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Immacolata Ortosecco » 2.Segnali ed operazioni sui segnali


Sommario

  • Segnali a tempo continuo
  • Segnali a tempo discreto: sequenze
  • Sequenze fondamentali
  • Operazioni elementari su sequenze
  • Periodicità e frequenza nel tempo continuo e nel tempo discreto

Segnali nel dominio del tempo

Notazioni

  • caso Tempo Continuo (TC) segnale  x(t)
  • caso Tempo Discreto (TD) sequenza x[n]

Nel caso del discreto x[•] è semplicemente non definito per valori non interi dell’argomento tra parentesi [ ].
Sequenza di numeri x[n] per indicare il segnale e x[n] anche per indicare il campione n-esimo della sequenza.

Segnali

segnali a Tempo Continuo o analogici

  • Assumono valori nell’intervallo (a,b) $\mathbb{\in R}$ con a e b che possono andare da$-\infty~$a $+\infty$

Es:
x1(t)=cos (pi t)
x2(t) =exp(-|t|)
Grafico a lato per in segnale x2(t)

segnali a Tempo Discreto – sequenze

  • Segnali definiti solo per certi valori del tempo
  • Valori non necessariamente equidistanti

Es.: segnali discreti o sequenze numeriche
x[ n] = exp[- | n|]~~ n=0, + /- 1 , +/- 2, ... Con n $\mathbb{\in Z}$

Altri esempi di  segnali a tempo discreto:
numero di persone che entrano in un centro commerciale ogni ora;
numero di nuove auto immatricolate ogni mese.

 exp(|t|)  tempo continuo

exp(|t|) tempo continuo

y(tn)=exp(-|tn|)    tn=…-5,-4-,-3,-2,0,1,2,3,4,5…

y(tn)=exp(-|tn|) tn=...-5,-4-,-3,-2,0,1,2,3,4,5...


Sequenze

Una sequenza è un set di numeri come {0, 2, 5,3, 6, 0, 1}.
Nel DSP, le sequenze sono spesso ottenute dal campionamento dei segnali del mondo reale fatto ad intervalli di tempo fissati.

Le sequenze sono di solito ‘indicizzate’ nel senso che le associamo con un altro insieme di numeri di uguale lunghezza che contiene numeri in successione come rappresentati sull’asse x. esempio n= {-1, 0,1,2,3,4} (dominio Z).

Notazione per le sequenze
Usiamo la seguente notazione per le sequenze:
x[n]= {0, 2, 3, 5,6 0 1 } per n=-1,0, 1,2,3,4
oppure scriviamo n=-1…4

Visualizzazione delle sequenze
Possiamo fare una visualizzazione grafica delle sequenze come nella figura a lato. (Grafico eseguito con matlab con le seguenti linee di comandi:
n=[-1 0 1 2 3 4 5];
y=[0 2 3 5 6 0 1];
stem(n,y)

Sequenza x[n]

Sequenza x[n]


Sequenze (segue)

Una sequenza con gli stessi valori, ma differenti indici è una sequenza diversa.

Convenzioni per le sequenze
Specificare una sequenza senza indicare un indice di solito significa che la sequenza parte a n=0. Ad esempio, xn={5 4 3 2 7} significa n={0 1 2 3 4 }, altrimenti occorre specificare l’indice zero a quale campione è associato.

Una sequenza si suppone zero al di fuori degli indici specificati.

Sequenza  ottenuta da x[n] diversamente indicizzata

Sequenza ottenuta da x[n] diversamente indicizzata


Segnali da sequenze discrete particolari

Alcune sequenze importanti:

Impulso
$\delta[n]=\begin{cases}<br />
=1 & n=0\\=0 & n\neq0\end{cases}$

Gradino
$u[n]=\begin{cases}<br />
1, & n\geq0\\0, & n<0\end{cases}$

Rampa
$r[n]=\begin{cases}<br />
0, & n<0\\n, & n\geq0\end{cases}$


Operazioni elementari tra segnali per TC e TD

Le operazioni al punto 1 riguardano la variabile dipendente. Quelle ai punti 2, 3 e 4 sono relative alla variabile indipendente.

  1. Scaling e shift verticale
  2. Time shift Anticipazione o ritardo di un segnale
  3. Time reversal
  4. Compressione ed espansione

Altre operazioni sui segnali

  1. Somma,  differenza e prodotto di segnali
  2. Trasformazione per funzioni composte

Operazioni elementari

azione sulla variabile dipendente 1 avd1

Scaling

Moltiplicazione di un segnale per una costante A reale o complessa  y(t) =Ax(t)….. y[n]=A x[n]

  • A<1 attenuazione del segnale
  • A> 1 amplificazione del segnale

Operazioni elementari

azione sulla variabile dipendente 1 avd1

  • Shift verticale: spostamento del segnale verso l’alto o il basso.
  • Somma di una costante al segnale, la costante può essere positiva o negativa.

y(t) =x(t) + b~~~~~~~ y[n]= x[n] + b

b>0 spostamento verso l’alto; b<0 spostamento verso il basso.

Nella figura a lato b=4.

x=0:0.05:5;
y=sin(x.^2);
Subplot(211);plot(x,y);
xlabel('Tempo')
ylabel('Ampiezza')
x=0:0.05:5;
y=sin(x.^2)+4;
Subplot(212),plot(x,y);
xlabel('Tempo')
ylabel('Ampiezza')
Grafico realizzato con Matlab.

Grafico realizzato con Matlab.


Operazioni elementari

azione sulla variabile indipendente 2 avi2

Time shift (spostamento nel tempo: ritardo o anticipazione)

Data la sequenza x[n] = $\delta[n]$ ,

impulso unitario o $\delta$

  • sequenza impulso unitario ritardata o shiftata a destra di n=2  è  $\delta[n-2]$
  • sequenza impulso unitario anticipata o shiftata a sinistra è  $\delta[n+2]$

Operazioni elementari avi3

Time reversal per la sequenza p[n]=(1, 3, -1, 0, 4, 2, -1, -2, 0, 0, 2); vettore indici  n=(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5)

Time reversal per la sequenza p[n]=(1, 3, -1, 0, 4, 2, -1, -2, 0, 0, 2); vettore indici n=(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5)


Operazioni elementari avi4

Compressione ed espansione di sequenze

  • Data la sequenza x[n] , se moltiplichiamo n●M, con M intero positivo otteniamo una nuova sequenza y[n]=x[M ● n].
  • Se M>1  es.: M =2 avremo una sequenza compressa con la metà dei campioni se la sequenza è finita.
  • Se M<1  es.: M=1/2 avremo una sequenza espansa, ma in questo caso quando n=1, M*n , nuovo indice della sequenza espansa sarà = 1/2, i campioni però hanno indici interi, allora mettiamo a zero il valore della sequenza per quell’indice. Se n=2, M*n=1, quindi il nuovo valore sarà uguale al valore della sequenza di partenza all’indice 1.

Operazioni elementari avi4

Operazioni di compressione ed espansione  su x[n],  con M=2 e M = 1/2

Operazioni di compressione ed espansione su x[n], con M=2 e M = 1/2


Altre operazioni su segnali e sequenze

  • È possibile ottenere nuove sequenze per somma, differenza o prodotto di sequenze date.
  • L’operazione viene effettuata su campioni di posto omologo.

Riepilogo: Operazioni elementari su segnali

azioni sulla variabile indipendente → avi

Time shift x[n]  →  x[n-n0]
Time reversal x[n]  →  x[-n]
Time scaling x[n]   →  x[2n]  →  x[n/2]

Sono trasformazioni lineari della variabile indipendente.
In generale da x[n] si può passare x[an +b] dove a e b sono numeri dati.
x[n] può risultare shiftato, reversed, compresso o espanso a seconda di valori di a e b.

Trasformazioni per funzioni composte
Es.: y[n]= \sin(x[n])

Risultato importante

Una sequenza qualunque si può esprimere tramite somma di sequenze impulso unitario shiftate e scalate.

$p[n]=\ldots a_{-2}\delta[n+2]+a_{-1}\delta[n+1]+a_{0}\delta[n]+a_{1}\delta[n-1]+a_{2}\delta[n-2]+a_{3}\delta[n-3]\ldots$

La sequenza è stata espressa mediante sequenze impulso unitario shiftate. In forma compatta si può scrivere:

$p[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}$$a_{k}\delta[n-k]$


Ritorniamo alle  sequenze discrete particolari per evidenziare i loro legami

Alcune sequenze importanti:

  • Impulso

$\delta[n]=\begin{cases}<br />
=1 & n=0\\=0 & n\neq0\end{cases}$

  • Gradino

$u[n]=\begin{cases}<br />
1, & n\geq0\\0, & n<0\end{cases}$

  • Rampa

$r[n]=\begin{cases}<br />
0, & n<0\\n, & n\geq0\end{cases}$


Legami tra le sequenze discrete impulso e gradino

Lo step unitario o gradino unitario è legato all’impulso dalla relazione:

$u[n]=\underset{k=-\infty}{\sum^{n}\delta[k]}$

Cioè il valore della sequenza al tempo individuato dall’indice n è dato dalla somma accumulata del valore all’indice n e di tutti i valori precedenti della sequenza impulso.

Un modo alternativo è considerare il gradino come la somma di sequenze impulsive che partono da zero e sono tutte shiftate di 1 a destra  u[n]=\sum_{k=0}^{\infty}\delta[n-k]

Di conseguenza l’impulso è dato da $\delta[n]=u[n]-u[n-1]$.

In generale tra le sequenze impulso, gradino e rampa esiste un collegamento attraverso le operazioni  di derivazione o di integrazione.


Altra sequenza importante dell’elaborazione dei segnali

Sequenza esponenziale
$x[n]=C\cdot a^{n}$

Dove C ed a sono numeri reali e la sequenza x[n] è reale.

Con \; C=1 \;\;\;\;\; 0<a<1

l’esponenziale è decrescente.

Con \; C=1 \;\;\;\;\; -1<a<0

l’esponenziale è ancora decrescente, ma i valori sono alternativamente positivi e negativi.

Combinazione di sequenze
La sequenza

$x[n]=\begin{cases}C\cdot a^{n} & n\geq0\\0 & n<0\end{cases}$

si può esprimere in maniera più semplice come
$x[n]=C\cdot a^{n}\cdot u[n]$


Sequenze sinusoidali

Per le sequenze sinusoidali dobbiamo soffermarci un pò di più, data l’importanza che esse hanno nell’elaborazione dei segnali.
Forma generale di una sequenza sinusoidale è  $x[n]=A\cdot cos(\omega_{0}n+\varphi)$ con n $\mathbb{\in Z}$.

In figura una sequenza sinusoidale realizzata e graficata con matlab.
La sequenza è su 128 punti.
Ampiezza A=1;
Frequenza = 2 cicli /128punti;
Fase = zero.

Codice matlab per la realizzazione ed il grafico di x[n]
y=sin(2*pi*2*(0:1/128:1-1/128));
stem(y)

Sequenza sinusoidale x[n]

Sequenza sinusoidale x[n]


Sequenze sinusoidali da esponenziali complessi

La sequenza esponenziale  $x[n]=C\cdot a^{n}$ con a complesso, ha parte reale e parte immaginaria.

Le due sequenze, parte reale e parte immaginaria,  si presentano come sinusoidi esponenzialmente pesate.

Infatti,  se a=|a|\cdot e^{j\omega_{0}} e C=|C|e, la sequenza C an, può essere espressa in uno dei seguenti modi:

x[n]=Ca^{n}=|C|e^{j\varphi}|a|^{n}e^{j\omega_{0}n}

x[n]=|C|\cdot|a|^{n}e^{j(\omega_{0}n+\varphi)}$
x[n]=|C|\cdot|a|^{n}((cos\omega_{0}n+\varphi)+j\cdot(sin\omega_{0}n+\varphi))$

Quando |a|=1 la sequenza è detta sequenza esponenziale complesso, se |a|>1 la sequenza oscilla con ampiezza crescente e decrescente se |a|<1.
n è un intero adimensionato.
Per mantenere l’analogia con il caso continuo la pulsazione $\omega$ è espressa in rad/campioni e la variabile n esprime i campioni.
Il fatto che n è sempre un intero porta a notevoli differenze tra il dominio del tempo continuo e quello del tempo discreto.

Sinusoidi da esponenziale complesso

$y_{1}=.5^{(1/128:1/128:1)}.*exp(j*8*\pi*(1/128:1/128:1)$

Visualizzazione della parte reale e della parte immaginaria. Grafici realizzati con Matlab con l’espressione indicata a lato.

Visualizzazione della parte reale e della parte immaginaria. Grafici realizzati con Matlab con l'espressione indicata a lato.


Il concetto di frequenza nei segnali a tempo continuo e a tempo discreto

La frequenza è legata ad uno specifico tipo di moto periodico, detto oscillazione armonica descritto da funzioni sinusoidali.
Il concetto di frequenza è direttamente collegato a quello di tempo. Ha le dimensioni dell’inverso di un tempo.
La natura del tempo influenza la natura della frequenza?

Esame dei segnali sinusoidali a tempo continuo

Proprietà del segnale sinusoidale analogico x(t)

- Per ogni fissato valore della frequenza f, x(t) è periodico con T=1/f periodo fondamentale e  x( t+T )=x(t)

- l segnali sinusoidali a tempo continuo con frequenze distinte sono distinti.

- Aumentando la frequenza aumenta il rate di oscillazione del segnale.

f→0, T → ∞ è consistente con f=1/T. Possiamo aumentare f senza limiti con conseguente aumento del rate di oscillazione.

Le relazioni su esposte si estendono alla classe dei segnali esponenziali complessi usando l’identità di Eulero.

Segnali sinusoidali o sequenze sinusoidali a tempo discreto

– Una sinusoide a tempo discreto (TD) è periodica solo se la sua frequenza f è un numero razionale multiplo di 2 π. Cioè se e solo se per qualche intero m e qualche intero positivo N, abbiamo ω =(m/N) 2 π. Il periodo fondamentale è il minimo N per il quale la relazione si verifica.

– sinusoidi a tempo discreto le cui pulsazioni (talvolta indicate come ‘frequenze’ in rad/campioni) differiscono per un multiplo intero di 2 π sono identiche.

– il più alto rate di oscillazione in una sinusoide a tempo discreto si ha per ω = π oppure ω = – π o equivalentemente f=1/2 oppure f= -1/2.

Segnali sinusoidali a tempo discreto e pulsazione ω (rad/sample)

Un segnale sinusoidale può essere espresso da x[n]=A cos (ω n +θ),
- ∞ < n < + ∞
n variabile intera
ω pulsazione in radianti / campione
θ la fase in radianti

se usiamo ω = 2 π f  →  x[n]=A cos (2 π f n+θ)

f=cicli/campione (cicli per sample)

Segnale periodico di periodo N=12

y=sin(2*pi/12*(1:24)+pi/3)
 stem( Y )
Segnale periodico di periodo  N=12

y=sin(2*pi/12*(1:24)+pi/3) stem( Y ) Segnale periodico di periodo N=12


Una sinusoide a tempo discreto è periodica solo se la sua frequenza è un numero razionale

Se x[n ] è periodico,  x (n+N) =x(N).. \forall.. n , N è detto periodo fondamentale.

x[n] = cos[2 π f (N+n) + θ ] =cos[2 π f n + θ]

E’ vera sse \exists un intero k: 2 π f N= 2 k π
o equivalentemente f = k / N

Un piccolo cambiamento nella frequenza può portare ad un grande cambiamento nel periodo
Es: se f= 31/60   N= 60

se f= 30 /60  N=2

Sinusoidi a tempo discreto con pulsazioni che differiscono per un multiplo intero di 2 π sono identiche

Consideriamo cos [ 2 π f n + φ ], è facile mostrare che

cos [(2 π f+ 2π) n + φ] = cos [ 2 π f n +2 π n + φ] = cos [ 2 π f n + φ]

Se poniamo 2 π f = ω e 2 πk+ ω = ω k, allora tutte le sequenze sinusoidali
x k[n] = A cos [ω k n + φ] con k=0,1,2,3… ed  ω k =2 π f + 2k π  sono indistinguibili.

Solo le sequenze di sinusoidi con pulsazioni ω nell’intervallo [- π, + π ] o frequenze f nell’intervallo [-1/2, 1/2] sono distinte.

Ogni sequenza che risulta da una sinusoide con |ω | > π o frequenza |f | > ½ è identica a una sequenza ottenuta da un segnale sinusoidale con pulsazione |ω| ≤ π o frequenza |f | ≤ ½.

A causa di questa somiglianza chiameremo le sinusoidi con pulsazioni  |  ω | > π alias di una corrispondente sinusoide con |ω | < π.

Esempio

Es.: Caso ω compreso tra π e 2π

Sia  ω1 = ω e ω2=2π – ω
———————————————–
Se ω1 varia da π a 2π, ω2 varia da π a 0

Si può facilmente vedere che
x1[n] = A cos ω1 n =A cos ω n
e
x2 [n] = A cos ω2 n = A cos ( 2 π – ω) n
= A cos(-ω1 n) = x1[n]

Quindi ω2 è un alias di ω1

Le oscillazioni di un segnale sinusoidale a tempo continuo aumentano sempre all’aumentare della frequenza. Il più alto rate di oscillazione in una sinusoide a tempo discreto si ha per ω = π (o ω = – π ) o equivalentemente f = 1/2 oppure f = – 1/2

Nella figura successiva sono rappresentate le sequenze date da x[n]= cos(ω n),

con pulsazione ω variabile da 0 ,π/8, π/4, π/2,π……….2π

corrispondente a frequenza f=0, 1/16,1/8,1/4,1/2,……….1

e con periodi N = ∞ , 16, 8, 4, 2,……..

Le sequenze si presentano diverse e crescenti  fino a ω = π e poi si ripetono come riflesse in uno specchio per ω  che va da  π a 2π.

Esempio (segue)


Operazioni non elementari su segnali

(Argomento che sarà ripreso nel contesto dei Sistemi Lineari Tempo Invarianti)
Convoluzione – tempo continuo
Date due funzioni f(t) e g(t) : R → R si definisce convoluzione di f e g la funzioney(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-\tau)g(\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t-\tau)f(\tau)d\tau$

Convoluzione - tempo discreto
Date due sequenze x[n] e h[n] si definisce convoluzione la sequenza $y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]x[n-k]$

Il nuovo segnale prodotto con l’operazione di convoluzione tra x[n], di lunghezza N campioni e h[n] di lunghezza M campioni, ha una lunghezza di N+M-1 campioni.

Operazioni non elementari su segnali

(Argomento che sarà ripreso nel contesto dei Sistemi Lineari Tempo Invarianti)
Correlazione – tempo continuo
Date due funzioni f(t) e g(t) : R → R si definisce correlazione di f e g la funzione  y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t+\tau)g(\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t+\tau)f(\tau)d\tau$

Correlazione – tempo discreto
Date due sequenze x[n] e z[n] si definisce correlazione la sequenza $y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]z[n+k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}z[k]x[n+k]$

Il nuovo segnale prodotto con l’operazione di correlazione tra x[n], di lunghezza N e z[n] di lunghezza M, ha una lunghezza di N+M-1 campioni.

I materiali di supporto della lezione

Introduzione a Matlab. Tutorials in rete.

Produrre e graficare tutte le sequenze incontrate nella lezione con istruzioni o scripts Matlab.

Cap 2 Oppenheim- Schafer- Buck - Esercizi alla fine del capitolo.

Codice matlab per la figura della slide 32.

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