Esaminiamo:
1. la Discrete – Fourier – Transform come l’unica rappresentazione di Fourier realizzabile con un computer;
2. i dettagli della convoluzione circolare.
WN=e-j2π /N
Con questa posizione semplifichiamo la notazione per la DFT.
Il calcolo della DFT di una sequenza discreta x[k] è immediatamente realizzato in Matlab mediante il prodotto di matrici .
Abbiamo detto che le sequenze discrete finite le immaginiamo come un periodo di sequenze periodiche discrete e infinite. Abbiamo visto che la moltiplicazione di due sequenze periodiche corrisponde ad una convoluzione periodica delle due sequenze. Consideriamo ora, due sequenze di durata finita x1 ed x2 entrambe di lunghezza N e consideriamo le loro DFT X1[k] ed X2[k]. Se x3 è la convoluzione delle due sequenze di partenza e X3[k] la sua DFT, abbiamo X3[k]=X1[k] X2[k].
Vediamo ora il calcolo della convoluzione circolare attraverso un esempio. Date le due sequenze periodiche di periodo 4: x1=[1 2 3 4 ] e x2=[1 1 0 2], calcoliamo graficamente la loro convoluzione circolare, che è anch’essa una sequenza periodica di periodo 4. Posizioniamo la prima sequenza in senso orario su una circonferenza. L’altra sequenza la posizioniamo in senso antiorario. Procediamo secondo le indicazioni della slide successiva.
Il numero di campioni della convoluzione circolare è uguale al periodo delle due sequenze, nel caso in cui è lo stesso. Nel caso in cui i due periodi sono differenti, aggiungiamo degli zeri alla sequenza di periodo più piccolo e in numero uguale alla differenza dei due periodi. Poi procediamo come nel caso di periodo uguale.
Sappiamo che nel caso di convoluzione lineare il numero di campioni della convoluzione è pari a m1+m2-1, dove m1 è il numero di campioni della prima sequenza ed m2 è il numero di campioni della seconda. Per avere una coincidenza del numero di valori delle due convoluzioni, dobbiamo rendere i due periodi uguali a m1+m2-1.Poi possiamo procedere come prima.
Un’applicazione della convoluzione circolare riguarda la computazione veloce della convoluzione lineare intesa come filtraggio di un segnale x[n] attraverso un filtro con risposta all’impulso h[n]. L’uscita del filtro y[n] è proprio la convoluzione lineare delle due sequenze x[n] e h[n]. Per velocizzare l’operazione, quando si tratta di sequenze molto lunghe, è preferibile passare al dominio della frequenza. Si calcolano le DFT delle sequenze, si fa il loro prodotto e poi si procedere con il calcolo della DFT inversa del prodotto per ottenere la y[n] corrispondente.
Questa operazione viene realizzata su sequenze periodicizzate e se vogliamo che il risultato coincida con la convoluzione lineare, dobbiamo procedere all’inserimento di zeri nelle due sequenze, in numero tale da garantire la lunghezza di una convoluzione lineare e procedere poi come visto precedentemente.
L’inserimento di zeri viene definito ‘zero padding’, non aggiunge informazione alle sequenze, ma favorisce solo un campionamento più fitto nella trasformata di F. della sequenza.
2. Segnali ed operazioni sui segnali
3. Sistemi e proprietà dei sistemi
4. Approfondimento su convoluzione e correlazione
5. Sistemi lineari tempo invarianti e equazioni alle differenze
7. Rappresentazione in serie di Fourier di segnali periodici a tempo discreto
9. Trasformata di Fourier a tempo discreto
10. DFT e convoluzione circolare
11. Applicazione della dft leakage spettrale
12. Dualità e trasformata coseno
13. Trasformata di F. dipendente dal tempo - time dependent Fourie transform TDFT
14. Trasformata z
17. Campionamento - parte prima