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Immacolata Ortosecco » 17.Campionamento - parte prima

Campionamento (sampling)

Consideriamo il mondo fisico prevalentemente a tempo continuo, i suoi segnali a tempo continuo possono essere trasformati in segnali discreti.

Il passaggio dal continuo al discreto apre ai segnali continui nuove prospettive di elaborazione con sistemi LTI come i sistemi FIR ed IIR a tempo discreto.

Esaminiamo le modalità di conversione da tempo continuo a tempo discreto, dando una risposta alla domanda seguente: come possiamo convertire i segnali da TC a TD, senza perdere informazione?

Sommario campionamento

Esamineremo due fondamentali aspetti del campionamento, cioè della conversione dei segnali da analogici a digitali.

Campionamento: discretizzazione della variabile indipendente

Campionare equivale a prendere delle istantanee del segnale ad intervalli di tempo fissati T

x(t)=x(nT).

Esempio: un segnale elettrico a tempo continuo si fa passare attraverso un interruttore che si chiude istantaneamente e rimane aperto per un tempo T, esso viene trasformato in una sequenza di campioni.

Dal campionamento di x(t) si ottiene la sequenza x[nT].

x(t) → x(nT)

x(t) → x[n] n= …-1, 0, 1 ,2, 3, … (omettendo T)

Si suppone che i campioni siano equispaziati, presi ad intervalli di tempo fissato T = T_s, detto tempo di sampling.

Il reciproco di T è la frequenza di sampling F_s.

Interruttore: una prima schematizzazione di semplice dispositivo per campionare segnali elettrici.

Campionamento (segue)

E’ chiaro che nel campionamento si perde l’informazione tra un campione e l’altro e che più segnali possono avere gli stessi campioni.

Punti importanti da osservare per un corretto campionamento:

avere ‘abbastanza’ campioni per rappresentare il segnale voluto;
stabilire un valore numerico per ‘abbastanza’, che sia anche garanzia di una perfetta ricostruzione del segnale dai suoi campioni.

Due segnali diversi con gli stessi campioni.

Procedura ideale di campionamento nel dominio del tempo

Dato un segnale x(t), lo moltiplichiamo per un treno di impulsi p(t) al fine di avere i campioni discreti.

$p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$
$x_{p}(t)=x(t)p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-nT)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)\delta(t-nT)$

Procedura ideale di campionamento (segue)

Se nel dominio del tempo

$x_{p}(t)=x(t)p(t)$ ,

nel dominio della frequenza, con

$\omega_{s}=\frac{2\pi}{T}$

abbiamo:
$X_{p}(j\omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(j\omega)\star\delta(\omega-k\omega_{s})$

$X_{p}(j\omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(j\omega-k\omega_{s})$

Effetto del campionamento nel dominio della frequenza (segue)

Sappiamo che prodotto di due segnali nel tempo equivale a convoluzione dei loro spettri nel dominio della frequenza.

Supponendo che il segnale abbia un contenuto in frequenza limitato, vale a dire che il segnale sia a banda limitata, avremo nel dominio della frequenza gli spettri come indicato, nella figura seguente.

Dominio della frequenza

Per semplicità supponiamo che lo spettro del segnale a banda limitata sia indicato con

$X(j\omega)$

e che

$X(j\omega)=0$

per

$|\omega|>w$

Primo grafico: spettro del segnale, secondo grafico: spettro del di treno impulsi e terzo grafico: convoluzione dei primi due.

Teorema del campionamento

Enunciato

Sia x(t ) un segnale a banda limitata con X(jω) =0 per | ω | > ω_M, allora esso è univocamente ricostruito dai suoi campioni x(nT_s) se ω_s > 2ω_M.

Dove
$\omega_{s}=\frac{2\pi}{T_{s}}$

Tale teorema, noto anche come teorema di H. Nyquist e di C. Shannon, fornisce una condizione sufficiente per ricostruire un segnale a tempo continuo dai suoi campioni

$\begin{array}{ccc} x(nT_{s}) & con & n\end{array}\mathbb{\in Z}$

(vedi articoli originali in materiali di studio)

Ricostruzione ideale

La figura precedente (slide 8), che illustra ciò che succede nel dominio della frequenza per effetto del campionamento, ci porta ad osservare che possiamo ricostruire lo spettro del segnale di partenza con un filtraggio mediante un passa basso con un guadagno Ts ed una frequenza di taglio compresa tra
$\omega_{M}$ e $\omega_{s}-\omega_{M}$ ,
di solito questa frequenza di taglio è scelta come $\omega_{s}/2$ che è detta frequenza di Nyquist.
La figura precedente ci dice anche che lo spettro originale centrato su $\omega=0$ può essere ricostruito non distorto ammesso che non si sovrapponga con le sue repliche vicine.

Osserviamo che moltiplicare per una finestra rettangolare lo spettro del segnale ottenuto dalla convoluzione nel dominio della frequenza equivale a fare, nel dominio del tempo, una convoluzione tra un sinc, che è la risposta all’impulso del filtro ideale passa basso e la sequenza x[n]. Quest’ultima corrisponde ad un treno di impulsi modulati, che a loro volta rappresentano il segnale campionato.
In sostanza la ricostruzione del segnale analogico dai suoi campioni è un problema di interpolazione.

(Per il sinc vedi help di signal processing toolbox di Matlab)

Vedi anche applets.

Ricostruzione ideale segue

Filtro ideale passa basso e sua risposta all’impulso

$h_{r}(t)=\frac{sin(\pi t/T)}{\pi t/T}$
Supponendo il segnale campionato correttamente, rivediamo la ricostruzione ideale.
Questa operazione nel dominio del tempo equivale ad interpolare i campioni usando dei sinc shiftati nel tempo e con zeri a nTs.
L’output del filtro è
$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})sinc\frac{t-nT_{s}}{T_{s}}$
Quest’ultima convoluzione fornisce i campioni del segnale ricostruito.
Questa operazione in pratica non è immediatamente possibile a causa della somma infinita.
Esistono altri interpolatori per ricostruire il segnale. Vedremo interpolatori costanti e lineari.

Vedi Applets java in rete

Filtro ideale passa basso e sua risposta all'impulso.La risposta si estende da –∞ a + ∞.

Sampling nella pratica

Nella pratica, per campionare, non si possono usare impulsi ideali, ma si campiona con un altro sistema: il Sample and Hold.

E’ importante conoscere la banda del segnale e campionare almeno a 2 volte la frequenza massima contenuta nel segnale.

Bande tipiche per alcuni segnali.

Il sampling mediante il Sample and Hold (SH)

Il SH è un operatore che mantiene costante il valore del segnale per tutto lintervallo Ts, il suo effetto sul segnale analogico è quello di produrre un segnale a gradinata.

Circuito per il Sample and Hold

Un possibile schema molto semplificato di circuito SH.

Dettagli SH

Il Sample Hold ideale è dato dalla modulazione di un treno di impulsi seguita da un filtraggio lineare $x_{p}(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_{s})$
h(t) è la risposta all’impulso del sistema zero-order –hold cioè

$h(t)=\left\{\begin{array}{ll}1,~0 < t < T_s\\ 0,\text{ altrimenti}\end{array}\right$

Nel dominio della frequenza

$H(j\omega)=T_se^{-j\omega\frac{T_s}2}\sinc\left(\frac{T_s}{2\pi}\omega\right)=2e^{-j\omega \frac{T_2}2}\frac{\sin(\omega T_s/2)}\omega$

L’inverso di H(jω) è

$H_{inv}=H^{-1}(j\omega)=\frac 1 2 e^{j\omega\frac{T_s}2}\frac \omega{\sin(\omega T_s/2)}$

Il filtro di ricostruzione è dato dalla serie dei due filtri, l’inverso di H e del passa-basso ideale Lp.

Ricostruzione

Nel caso della ricostruzione di un segnale campionato con SH, dobbiamo trovare l’inverso del filtro zero order hold (ZOH) che ha risposta all’impulso h(t). Quest’ultimo è un filtro di ’smoothing’ per il segnale a gradinata.
La H(jω) è quella che si ottiene a partire da un sinc per un impulso rettangolare a simmetria pari moltiplicato per un esponenziale e^-jωTs/2. Il ritardo di Ts/2 secondi rende il filtro causale.
Lo ZOH visto come interpolatore consente di ricostruire il segnale. Mantiene costante il valore di un campione tra un impulso e l’altro. La H(jω) dello ZOH è una scadente approssimazione di un passa basso ideale.

Interpolazione lineare: FIRST ORDER HOLD (FOH)

Un altro tipo di interpolazione dei dati discreti è quella realizzata mediante interpolazione lineare.
L’interpolatore FOH ha una risposta all’impulso h₁(t) di forma triangolare invece della rettangolare dello ZOH.
Di conseguenza l’interpolazione tra i campioni è di tipo lineare, interpola meglio i valori tra i campioni, ma anche questo è non causale.
Esso può essere reso causale con uno shift nel tempo di T_s, e con conseguente ritardo tra il segnale e la sua versione campionata.

FOH (segue)

Nel dominio della frequenza la trasformata di Fourier di h₁(t) è una migliore approssimazione del filtro passa-basso ideale, perché il suo modulo è il quadrato della funzione sinc,

$|H_{1}(j\omega)|=|H(j\omega)|^{2}$

Vedi figura

In blu la funzione sinc e in indaco la funzione sinc².

Effetti di un buon campionamento e di un cattivo campionamento

Fs frequenza di campionamento ed Fm massima frequenza contenuta nel segnale.

Effetti di campionamenti vari su file audio Beethowen sinf.9 scherzo

Ascolta i tre esempi di suono riportati nella figura a lato.

Campionamento a 44.1 KHz primo grafico, nessuna distorsione, a 8KHz secondo e a 2KHz terzo, massima distorsione.

Esempi grafici su corretto e non corretto campionamento.Tono sinusoidale con frequenza fa, frequenza di sampling fs. (fs=8KHz – tipica per i segnali vocali)

Corretto samp e ricostruzione senza aliasing.Siamo al di sotto della frequenza di Nyquist: non ci sono alias.Nella ricostruzione viene conservata sia frequenza che la fase del segnale.

Segnali campionati male

In questi casi, fa > f_N, ma minore di fs, c’è aliasing. Cioè introduzione di una frequenza estranea.

Nel segnale ricostruito la fase è anche invertita rispetto a quella della componente originaria, quindi diciamo che c’è aliasing e folding.

Esempi di aliasing senza folding

Casi di frequenza del segnale analogico maggiore della frequenza di campionamento.

C’è aliasing, perché vengono introdotte delle frequenze estranee, ma non c’è inversione della fase.

Regola per riconoscere le frequenze alias

La frequenza digitale si ottiene semplicemente facendo la differenza tra fa ed fs come nei casi esaminati.
Caso fa=6KHz con fs=8kHz fd= 6- 8= -2KHz : alias
Se fa >fs oppure fa>>fs utilizzare fd=fa mod fs

Una frequenza analogica di 20 KHz si presenta come un alias di 4 KHz.
In tutti i casi, frequenze audio alte vengono percepite come frequenze più basse, anche quelle con la fase invertita.
Ricordiamo anche la relazione tra frequenze nel discreto e quelle nel tempo continuo o analogiche.
Solo le frequenze comprese tra 0 e fs /2 sono quelle utili, quelle maggiori della frequenza di Nyquist sono le negative e tutte si presentano ripetute come alias dopo fs.

Per evitare alias: filtrare con un filtro anti alias il segnale a tempo continuo prima del campionamento

Riepilogo filtro antialiasing

Il sampling rate di regola va scelto con un margine superiore del 20% del valore del rate di Nyquist. L’Hi Fi riproduce tutta la gamma audio fino a 20 KHz. Il rate di Nyquist 40 KHz + 20% fornisce fs=48000 Hz

Riepilogo sampling

Trovare la max frequenza contenuta nel segnale es: fm=5KHz
Trovare rate di Nyquist, cioè la minima frequenza di sampling, fs=2 fm , fs=10KHz
Sceglere una nuova fs , un sampling rate 20% maggiore del rate di Nyquist
Fs=12 KHz è una frequenza accettabile di oversampling.
Caso segnali audio
fm= 20 KHz , rate di Nyquist 40 KHz, fs=48 KHz .
Il range di udibilità per gli umani è in realtà più basso di 20 KHz e pertanto la qualità cd (cd musicali) è comunemente fissata ad un sample rate di 44.1 KHz.