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Immacolata Ortosecco » 20.Filtri - parte seconda

Sommario

Strutture per i filtri numerici IIR e FIR
Diagrammi a blocchi
Forme dirette I e II e forme trasposte

Strutture per la realizzazione hardware di filtri numerici, noti i coefficienti a e b

Per un sistema LTI, l’equazione alle differenze , la risposta all’impulso e la funzione di trasferimento sono modi equivalenti per caratterizzare la relazione input output del sistema a tempo discreto.
Quando questi sistemi devono essere realizzati in hardware la relazione input output deve essere convertita in un algoritmo o una struttura che può essere realizzata nella tecnologia prescelta: Chip per DSP, FPGA o altro hardware VLSI.
Abbiamo già visto, per grandi linee, come i sistemi descritti da equazioni alle differenze possono essere descritti da interconnessione di operatori semplici come sommatori, moltiplicatori e ritardi.

Diagrammi a blocchi

Partiamo dall’equazione alle differenze $\sum_{0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum_{0}^{M}b_{k}x[n-k]$ possiamo, riscriverla in maniera più conveniente come
$y[n]-\sum_{k=1}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]$ e quindi $y[n]=\sum_{k=1}^{N}a_{k}y[n-k]+\sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]$
Ricordiamo anche la funzione di trasferimento
$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{1-\sum_{1}^{N}a_{k}z^{-k}}$
Osserviamo che da $y[n]=\sum_{k=1}^{N}a_{k}y[n-k]+\sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]$
ponendo $g[n]=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]$ abbiamo
$y[n]=\sum_{k=1}^{N}a_{k}y[n-k]+ g[n]$
Da questa espressione il primo diagramma a blocchi. Nel caso in cui N=M si semplificherà ulteriormente il diagramma a blocchi.

Diagramma a blocchi per equaz. alle differenze

Il diagramma a blocchi può essere modificato senza cambiare la relazione input – output.
Si può immaginare come due sistemi S1 ed S2 in serie, il primo calcola g[n] ed il secondo riceve in input g[n] e fornisce l’output y[n].
I due sistemi sono LTI, in condizioni iniziali zero, (i registri sono azzerati = inizial rest) è possibile invertire l’ordine dei due sistemi (proprietà commutativa) ed ottenere un nuovo sistema.

Forma diretta I.

Altro sistema per la stessa equazione alle differenze

Osservando che lo stesso valore f[n] viene memorizzato nei due registri di ritardo,quello di destra e quello di sinistra e che così succede anche per f[n-1], f[n-2]…etc. , lo schema si può ulteriormente semplificare eliminando la metà dei ritardi ed ottenendo così un numero minimo di ritardi pari alla metà dei ritardi mostrati (forma canonica).

Forma II o forma canonica diretta

Numero di ritardi dimezzato (il max numero di ritardi in generale è max(N,M).

Se N=M abbiamo quanto riportato nello schema a lato.

Forma diretta II.

Schema a blocchi e grafi di flusso

Prima di passare alla trasposizione,che consente di vedere un’altra forma per il sistema filtro, semplifichiamo la notazione per lo schema introducendo il grafo di flusso mostrato in basso a destra.

Forma diretta II.

Grafo relativo alla forma diretta II sopre visualizzata.

Esempio di forma trasposta per un sistema del 1° ordine

A partire dal diagramma del primo schema , si realizza la forma trasposta invertendo il flusso in ogni ramo e cambiando l’input con l’output. L’ultimo schema è stato riorganizzato con l’input a sinistra e l’output a destra. Tutti questi schemi si riferiscono sempre allo stesso sistema. Hanno tutti la stessa funzione di trasferimento. (Verificare per esercizio)

Evoluzione degli schemi.

Forma trasposta per una sezione del 2° ordine N=M=2

La trasposizione di una forma diretta viene realizzata invertendo le direzioni di tutti i rami nella rete, mantenendo la stessa posizione dei rami ed invertendo l’input con l’output.
L’esempio che segue è la trasposizione della forma diretta II di una sezione del II ordine
$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{b_{0}+b_{1}z^{-1+}b_{2}z^{-2}}{1-a_{1}z^{-1}-a_{2}z^{-2}}$
L’indicazione delle uscite intermedie con g₀[n], g₁[n], g₂[n] aiuta nella verifica della relazione input output del sistema.

Infatti risulta y[n]=a₁ y[n-1]+a₂y[n-2]+b₀x[n]+b₁x[n-1]+b₂x[n-2]

Strutture per filtri FIR, IIR

Forma diretta per i FIR $y[n]=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]$
Che si può anche riconoscere come la convoluzione discreta di x[n] con la risposta all’impulso h[n]

$h[n]=\left\{\begin{array}{ll} b_n~~ n=0,1, ..., M\\ 0,~~\text{ altrimenti}\end{array}\right$

In questo caso il primo schema nella slide successiva è relativo alla forma diretta.
Per la forma in cascata, ottenuta fattorizzando la funzione di trasferimento H(z)
data da $H(z)=\sum_{n=0}^{M}h[n]z^{-n}=\prod_{k=1}^{M}(b_{0k}+b_{1k}z^{-1}+b_{2k}z^{-2})$
abbiamo il secondo schema della slide succesiva.

FIR forma diretta e forma in cascata

Strutture per IIR

Forma diretta per gli IIR l’abbiamo gia vista.
Vediamo ora la forma per strutture in cascata. Partiamo dalla H(z) fattorizzando le due polinomiali, quella del numeratore e quella del denominatore.

$H(z)=A\frac{\prod_{k=1}^{M_{1}}(1-f_{k}z^{-1})\prod_{k=1}^{M_{2}}(1-g_{k}z^{-1})(1-g*z^{-1})}{\prod_{k=1}^{N_{1}}(1-c_{k}z^{-1})\prod_{k=1}^{N_{2}}(1-d_{k}z^{-1})(1-d_{k}^{*}z^{-1})}$

Con $M=M_{1}+2M_{2}\text{ ed } N=N_{1}+2N_{2}$
I fattori del 1° ordine rappresentano gli zeri reali a $f_k$ e i poli reali a $c_k$ , i fattori del secondo ordine rappresentano gli zeri ed i poli complessi coniugati.
C’è una ampia possibilità di realizzare sottosistemi per realizzare la h(z).
Una strada molto praticata è quella di organizzare coppie di fattori reali e complessi coniugati in fattori del 2° ordine in modo da esprimere la H(z) come
$H(z)=\prod_{k=1}^{N_{s}}\frac{b_{0k}+b_{1k}z^{-1+}b_{2k}z^{-2}}{1-a_{1k}z^{-1}-a_{2k}z^{-2}}$
Dove $N_{s}=(N+1)/2$