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Immacolata Ortosecco » 12.Dualità e trasformata coseno

Sommario

Dualità
Trasformata Coseno

Dualità per tempo continuo e tempo discreto

Per il tempo continuo

Le equazioni per la trasformata di Fourier diretta e quella inversa per il tempo continuo sono simili, infatti differiscono per un fattore moltiplicativo ed il segno dell’esponenziale.

Questa simmetria porta ad una proprietà definita dualità.

CTFT e Dualità per il tempo continuo

Nel caso della CTFT, le funzioni del tempo e della frequenza sono entrambe continue ed aperiodiche. Se f (-) e g (-) sono due funzioni tali che $f(r)=int_{-infty&#125^{infty&#125g(tau)e^{-jrtau&#125dtau$

Allora,

posto τ = t ed r = ω: x(t) = g(t) ↔ X(j ω) = f(ω)

e posto τ = – ω ed r = t: y(t) = f(t) ↔ Y(jω) = 2πg(-ω)

Esempio dualità

Se la funzione del tempo è un impulso rettangolare, continuo ed aperiodico, si ha, nel dominio della frequenza, un sinc continuo ed aperiodico, e viceversa se la funzione nel dominio del tempo è un sinc.

$\text{[math]}$

Vedi es. 4.13 proprietà della CTFT – Oppenheim Willsky-Signal & Systems

Dualità esempio

Per ogni coppia di trasformate c'è una coppia duale con interscambio delle variali tempo e frequenza.

DTFT e DFS: esame della dualità

Per la trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) di segnali aperiodici non c’è la stessa relazione di dualità che esiste per segnali aperiodici a tempo continuo e loro trasformata di Fourier.

Nel caso della serie di F. Discreta (DFS), invece, la sequenza discreta e la sua trasformata sono entrambe sequenze e le equazioni di analisi e sintesi differiscono per il fattore 1/N ed il segno dell’esponenziale.

$begin{array&#125{cccc&#125Analisi & widetilde{X&#125[k]= & sum_{n=0&#125^{N-1&#125widetilde{x&#125 & [n]W_{N&#125^{nk&#125\\Sintesi & widetilde{x&#125[k]= & frac{1&#125{N&#125sum_{n=0&#125^{N-1&#125widetilde{x&#125 & [n]W_{N&#125^{-nk&#125end{array&#125$

Da ciò segue

$Ntilde{x&#125[-n]=sum_{k=0&#125^{N-1&#125tilde{X&#125mbox{mbox{ensuremath{[k]W_{N&#125^{nk&#125&#125&#125&#125$

e scambiando il ruolo di n e k

$Ntilde{x&#125[-k]=sum_{k=0&#125^{N-1&#125tilde{X&#125mbox{mbox{ensuremath{[k]W_{N&#125^{nk&#125&#125&#125&#125$

DTFT e DFS: esame della dualità (segue)

Vediamo che l’ultima equazione della slide precedente è simile all’equazione di analisi, la sequenza dei coefficienti della DFS

$\tilde X [n]$ è

$Ntilde{x&#125[-k]$ ,

la sequenza periodica originale è invertita temporalmente e moltiplicata per N.

Questa proprietà di dualità si riassume affermando che

$begin{array&#125{ccc&#125tilde{x&#125[n] & underleftrightarrow{DFS&#125 & tilde{X&#125[k]end{array&#125$

allora

$begin{array&#125{ccc&#125tilde{X&#125[n] & underleftrightarrow{DFS&#125 & Ntilde{x&#125[-k]end{array&#125$

Dualità per il tempo discreto

Serie di F. a tempo discreto DTFS: funzione discreta e periodica in tempo e funzione discreta e periodica in frequenza. $x[n]=sum_{k=langle Nrangle&#125a_k e^{jkomega_0 n&#125=x[n+N],~~~~ omega_0=frac{2pi&#125N$

$a_{k}=\frac{1}{N}\sum_{k=}x[n]e^{-jk\omega_{0}n}=a_{k+N}$

Anche qui possiamo dire che se f(-) e g(-) sono due funzioni tali che

$f[m]=frac 1 Nsum_{r=langle N rangle&#125 g [r]e^{jr omega_o m&#125$

$g[r]=sum_{m=langle N rangle&#125 f [m]e^{jr omega_o m&#125$

Allora, posto m=n ed r = -k x[n]=f[n] ↔ a_k=1/N g[-k]

e posto r=n ed m=k y[n]=g[n] ↔ a_k=f[k]

Scaling

Osservazione su scaling in tempo e in frequenza

Un esempio di relazione inversa tra tempo e frequenza

$x(t)longleftrightarrow X(jomega)$

$x(at)longleftrightarrowfrac{1&#125{|a|&#125X(frac{jomega&#125{a&#125)$

Da questa equazione vediamo che se un segnale è compresso nel dominio del tempo, lo spettro sarà espanso nel dominio della frequenza e viceversa, se il segnale è espanso nel dominio del tempo, lo spettro in frequenza sarà compresso.

Questa relazione inversa è collegata al principio di indeterminazione ed ha importanti conseguenze nel filtraggio.

Ancora Trasformate

Trasformate più note e meno note
Caratteri comuni
Proprietà
Applicazioni

Trasformate per segnali a tempo discreto

Trasformate basate su funzioni sinusoidali:

DSFT – Serie di Fourier a tempo discreto (segnali discreti periodici)
DTFT – Trasformata di Fourier a tempo discreto (segnali discreti aperiodici)
DFT – Discrte Fourier Trasform (segnali discreti a lunghezza finita)
DCT – Trasformata coseno a tempo discreto (per segnali discreti a lunghezza finita con simmetria pari)
TDFT – Trasformata di Fourier dipendente dal tempo (per l’analisi dei segnali non stazionari)

Altre tasformate: Haar trasfomr (Haar wavelet) Wavelet transform

DCT introduzione

DFT come esempio più comune di una classe generale di trasformate a lunghezza finita

Caratteristiche comuni di tutte le trasformate basate su funzioni sinusoidali elencate: esistenza di una base di funzioni ortonormali. Tali che per le

$phi_{k}[n]$

valga la relazione

$frac{1}{N}sum_{n=0}^{N-1}phi_{k}phi_{m}^{*}[n]=begin{cases} 1, & m=k\ 0, & mneq kend{cases}$

Data una sequenza discreta a lunghezza finita x[n]

$A[k]=sum_{n=0}^{N-1}x[n]phi_{k}^{*}[n]$

$x[n]=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}A[k]phi_{k}[n]$

DCT (segue)

Nel caso della DFT le sequenze della base sono sequenze esponenziali complesse e^j2πkn/N e la sequenza degli A[k] – (spettro) è in generale complessa anche se la x[n] è reale. Ci chiediamo se c’è un insieme di funzioni reali che possano formare una base tale da fornire dei coefficienti reali A[k] per x[n] reale. Da questa domanda hanno tratto origine le trasformate di Haar, di Hartley e la trasformata coseno.

La Discrete Cosine Transform (DCT) ha applicazioni importanti per i segnali vocali e nella compressione delle immagini.

Vediamo la DCT e la sua relazione con la DFT.

Preparazione delle sequenze per la DCT

Come sappiamo la DFT richiede un’assunzione di periodicità.

La DCT, ha come funzioni della base i coseni e richiede una assunzione di periodicità e simmetria pari.

Quindi l’estensione di x[n] oltre il range 0 ≤ n ≤ N-1 deve essere sia periodica che simmetrica.

Per la DFT basta solo una assunzione di periodicità

Quando viene sviluppata la DFT si suppone di periodicizzare la sequenza x[n] per poi poter applicare una DFS, cioè fare uno sviluppo in serie con esponenziali complessi.

Formalmente la periodicizzazione modulo N si indica con x((n))_N

Nel caso dell’esempio da x[n]=[1 2 4 5 0 6], otteniamo una xp[n] modulo 4.

xp[n]= x((n))₄

Per la DCT non basta solo una assunzione di periodicità

La DCT passa attraverso la formazione di una sequenza periodica e simmetrica a partire dalla sequenza x[n]. Per fare questo ci sono molti modi. Vediamo un esempio nella slide successiva.

Periodicizzazione e simmetria pari della sequenza x[n] ai fini della trasformata coseno

Altre sequenze periodiche e a simmetria pari

DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4

Le 4 estensioni periodiche della sequenza x[n] portano a 4 formulazioni della DCT. Denominate come DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4 . Tutte le estensioni periodiche che portano alle varie formulazioni, possono essere pensate come somma di copie traslate delle sequenze a N punti ± x[n] e ± x[-n]. Le differenze tra DCT-1 e DCT-2 dipendono da come i punti terminali si sovrappongono con le versioni traslate di se stesse.

Per la DCT-2

Data x[n] la sequenza originale a N punti, costruiamo la sequenza periodica e a simmetria paria 2N punti

x₂[n] = x[((n))_2N] + x[((-n-1))_2N] con n=0, 1, … 2N-1 .

Questo perché i punti terminali non si sovrappongono.

La DFT della sequenza x₂[n] è

$X_{2}[k]=X[k]+X^{*}[k]e^{j2\pi k/2N}$ , k= 0,1, …, 2N-1.

X[k] è la DFT a 2N punti della sequenza x[n], x[n] è zero padded con N zeri.

$X_{2}[k]=X[k]+X^{*}[k]e^{j2\pi k/2N}$

$=e^{j\pi k/2N}(X[k]e^{-j\pi k/2N}+X^{*}[k]e^{j\pi k/2N})$ ?

$=e^{j\pi k/2N}2Re\left\{ X[k]e^{-j\pi k/2N}\right\}$ ?

Dalla DFT a 2N punti di x[n] zero padded segue

$Re\left\{ X[k]e^{-j\pi k/2N}\right\} =\sum_{n=0}^{N-1}x[n]cos\left(\frac{\pi k(2n+1)}{2N}\right)$ ?

Quindi è possibile esprimere la DCT-2 come X[k] che è la DFT a 2N punti della sequenza x[n].

Per la DCT-2 (segue)

Usando le relazioni sopra è possibile esprimere la X^c2 [k] in termini di X[k] che è la DFT di x[n]

come

$X^{c2}[k]=2RealX[k]e^{-jpi k/(2N)}$ , k=0,1,…,N-1

oppure In termini della DFT a 2N punti estesa simmetricamente x₂[n]

come

$X^{c2}[k]=e^{-jpi k/(2N)}X_{2}[k]$ , k=0,1,…N-1

Ed ovviamente

$X_{2}[k]=e^{j\pi k/(2N)}X^{c2}[k],$ k=0,1,…N-1

Esempio di calcolo della DCT-2 della sequenza x= [ 1:N ] e confronto con la DFT della stessa sequenza

La DCT di Matlab è una DCT-2 unitaria, nel senso che include fattori di normalizzazione. Vedi help di Matlab e Oppenheim Schafer Buck cap. 8 sez. 8.8 Le proprietà delle DCT sono simili a quelle della DFT.

Altre estensioni periodiche

E’ possibile pensare altre estensioni periodiche della sequenza x[n] con simmetria dispari e queste sono collegate alla trasformata seno (DST). Le funzioni della base sono solo seni.

Validità pratica della DCT

La DCT-2 viene usata in molte applicazioni di compressione dei dati al posto della DFT per la sua proprietà di compattazione dell’energia. La DCT-2 di una sequenza finita ha meno coefficienti che portano energia significativa rispetto ad un equivalente DFT.

DCT-2

$x[n]=frac 1 N sum_{k=0}^{N-1}beta[k]X^{c2}[k]cosbiggl (frac {pi k (2n+1)}{2N}Biggr)$

Dove

$[\beta[k]=\begin{cases} \frac{1}{2}, & k=0\\ 1 & 1\leq k\leq N-1\end{cases}$

in base al teorema di Parseval

$sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|=frac 1 N sum_{k=0}^{N-1}beta[k]|X^{c2} [k]|^2$

La DCT è concentrata agli indici bassi, i coefficienti ad indici più alti possono essere messi a zero senza eccessiva compromissione dell’energia del segnale.

Un esempio

Segnale x[n] . 8ⁿ cos (25/100 ? n) n=0,1,2, …, 32

In Matlab: x=.8.^n.*cos(.25*pi*n)

Segnale e sua DFT (parte reale e parte immaginaria)

Confronto tra DFT e DCT

Il numero di coefficienti della DCT che portano il 99% dell'energia è 11 .

Confronto tra DFT e DCT

Si può ricostruire una sequenza con pochi coefficienti, perché l'energia viene concentrata agli indici bassi proprietà di compattazione dell'energia.

Programma per il calcolo del numero di coefficienti della DCT che sono rappresentativi del 99% dell’energia della sequenza

x = (1:100) + 50*cos((1:100)*2*pi/40); X = dct(x); [XX,ind] = sort(abs(X)); ind = fliplr(ind); i = 1; while (norm([X(ind(1:i)) zeros(1,100-i)])/norm(X) Risultato: 3, come si evince anche dal grafico.

Esempio rivisitato da manuale Matlab.