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Immacolata Ortosecco » 11.Applicazione della dft leakage spettrale


DFT: applicazioni

Una delle maggiori applicazioni della DFT riguarda l’analisi del contenuto in frequenza dei segnali a tempo continuo. I passi fondamentali per analizzare un segnale x(t) sono:

  1. Conversione da tempo continuo a tempo discreto da x(t) → x[n].
  2. Moltiplicazione del segnale a tempo continuo per una finestra per ottenere una sequenza di lunghezza finita come richiesto dalla DFT.
  3. Applicazione della DFT e conseguente valutazione dello spettro del segnale. Se il numero di campioni della sequenza finita è N, N è anche il numero delle frequenze dello spettro.

Il prodotto di x[n] per la finestra w[n] è v[n] = x[n] w[n]. Come conseguenza di tale prodotto, nel dominio delle frequenze, si ha l’effetto di una convoluzione periodica tra lo spettro del segnale e quello della finestra (vedi figure). La DFT della sequenza di lunghezza finita v[n] corrisponde a campioni equispaziati della trasformata di F. di v[n] cioè: V[k] = V(e)|ω= 2πk/N. Poiché la spaziatura tra le frequenze della DFT è 2π/N e la relazione tra variabile in frequenza a tempo discreto e variabile in frequenza del tempo continuo è ω=ΩT, doveT è il tempo di campionamento; le frequenze della DFT corrispondono a frequenze a tempo continuo Ωk= 2πk/NT.


DFT: applicazioni (segue)

Nel caso in cui w[n] è costante per 0 ≤ n ≤ N la finestra è detta rettangolare. Considerare brutalmente solo N campioni di una sequenza x[n] di lunghezza grande ed indefinita significa moltiplicare x[n] per una finestra rettangolare. La durata del segnale x[n] contenente N campioni equispaziati, presi ad intervalli di tempo T, è NT. La spaziatura tra gli N campioni  della DFT nel dominio della frequenza sarà 2π/N. Osserviamo che l’interpretazione della trasformata di F. a tempo continuo in termini di una DFT di un segmento di segnale campionato viene influenzata da vari fattori: tra essi ricordiamo

  • le modalità di estrazione dei campioni di x(t)
  • e le tipologie di finestre.

Leakage spettrale

Minimizzare il leakage spettrale

Le sequenze sulle quali applichiamo la DFT sono sequenze finite o troncate. Nel caso di sequenze periodiche, ricordiamo che il troncamento di una sequenza in un punto non multiplo del periodo introduce una forte discontinuità nel dominio del tempo e porta poi a lobi laterali nel calcolo dello spettro nel dominio della frequenza.

Questi lobi laterali sono responsabili di componenti in frequenza addizionali che sono denominate leakage.

Vedremo quali possono essere le tecniche per calcolare una DFT con minimo leakage.

Vediamo graficamente cosa succede.

In realtà il problema del troncamento, nel dominio del tempo, è il prodotto della sequenza da esaminare per una finestra rettangolare. Per effetto della proprietà del prodotto nel dominio del tempo abbiamo, nel dominio della frequenza, la convoluzione dello spettro del segnale con quello di una finestra rettangolare. Quest’ultimo è del tipo sinc, cioè sin(f)/f . Sono proprio i lobi laterali del sinc ad introdurre le frequenze addizionali.

Se però  l’intervallo di troncamento viene scelto come un multiplo del periodo, il campionamento nel dominio delle frequenze coincide con gli zeri della funzione sin(f)/f e pertanto  il risultato della trasformata discreta di F. non appare alterato. Vediamo un esempio nelle slides successive.

Effetti del troncamento nel dominio del tempo

Viene mostrato nel primo grafico a lato un periodo di un segnale sinusoidale di frequenza 1, calcolato su 32 punti.

Il secondo grafico mostra il segnale troncato a 30 punti.

Il terzo grafico mostra la periodicizzazione del segnale precedente, costruito con repliche dei 30 punti del segnale sinusoidale, su di esso si evidenzia una discontinuità.

Tale discontinuità è effetto della finestra rettangolare di 30 punti che abbiamo applicato al segnale del primo grafico.

La DFT viene applicata su quest’ultimo segnale.

I segnali del mondo reale appartengono alla categoria dei segnali troncati, ai quali è stata applicata una finestra rettangolare e possono presentare discontinuità nella periodicizzazione.

Troncamento nel dominio del tempo.

Troncamento nel dominio del tempo.


Effetti nel dominio della frequenza dovuti al troncamento di una sequenza nel dominio del tempo

Viene mostrato nel primo grafico a lato un periodo esatto di un segnale sinusoidale di frequenza 1, calcolato su 32 punti. Il secondo grafico mostra l’analisi spettrale, con la presenza esatta di una sola componente spettrale.

Effetti del troncamento nel dominio della frequenza.

Effetti del troncamento nel dominio della frequenza.


Effetti nel dominio della frequenza dovuti al troncamento di una sequenza nel dominio del tempo (segue)

Viene mostrato nel primo grafico a lato un segmento del segnale precedente  troncato a 30 punti  (segnale sinusoidale precedente di frequenza 1, calcolato su 32 punti).

Il secondo grafico mostra l’analisi spettrale, si evidenzia la presenza di altre componenti spettrali oltre la frequenza principale.

È stata sovrapposta una freccia sulla sola componente che ci si aspetterebbe di trovare.

L’energia come si vede è distribuita tra la componente principale e le sue vicine, la componente principale è di ampiezza minore rispetto all’ampiezza dell’unica componente che ci si aspetterebbe di trovare se il periodo fosse esatto.

Effetti del troncamento nel dominio della frequenza.

Effetti del troncamento nel dominio della frequenza.


Riduzione del leakage

L’operazione che viene effettuata per ridurre il leakage consiste nel moltiplicare il segnale per una finestra che vada a zero ai bordi e che nel dominio delle frequenze abbia lobi laterali di ampiezza minore di quelli della finestra rettangolare. Minore è l’ampiezza dei lobi laterali, minore è il leakage sulla DFT. IL grafico mostra una finestra rettangolare nel dominio del tempo ed il suo contenuto in frequenza. Le finestre, in generale, sono caratterizzate da tre parametri:

  1. Il fattore di leakage – il rapporto tra la potenza nei lobi laterali e la potenza totale della finestra.
  2. L’attenuazione relativa del lobo laterale – differenza in altezza tra il picco del lobo principale e il picco laterale più alto.
  3. Larghezza del lobo principale (-3dB) – larghezza del lobo principale a 3 dB al di sotto del picco del lobo principale.
Finestra rettangolare nel dominio del tempo e delle frequenze.Fattore di leakage: 9.12%Attenuazione relativa del lobo laterale: -13.2 dBLarghezza del lobo principale (-3db): 0.054688.

Finestra rettangolare nel dominio del tempo e delle frequenze.Fattore di leakage: 9.12%Attenuazione relativa del lobo laterale: -13.2 dBLarghezza del lobo principale (-3db): 0.054688.


Esempio di finestra non rettangolare

Finestra di Hanning La finestra di Hanning è data dalla funzione x(t)=1/2 -1/2cos(2πt/Tc), dove Tc è l’intervallo di troncamento. Nei grafici che seguono, vengono mostrate una finestra di Hanning nel dominio del tempo ed il suo spettro nel dominio delle frequenze con i relativi parametri caratteristici visti precedentemente. Il leakage è: 0.05 %, l’attenuazione relativa del lobo laterale è -31.5 dB e la larghezza del lobo principale a -3dB è 0.085938. I grafici sono stati prodotti con il wintool di Signal Processing di Matlab, che è uno strumento software per il progetto e l’analisi di svariate finestre. I dati relativi alle finestre possono essere importati in Matlab per ulteriori elaborazioni. La finestra di Hanning viene identificata in Matlab con la denominazione hann.

Finestra di Hanning.

Finestra di Hanning.


Segnale e finestra di Hanning

I grafici a lato mostrano i due segnali che vengono moltiplicati allo scopo di azzerare la discontinuità ai bordi.

Finestra di Hanning.

Finestra di Hanning.


Azione della finestra di hanning

Esempio: effetto della finestra di Hanning. Nei grafici a lato viene mostrato l’effetto di una finestra rettangolare sullo spettro del segnale in esame e quello di una finestra di Hanning. La finestra di Hanning, che va a zero ai bordi, riduce la discontinuità del segnale, in questo modo si soddisfa meglio l’assunzione di periodicità  per la DFT,  con eliminazione della discontinuità ai bordi.

Segnale di discontinuità e spettro con leakage.

Segnale di discontinuità e spettro con leakage.

Stesso segnale di sopra, ma moltiplicato per una finestra di hanning. Lo spettro mostra una riduzione del leakage.

Stesso segnale di sopra, ma moltiplicato per una finestra di hanning. Lo spettro mostra una riduzione del leakage.


Zero padding

Talvolta per migliorare il profilo della DFT vengono inserito zeri nel segnale da esaminare. Es.:il vettore rappresentativo di vn viene modificato con vn_pad= [vn zeros(1,m)]. In tal modo si infittisce il campionamento della trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT ) e si migliora l’inviluppo spettrale. Si migliora la posizione e l’ampiezza dei picchi spettrali.

Figura rivisitata da Oppenheim-Scafer-Buck.

Figura rivisitata da Oppenheim-Scafer-Buck.


Effetto dello zero padding su v[n]

Lo zero padding si può molto facilmente realizzare in Matlab con la FFT. Il comando Matlab FFT(X,M) è una FFT a M-punti, con zeri aggiunti, zero padded. Se X ha lunghezza minore di M e troncata a M se la lunghezza di X è maggiore di M. Le figure sono rivisitate da Oppenheim Schafer Buck.

Figura rivisitata da Oppenheim Schafer Buck.

Figura rivisitata da Oppenheim Schafer Buck.


Come migliorare la stima delle frequenze

Vediamo ora come una DFT a 1024 punti può essere usata per ottenere una valutazione della DTFT di un segnale ‘finestrato’ e come è possibile risolvere frequenze molto vicine.

I grafici che seguono mostrano il segnale v[n] passato attraverso varie finestre di lunghezze:

L1=32,   L2=42, L3=54,  L4=64.

Il segnale viene analizzato con una fft e zero padded con il comando Matlab fft(v[n],1024).

Grafici dello spettro di v[n] al variare della lunghezza della finestra di osservazione.

Figura rivisitala da Oppenheim-Schafer-Buck.

Figura rivisitala da Oppenheim-Schafer-Buck.


Analisi di F. mediante DFT

Lunghezza della sequenza Un altro parametro importante per la DFT. Piu’ basse sono le frequenze da analizzare più lungo deve essere il segmento del segnale da inviare in input alla DFT.

Anche nel caso di frequenza vicine occorre usare una finestra di lunghezza opportuna .

Vediamo un esempio.

Supponiamo di voler analizzare il seguente segnale v[n]= cos(2 πn /14) +.75 cos (4 π n /15)

0 ≤ n  ≤ 63

Esso contiene due frequenze molto vicine ω1=2 π /14 ω2= 2 π /7.5 L’analisi di segmenti dello stesso segnale di lunghezza diversa mostra come migliora la risoluzione in frequenza.

Segnali nel dominio del tempo. Primo grafico 16 punti, secondo 32 e terzo 64. In basso le relative analisi spettrali.

Segnali nel dominio del tempo. Primo grafico 16 punti, secondo 32 e terzo 64. In basso le relative analisi spettrali.


Applicazione della finestra di Hanning su vn con evidente diminuzione del leakage spettrale

Figura rivisitata da Oppenheim Schafer Buck.

Figura rivisitata da Oppenheim Schafer Buck.


I materiali di supporto della lezione

Oppenheim-Shafer-Buck 'Discrete time signal processing' - cap. 10.

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