Vai alla Home Page About me Courseware Federica Living Library Federica Federica Podstudio Virtual Campus 3D Le Miniguide all'orientamento Gli eBook di Federica La Corte in Rete
 
 
Il Corso Le lezioni del Corso La Cattedra
 
Materiali di approfondimento Risorse Web Il Podcast di questa lezione

Immacolata Ortosecco » 12.Dualità  e trasformata coseno


Sommario

  • Dualità
  • Trasformata Coseno

 

Dualità per tempo continuo e tempo discreto

Per il tempo continuo

Le equazioni per la trasformata di Fourier  diretta  e quella inversa  per il tempo continuo  sono simili, infatti differiscono per un fattore moltiplicativo ed il segno dell’esponenziale.

Questa simmetria porta ad una proprietà definita dualità.

 

CTFT e Dualità per il tempo continuo

Nel caso della CTFT, le funzioni del tempo e della frequenza sono entrambe continue ed aperiodiche. Se f (-) e g (-) sono due funzioni tali che f(r)=int_{-infty&#125^{infty&#125g(tau)e^{-jrtau&#125dtau

Allora,

posto   τ  =  t     ed  r = ω:                      x(t) = g(t) ↔     X(j ω) =  f(ω)

e posto  τ  =  – ω  ed  r = t:                    y(t) = f(t)   ↔    Y(jω) = 2πg(-ω)

 

Esempio dualità

Se la funzione del tempo è un impulso rettangolare, continuo ed aperiodico, si ha, nel dominio della frequenza, un sinc continuo ed aperiodico, e viceversa se la funzione nel dominio del tempo è un sinc.

image

image

Vedi es. 4.13 proprietà della CTFT – Oppenheim Willsky-Signal & Systems

Dualità esempio

Per ogni coppia di trasformate c’è una coppia duale con interscambio delle variali tempo e frequenza.

Per ogni coppia di trasformate c'è una coppia duale con interscambio delle variali tempo e frequenza.


DTFT e DFS: esame della dualità

Per la trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) di segnali aperiodici non c’è la stessa relazione di dualità che esiste per segnali aperiodici a tempo continuo e loro trasformata di Fourier.

Nel caso della serie di F. Discreta (DFS), invece, la sequenza discreta e la sua trasformata sono entrambe sequenze e le equazioni di analisi e sintesi differiscono per il fattore 1/N ed il segno dell’esponenziale.

begin{array&#125{cccc&#125Analisi & widetilde{X&#125[k]= & sum_{n=0&#125^{N-1&#125widetilde{x&#125 & [n]W_{N&#125^{nk&#125\\Sintesi & widetilde{x&#125[k]= & frac{1&#125{N&#125sum_{n=0&#125^{N-1&#125widetilde{x&#125 & [n]W_{N&#125^{-nk&#125end{array&#125

Da ciò segue

Ntilde{x&#125[-n]=sum_{k=0&#125^{N-1&#125tilde{X&#125mbox{mbox{ensuremath{[k]W_{N&#125^{nk&#125&#125&#125&#125

e scambiando il ruolo di n e k

Ntilde{x&#125[-k]=sum_{k=0&#125^{N-1&#125tilde{X&#125mbox{mbox{ensuremath{[k]W_{N&#125^{nk&#125&#125&#125&#125

DTFT e DFS: esame della dualità (segue)

Vediamo che  l’ultima equazione della slide precedente è simile all’equazione di analisi, la sequenza dei coefficienti della DFS

\tilde X [n] è

Ntilde{x&#125[-k],

la sequenza periodica originale  è invertita temporalmente e moltiplicata per N.

Questa proprietà di dualità si riassume affermando che

Se

begin{array&#125{ccc&#125tilde{x&#125[n] & underleftrightarrow{DFS&#125 & tilde{X&#125[k]end{array&#125

allora

begin{array&#125{ccc&#125tilde{X&#125[n] & underleftrightarrow{DFS&#125 & Ntilde{x&#125[-k]end{array&#125

Dualità per il tempo discreto

Serie di F. a tempo discreto DTFS: funzione discreta e periodica in tempo e funzione discreta e periodica in frequenza. x[n]=sum_{k=langle Nrangle&#125a_k e^{jkomega_0 n&#125=x[n+N],~~~~ omega_0=frac{2pi&#125N

a_{k}=\frac{1}{N}\sum_{k=}x[n]e^{-jk\omega_{0}n}=a_{k+N}

Anche qui possiamo dire che se f(-) e g(-) sono due funzioni tali che

f[m]=frac 1 Nsum_{r=langle N rangle&#125 g [r]e^{jr omega_o m&#125

g[r]=sum_{m=langle N rangle&#125 f [m]e^{jr omega_o m&#125

Allora, posto m=n ed r = -k        x[n]=f[n] ↔ ak=1/N g[-k]

e        posto r=n ed m=k           y[n]=g[n] ↔ ak=f[k]

Scaling

Osservazione su scaling in tempo e in frequenza

Un esempio di relazione inversa tra tempo e frequenza

x(t)longleftrightarrow X(jomega)

x(at)longleftrightarrowfrac{1&#125{|a|&#125X(frac{jomega&#125{a&#125)

Da questa equazione vediamo che se un segnale è compresso nel dominio del tempo, lo spettro sarà espanso nel dominio  della frequenza e viceversa, se  il segnale è espanso nel dominio del tempo, lo spettro in frequenza sarà compresso.

Questa relazione inversa è collegata al principio di indeterminazione ed ha importanti conseguenze nel filtraggio.

Ancora Trasformate

  • Trasformate più note e meno note
  • Caratteri comuni
  • Proprietà
  • Applicazioni

Trasformate per segnali a tempo discreto

Trasformate basate su funzioni sinusoidali:

  • DSFT – Serie di Fourier a tempo discreto (segnali discreti periodici)
  • DTFT – Trasformata di Fourier a tempo discreto (segnali discreti aperiodici)
  • DFT – Discrte Fourier Trasform (segnali discreti a lunghezza finita)
  • DCT – Trasformata coseno a tempo discreto (per segnali discreti a lunghezza finita con simmetria pari)
  • TDFT – Trasformata di Fourier dipendente dal tempo (per l’analisi dei segnali non stazionari)

Altre tasformate: Haar trasfomr (Haar wavelet) Wavelet transform

DCT introduzione

DFT come esempio più comune di una classe generale di trasformate a lunghezza finita

Caratteristiche comuni di tutte le trasformate basate su funzioni sinusoidali elencate: esistenza di una base di funzioni ortonormali. Tali che per le

phi_{k}[n]

valga la relazione

frac{1}{N}sum_{n=0}^{N-1}phi_{k}phi_{m}^{*}[n]=begin{cases} 1, & m=k\ 0, & mneq kend{cases}

Data una sequenza discreta a lunghezza finita x[n]

A[k]=sum_{n=0}^{N-1}x[n]phi_{k}^{*}[n]

x[n]=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}A[k]phi_{k}[n]

DCT (segue)

Nel caso della DFT le sequenze della base sono sequenze esponenziali complesse ej2πkn/N e la sequenza degli A[k] – (spettro) è in generale complessa anche se la x[n] è reale. Ci chiediamo se c’è un insieme di funzioni reali che possano formare una base tale da fornire dei coefficienti reali A[k] per x[n] reale. Da questa domanda hanno tratto origine le trasformate di Haar, di Hartley e la trasformata coseno.

La Discrete Cosine Transform (DCT) ha applicazioni importanti per i segnali vocali e nella compressione delle immagini.

Vediamo la DCT e la sua relazione con la DFT.

Preparazione delle sequenze per la DCT

Come sappiamo la DFT richiede un’assunzione di periodicità.

La DCT, ha come funzioni della base i coseni e richiede una assunzione di periodicità e simmetria pari.

Quindi l’estensione di x[n] oltre il range 0 ≤ n ≤ N-1 deve essere sia periodica che simmetrica.

Per la DFT basta solo una assunzione di periodicità

Quando viene sviluppata la DFT si suppone di periodicizzare la sequenza x[n] per poi poter applicare una DFS, cioè fare uno sviluppo in serie con esponenziali complessi.

Formalmente la periodicizzazione modulo N si indica con x((n))N

Nel caso dell’esempio da x[n]=[1 2 4 5 0 6], otteniamo una xp[n] modulo 4.

xp[n]= x((n))4


Per la DCT non basta solo una assunzione di periodicità

La DCT passa attraverso la formazione di una sequenza periodica e simmetrica a partire  dalla sequenza x[n]. Per fare questo ci sono molti modi. Vediamo un esempio nella slide successiva.

Periodicizzazione e simmetria pari della sequenza x[n] ai fini della trasformata coseno


Altre sequenze periodiche e a simmetria pari


DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4

Le 4 estensioni periodiche della sequenza x[n] portano a 4 formulazioni della DCT. Denominate come DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4 . Tutte le estensioni periodiche che portano alle varie formulazioni, possono essere pensate come somma di copie traslate delle sequenze a N punti ± x[n] e ± x[-n]. Le differenze tra DCT-1 e DCT-2 dipendono da come i punti terminali si sovrappongono con le versioni traslate di se stesse.

Per la DCT-2

Data x[n]  la sequenza originale a N punti, costruiamo la sequenza periodica e a simmetria paria 2N punti

x2[n] = x[((n))2N] + x[((-n-1))2N]    con n=0, 1, … 2N-1 .

Questo perché i punti terminali non si sovrappongono.

La DFT della sequenza x2[n] è

X_{2}[k]=X[k]+X^{*}[k]e^{j2\pi k/2N} , k= 0,1, …, 2N-1.

X[k] è la DFT a 2N punti della sequenza x[n],  x[n] è zero padded con  N zeri.

X_{2}[k]=X[k]+X^{*}[k]e^{j2\pi k/2N}

=e^{j\pi k/2N}(X[k]e^{-j\pi k/2N}+X^{*}[k]e^{j\pi k/2N})?

=e^{j\pi k/2N}2Re\left\{ X[k]e^{-j\pi k/2N}\right\} ?

Dalla DFT a 2N punti di x[n] zero padded segue

Re\left\{ X[k]e^{-j\pi k/2N}\right\} =\sum_{n=0}^{N-1}x[n]cos\left(\frac{\pi k(2n+1)}{2N}\right)?

Quindi è possibile esprimere la DCT-2  come  X[k]  che è la DFT a 2N punti  della sequenza x[n].

 

 

Per la DCT-2 (segue)

Usando le relazioni sopra è possibile esprimere la Xc2 [k] in termini di X[k] che è la DFT di x[n]

come

X^{c2}[k]=2RealX[k]e^{-jpi k/(2N)}, k=0,1,…,N-1

oppure In termini della DFT a 2N punti estesa simmetricamente x2[n]

come

X^{c2}[k]=e^{-jpi k/(2N)}X_{2}[k],          k=0,1,…N-1

Ed ovviamente

X_{2}[k]=e^{j\pi k/(2N)}X^{c2}[k],                                 k=0,1,…N-1

 

 

Esempio di calcolo della DCT-2 della sequenza x= [ 1:N ] e confronto con la DFT della stessa sequenza

La DCT di Matlab è una DCT-2 unitaria, nel senso che include fattori di normalizzazione. Vedi help di Matlab  e Oppenheim Schafer Buck cap. 8 sez. 8.8 Le proprietà delle DCT sono simili a quelle della DFT.

Altre estensioni periodiche

E’ possibile pensare altre estensioni periodiche della sequenza x[n] con simmetria dispari e queste sono collegate alla trasformata seno (DST). Le funzioni della base sono solo seni.

Validità pratica della DCT

La DCT-2 viene usata in molte applicazioni di compressione dei dati al posto della DFT per la sua proprietà di compattazione dell’energia. La DCT-2 di una sequenza finita ha meno coefficienti che portano energia significativa rispetto ad un equivalente DFT.

DCT-2

x[n]=frac 1 N sum_{k=0}^{N-1}beta[k]X^{c2}[k]cosbiggl (frac {pi k (2n+1)}{2N}Biggr)

Dove

[\beta[k]=\begin{cases} \frac{1}{2}, & k=0\\ 1 & 1\leq k\leq N-1\end{cases}

in base al teorema di Parseval

sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|=frac 1 N sum_{k=0}^{N-1}beta[k]|X^{c2} [k]|^2

La DCT è concentrata agli indici bassi, i coefficienti ad indici più alti possono essere messi a zero senza eccessiva compromissione dell’energia del segnale.

Un esempio

Segnale x[n] . 8n cos (25/100 ? n) n=0,1,2, …, 32

In Matlab: x=.8.^n.*cos(.25*pi*n)


Segnale e sua DFT (parte reale e parte immaginaria)


Confronto tra DFT e DCT

Il numero di coefficienti della DCT che portano il 99% dell’energia è 11 .

Il numero di coefficienti della DCT che portano il 99% dell'energia è 11 .


Confronto tra DFT e DCT

Si può ricostruire una sequenza con pochi coefficienti, perché l’energia viene
concentrata agli indici bassi – proprietà di compattazione dell’energia.

Si può ricostruire una sequenza con pochi coefficienti, perché l'energia viene concentrata agli indici bassi – proprietà di compattazione dell'energia.


Programma per il calcolo del numero di coefficienti della DCT che sono rappresentativi del 99% dell’energia della sequenza

x = (1:100) + 50*cos((1:100)*2*pi/40); X = dct(x); [XX,ind] = sort(abs(X)); ind = fliplr(ind); i = 1; while (norm([X(ind(1:i)) zeros(1,100-i)])/norm(X) Risultato: 3, come si evince anche dal grafico.

Esempio rivisitato da manuale Matlab.

I materiali di supporto della lezione

Oppenheim, Schafer, Buck -Discrete Time Signal Processing - cap 8 pp 589-600

Matworks: Matlab and Signal Processing tool-box

An Introduction to Wavelets and the Haar Transform

Haar wavelet

Wavelet transform

  • Contenuti protetti da Creative Commons
  • Feed RSS
  • Condividi su FriendFeed
  • Condividi su Facebook
  • Segnala su Twitter
  • Condividi su LinkedIn
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion