due segnali, che è anch’essa periodica di periodo T e integriamo su un tempo pari a un periodo, da 0 a T oppure da –T/2 a T/2 abbiamo:

$z(t)=int_{-T/2&#125^{T/2&#125x(tau)y(t-tau)dtau=int_{-infty&#125^{infty&#125x_{T&#125(tau)y(t-tau)dtau$

Dove

$x_T(t)=\left\{\begin{array}{ll}x(t)~~~~-T/2<t<T/2\\0 ~~~~~~\text{altrimenti}\end{array}\right.$

$z(t)=\int_{T}x(\tau)y(t-\tau)d\tau=x(t)\otimes y(t)$

La convoluzione periodica nel tempo dei due segnali x(t) ed y(t) è data da z(t) ed i suoi coefficienti di Fourier sono: $c_{k&#125=frac{1&#125{T&#125int_{T&#125z(t)e^{-jkomega_{0&#125t&#125dt=frac{1&#125{T&#125int_{T&#125left(int_{T&#125x(tau)y(t-tau)dtauright)e^{-jkomega_{0&#125t&#125dt$ $=int_{T&#125left(frac{1&#125{T&#125int_{T&#125y(t-tau)e^{-jkomega_{0&#125(t-tau)&#125dtright)x(tau)e^{-jkomega_{0&#125tau&#125dtau$ $=int_{T&#125b_{k&#125x(tau)e^{-jkomega_{0&#125tau&#125dtau=Ta_{k&#125b_{k&#125$

Che è il prodotto dei coefficienti nel dominio della frequenza.

Osservazioni conclusive

Abbiamo visto l’analisi di Fourier per segnali periodici a tempo continuo, quella che viene definita ‘Serie di Fourier’. Esamineremo in seguito altre tipologie di analisi come indicato nella slide successiva.