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Immacolata Ortosecco » 12.Dualità  e trasformata coseno


Sommario

  • Dualità
  • Trasformata Coseno

 

Dualità per tempo continuo e tempo discreto

Per il tempo continuo

Le equazioni per la trasformata di Fourier  diretta  e quella inversa  per il tempo continuo  sono simili, infatti differiscono per un fattore moltiplicativo ed il segno dell’esponenziale.

Questa simmetria porta ad una proprietà definita dualità.

 

CTFT e Dualità per il tempo continuo

Nel caso della CTFT, le funzioni del tempo e della frequenza sono entrambe continue ed aperiodiche. Se f (-) e g (-) sono due funzioni tali che f(r)=int_{-infty&#125^{infty&#125g(tau)e^{-jrtau&#125dtau

Allora,

posto   τ  =  t     ed  r = ω:                      x(t) = g(t) ↔     X(j ω) =  f(ω)

e posto  τ  =  – ω  ed  r = t:                    y(t) = f(t)   ↔    Y(jω) = 2πg(-ω)

 

Esempio dualità

Se la funzione del tempo è un impulso rettangolare, continuo ed aperiodico, si ha, nel dominio della frequenza, un sinc continuo ed aperiodico, e viceversa se la funzione nel dominio del tempo è un sinc.

image

image

Vedi es. 4.13 proprietà della CTFT – Oppenheim Willsky-Signal & Systems

Dualità esempio

Per ogni coppia di trasformate c’è una coppia duale con interscambio delle variali tempo e frequenza.

Per ogni coppia di trasformate c'è una coppia duale con interscambio delle variali tempo e frequenza.


DTFT e DFS: esame della dualità

Per la trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) di segnali aperiodici non c’è la stessa relazione di dualità che esiste per segnali aperiodici a tempo continuo e loro trasformata di Fourier.

Nel caso della serie di F. Discreta (DFS), invece, la sequenza discreta e la sua trasformata sono entrambe sequenze e le equazioni di analisi e sintesi differiscono per il fattore 1/N ed il segno dell’esponenziale.

begin{array&#125{cccc&#125Analisi & widetilde{X&#125[k]= & sum_{n=0&#125^{N-1&#125widetilde{x&#125 & [n]W_{N&#125^{nk&#125\\Sintesi & widetilde{x&#125[k]= & frac{1&#125{N&#125sum_{n=0&#125^{N-1&#125widetilde{x&#125 & [n]W_{N&#125^{-nk&#125end{array&#125

Da ciò segue

Ntilde{x&#125[-n]=sum_{k=0&#125^{N-1&#125tilde{X&#125mbox{mbox{ensuremath{[k]W_{N&#125^{nk&#125&#125&#125&#125

e scambiando il ruolo di n e k

Ntilde{x&#125[-k]=sum_{k=0&#125^{N-1&#125tilde{X&#125mbox{mbox{ensuremath{[k]W_{N&#125^{nk&#125&#125&#125&#125

DTFT e DFS: esame della dualità (segue)

Vediamo che  l’ultima equazione della slide precedente è simile all’equazione di analisi, la sequenza dei coefficienti della DFS

\tilde X [n] è

Ntilde{x&#125[-k],

la sequenza periodica originale  è invertita temporalmente e moltiplicata per N.

Questa proprietà di dualità si riassume affermando che

Se

begin{array&#125{ccc&#125tilde{x&#125[n] & underleftrightarrow{DFS&#125 & tilde{X&#125[k]end{array&#125

allora

begin{array&#125{ccc&#125tilde{X&#125[n] & underleftrightarrow{DFS&#125 & Ntilde{x&#125[-k]end{array&#125

Dualità per il tempo discreto

Serie di F. a tempo discreto DTFS: funzione discreta e periodica in tempo e funzione discreta e periodica in frequenza. x[n]=sum_{k=langle Nrangle&#125a_k e^{jkomega_0 n&#125=x[n+N],~~~~ omega_0=frac{2pi&#125N

a_{k}=\frac{1}{N}\sum_{k=}x[n]e^{-jk\omega_{0}n}=a_{k+N}

Anche qui possiamo dire che se f(-) e g(-) sono due funzioni tali che

f[m]=frac 1 Nsum_{r=langle N rangle&#125 g [r]e^{jr omega_o m&#125

g[r]=sum_{m=langle N rangle&#125 f [m]e^{jr omega_o m&#125

Allora, posto m=n ed r = -k        x[n]=f[n] ↔ ak=1/N g[-k]

e        posto r=n ed m=k           y[n]=g[n] ↔ ak=f[k]

Scaling

Osservazione su scaling in tempo e in frequenza

Un esempio di relazione inversa tra tempo e frequenza

x(t)longleftrightarrow X(jomega)

x(at)longleftrightarrowfrac{1&#125{|a|&#125X(frac{jomega&#125{a&#125)

Da questa equazione vediamo che se un segnale è compresso nel dominio del tempo, lo spettro sarà espanso nel dominio  della frequenza e viceversa, se  il segnale è espanso nel dominio del tempo, lo spettro in frequenza sarà compresso.

Questa relazione inversa è collegata al principio di indeterminazione ed ha importanti conseguenze nel filtraggio.

Ancora Trasformate

  • Trasformate più note e meno note
  • Caratteri comuni
  • Proprietà
  • Applicazioni

Trasformate per segnali a tempo discreto

Trasformate basate su funzioni sinusoidali:

  • DSFT – Serie di Fourier a tempo discreto (segnali discreti periodici)
  • DTFT – Trasformata di Fourier a tempo discreto (segnali discreti aperiodici)
  • DFT – Discrte Fourier Trasform (segnali discreti a lunghezza finita)
  • DCT – Trasformata coseno a tempo discreto (per segnali discreti a lunghezza finita con simmetria pari)
  • TDFT – Trasformata di Fourier dipendente dal tempo (per l’analisi dei segnali non stazionari)

Altre tasformate: Haar trasfomr (Haar wavelet) Wavelet transform

DCT introduzione

DFT come esempio più comune di una classe generale di trasformate a lunghezza finita

Caratteristiche comuni di tutte le trasformate basate su funzioni sinusoidali elencate: esistenza di una base di funzioni ortonormali. Tali che per le

phi_{k}[n]

valga la relazione

frac{1}{N}sum_{n=0}^{N-1}phi_{k}phi_{m}^{*}[n]=begin{cases} 1, & m=k\ 0, & mneq kend{cases}

Data una sequenza discreta a lunghezza finita x[n]

A[k]=sum_{n=0}^{N-1}x[n]phi_{k}^{*}[n]

x[n]=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}A[k]phi_{k}[n]

DCT (segue)

Nel caso della DFT le sequenze della base sono sequenze esponenziali complesse ej2πkn/N e la sequenza degli A[k] – (spettro) è in generale complessa anche se la x[n] è reale. Ci chiediamo se c’è un insieme di funzioni reali che possano formare una base tale da fornire dei coefficienti reali A[k] per x[n] reale. Da questa domanda hanno tratto origine le trasformate di Haar, di Hartley e la trasformata coseno.

La Discrete Cosine Transform (DCT) ha applicazioni importanti per i segnali vocali e nella compressione delle immagini.

Vediamo la DCT e la sua relazione con la DFT.

Preparazione delle sequenze per la DCT

Come sappiamo la DFT richiede un’assunzione di periodicità.

La DCT, ha come funzioni della base i coseni e richiede una assunzione di periodicità e simmetria pari.

Quindi l’estensione di x[n] oltre il range 0 ≤ n ≤ N-1 deve essere sia periodica che simmetrica.

Per la DFT basta solo una assunzione di periodicità

Quando viene sviluppata la DFT si suppone di periodicizzare la sequenza x[n] per poi poter applicare una DFS, cioè fare uno sviluppo in serie con esponenziali complessi.

Formalmente la periodicizzazione modulo N si indica con x((n))N

Nel caso dell’esempio da x[n]=[1 2 4 5 0 6], otteniamo una xp[n] modulo 4.

xp[n]= x((n))4


Per la DCT non basta solo una assunzione di periodicità

La DCT passa attraverso la formazione di una sequenza periodica e simmetrica a partire  dalla sequenza x[n]. Per fare questo ci sono molti modi. Vediamo un esempio nella slide successiva.

Periodicizzazione e simmetria pari della sequenza x[n] ai fini della trasformata coseno


Altre sequenze periodiche e a simmetria pari


DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4

Le 4 estensioni periodiche della sequenza x[n] portano a 4 formulazioni della DCT. Denominate come DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4 . Tutte le estensioni periodiche che portano alle varie formulazioni, possono essere pensate come somma di copie traslate delle sequenze a N punti ± x[n] e ± x[-n]. Le differenze tra DCT-1 e DCT-2 dipendono da come i punti terminali si sovrappongono con le versioni traslate di se stesse.

Per la DCT-2

Data x[n]  la sequenza originale a N punti, costruiamo la sequenza periodica e a simmetria paria 2N punti

x2[n] = x[((n))2N] + x[((-n-1))2N]    con n=0, 1, … 2N-1 .

Questo perché i punti terminali non si sovrappongono.

La DFT della sequenza x2[n] è

X_{2}[k]=X[k]+X^{*}[k]e^{j2\pi k/2N} , k= 0,1, …, 2N-1.

X[k] è la DFT a 2N punti della sequenza x[n],  x[n] è zero padded con  N zeri.

X_{2}[k]=X[k]+X^{*}[k]e^{j2\pi k/2N}

=e^{j\pi k/2N}(X[k]e^{-j\pi k/2N}+X^{*}[k]e^{j\pi k/2N})?

=e^{j\pi k/2N}2Re\left\{ X[k]e^{-j\pi k/2N}\right\} ?

Dalla DFT a 2N punti di x[n] zero padded segue

Re\left\{ X[k]e^{-j\pi k/2N}\right\} =\sum_{n=0}^{N-1}x[n]cos\left(\frac{\pi k(2n+1)}{2N}\right)?

Quindi è possibile esprimere la DCT-2  come  X[k]  che è la DFT a 2N punti  della sequenza x[n].

 

 

Per la DCT-2 (segue)

Usando le relazioni sopra è possibile esprimere la Xc2 [k] in termini di X[k] che è la DFT di x[n]

come

X^{c2}[k]=2RealX[k]e^{-jpi k/(2N)}, k=0,1,…,N-1

oppure In termini della DFT a 2N punti estesa simmetricamente x2[n]

come

X^{c2}[k]=e^{-jpi k/(2N)}X_{2}[k],          k=0,1,…N-1

Ed ovviamente

X_{2}[k]=e^{j\pi k/(2N)}X^{c2}[k],                                 k=0,1,…N-1

 

 

Esempio di calcolo della DCT-2 della sequenza x= [ 1:N ] e confronto con la DFT della stessa sequenza

La DCT di Matlab è una DCT-2 unitaria, nel senso che include fattori di normalizzazione. Vedi help di Matlab  e Oppenheim Schafer Buck cap. 8 sez. 8.8 Le proprietà delle DCT sono simili a quelle della DFT.

Altre estensioni periodiche

E’ possibile pensare altre estensioni periodiche della sequenza x[n] con simmetria dispari e queste sono collegate alla trasformata seno (DST). Le funzioni della base sono solo seni.

Validità pratica della DCT

La DCT-2 viene usata in molte applicazioni di compressione dei dati al posto della DFT per la sua proprietà di compattazione dell’energia. La DCT-2 di una sequenza finita ha meno coefficienti che portano energia significativa rispetto ad un equivalente DFT.

DCT-2

x[n]=frac 1 N sum_{k=0}^{N-1}beta[k]X^{c2}[k]cosbiggl (frac {pi k (2n+1)}{2N}Biggr)

Dove

[\beta[k]=\begin{cases} \frac{1}{2}, & k=0\\ 1 & 1\leq k\leq N-1\end{cases}

in base al teorema di Parseval

sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|=frac 1 N sum_{k=0}^{N-1}beta[k]|X^{c2} [k]|^2

La DCT è concentrata agli indici bassi, i coefficienti ad indici più alti possono essere messi a zero senza eccessiva compromissione dell’energia del segnale.

Un esempio

Segnale x[n] . 8n cos (25/100 ? n) n=0,1,2, …, 32

In Matlab: x=.8.^n.*cos(.25*pi*n)


Segnale e sua DFT (parte reale e parte immaginaria)


Confronto tra DFT e DCT

Il numero di coefficienti della DCT che portano il 99% dell’energia è 11 .

Il numero di coefficienti della DCT che portano il 99% dell'energia è 11 .


Confronto tra DFT e DCT

Si può ricostruire una sequenza con pochi coefficienti, perché l’energia viene
concentrata agli indici bassi – proprietà di compattazione dell’energia.

Si può ricostruire una sequenza con pochi coefficienti, perché l'energia viene concentrata agli indici bassi – proprietà di compattazione dell'energia.


Programma per il calcolo del numero di coefficienti della DCT che sono rappresentativi del 99% dell’energia della sequenza

x = (1:100) + 50*cos((1:100)*2*pi/40); X = dct(x); [XX,ind] = sort(abs(X)); ind = fliplr(ind); i = 1; while (norm([X(ind(1:i)) zeros(1,100-i)])/norm(X) Risultato: 3, come si evince anche dal grafico.

Esempio rivisitato da manuale Matlab.

I materiali di supporto della lezione

Oppenheim, Schafer, Buck -Discrete Time Signal Processing - cap 8 pp 589-600

Matworks: Matlab and Signal Processing tool-box

An Introduction to Wavelets and the Haar Transform

Haar wavelet

Wavelet transform

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