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Immacolata Ortosecco » 5.Sistemi lineari tempo invarianti e equazioni alle differenze


L’analisi di una particolare classe di sistemi nel dominio del tempo


Sistemi TC e TD descritti da equazioni differenziali o equazioni alle differenze

TC equazione differenziale del primo ordine

$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$
dove y(t) rappresenta l’output del sistema ed x(t) l’input.

TD equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti.

$\sum_{k=0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]$

Es.: sistema discreto descritto da equazione alle differenze lineare del primo ordine
y[n] = r y[n-1]+ x[n]
È il caso del conto bancario dove il capitale y[n] ad un tempo n (se n è un anno) è dato dall’ammontare del capitale dell’anno precedente con l’interesse + il deposito x[n] fatto al tempo n.

L’output è univocamente specificato se sono assegnate le condizioni ausiliarie o condizioni iniziali.

Discretizzazione

Per ottenere un’equazione alle differenze da un’equazione differenziale occorre passare attraverso una discretizzazione dell’equazione differenziale.

Dobbiamo innanzitutto scrivere la derivata come rapporto incrementale, dividendo il tempo continuo in intervalli discreti di lunghezza Δ ed approssimando la derivata dv(t)/dt a t=nΔ con la differenza prima o differenza finita in avanti. Eventualmente ci fosse una derivata seconda nell’equazione, occorrerebbe reiterare l’approssimazione.

Questo metodo noto come metodo di Eulero è descritto in letteratura e sfrutta i tre tipi possibili di differenze finite: differenze in avanti, all’indietro o centrate.

Vedremo due esempi ed utilizzeremo solo differenze in avanti per equazioni differenziali di ordine 1.

Esempio 1 circuito RC

Es:. Risposta di un circuito elettrico (RC) per il quale vale l’equazione differenziale

$\frac{dv_{c}(t)}{dt}+\frac{1}{RC}v_{c}(t)=\frac{1}{RC}v_{in}(t)$

Discretizzando abbiamo

$\frac{v_{c}(n\Delta)-v_{c}((n-1)\Delta)}{\Delta}+\frac{1}{RC}v_{c}(n\Delta)=\frac{1}{RC}v_{in}(n\Delta)$

Posto Δ =1, vc [n]= y[n] e vin[n]=x[n] otteniamo

\frac{y[n]-y[n-1]}1 +\frac 1 {RC}y[n]=\frac 1 {RC}x[n]

e posto

a=\frac{RC}{1+RC}~~~~~~~~b=\frac 1 {1+RC}

……………….

$y[n]=ay[n-1]+b[x[n]$ che è un’equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti del primo ordine.


Esempio 2: moto di una massa m su un piano orizzontale

Es:. Moto di un corpo sottoposto ad una forza acceleratrice ed una forza di attrito. Dalla seconda legge della dinamica abbiamo

$\frac{dv(t)}{dt}=\frac{1}{m}(f(t)-\rho v(t))$

Dove f(t) rappresenta l’input al sistema costituito dalla massa m che si muove su un piano orizzontale sotto l’effetto di una forza propulsiva f(t) ed una forza di attrito resistente ρv(t). La velocità v(t) è l’output del sistema.

Discretizzazione dell’equazione differenziale

$v[n]-\frac{m}{m+\rho}v[n-1]=\frac{\Delta}{m+\rho\Delta}f[n]$

E ponendo Δ=1 v [n]= y[n] e f[n]=x[n]  $a=\frac{m}{m+\rho}$ e $b=\frac{1}{m+\rho}$

Ancora un’equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti e del primo ordine

y[n]=ay[n-1]+bx[n].


Forma generale per equazioni alle differenze

Confrontando queste ultime equazioni con quella discreta del conto bancario ci accorgiamo che hanno tutte la stessa forma dell’equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti:

y[n]+ay[n-1]=bx[n]

Questa equazione descrive diversi sistemi.

Nel caso più generale possibile di equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti abbiamo l’espressione

$\sum_{k=0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]$

Procedura per la soluzione di equazioni alle differenze

Ricordiamo i tipi di soluzione per queste equazioni:

  • Soluzione analitica
  • Soluzione iterativa
  • Soluzione mediante trasformate

Esaminiamo i primi due casi. Il terzo sarà discusso dopo lo studio delle trasformate.

Come nel caso delle equazioni differenziali, qui la soluzione analitica è data da: y[n]=yh[n] +yp[n]
dove yh[n] è la sequenza soluzione dell’omogenea associata  e yp[n] è una sequenza soluzione particolare simile al termine forzante dato dalla sequenza x[n].
La soluzione, cioè la sequenza y[n] sarà univoca se sono specificate le condizioni ausiliarie.

Per approfondimenti e dimostrazioni si rimanda a testi specifici di analisi matematica.

Calcolo della soluzione dell’omogenea associata


Soluzione particolare

Per la soluzione particolare yp[n] osserviamo che:
Se x[n] è costante, allora la soluzione per la yp[n] assume la forma di una costante diversa da quella input.
Se x[n] è un’esponenziale, allora dobbiamo assumere che la soluzione particolare yp[n] sia un’esponenziale.
Se x[n] è una sinusoide, allora dobbiamo assumere che la soluzione particolare yp[n] sia una sinusoide.

Quindi la soluzione particolare assume la forma di base del segnale x[n], detto anche termine forzante. (vedi tabella).


Soluzione analitica

Esempio di soluzione analitica di un’equazione alle differenze.

y[n]=yh[n] +yp[n]
dove yh[n] è la soluzione dell’omogenea associata e yp[n] è una soluzione particolare simile al termine forzante.

yh[n] = λn → λn -3* λn-1 = 0
…………………λn-1(λ -3) = 0

da cui λ =3.       La soluzione è yh[n] = c 3n con c da determinare in base alla condizione iniziale.
Vediamo la soluzione particolare: yp[n] = Ku[n]
Ku[n] -3 K u[n-1]= u[n]

calcolata per n> 1 …………………… K -3K =1 …….. K= -1/2

Quindi ……………..yp[n] = -1/2 u[n]             e                y[n]= yh[n] +yp[n]

y[n]= c 3n -1/2 u[n] ….. con y[-1]=0 condizione ausiliaria o iniziale segue y[0]=1. Quindi la soluzione c 3n -1/2 u[n] = u[n] …… fornisce per n=1 ….. c 3 =3/2 …. quindi c=1/2

y[n]=1/2 ( 3n -1) u[n +1].

y[n]-3y[n-1]=u[n]                                     Con condizione ausiliaria y[-1]=0

Soluzione iterativa

Consideriamo l’equazione del Primo ordine con N=1 e a0 = 1    y[n]+a1 y[n-1] = x[n]

fissato x[n], si può trovare la soluzione y[n] in maniera iterativa per n ≥ 0 e per n < 0 separatamente (se è richiesto).

Supponiamo x[n]=δ[n] e calcoliamo la soluzione per n ≥ 0 e y[-1]=0

y[0]=x[n]+ a1 y[n-1] =1
y[1]=0- a1 y[0] =- a1
y[2]= 0 – a1 y[1] =+ a21

y[n]= 0 – an1 y[n-1]

Per n<0 da y[n]+a1 y[n-1] = x[n] abbiamo

y[n-1] =a1-1( x[n] – y[n])
y[-2]= a1-1( x[-1] – y[-1]) = a1-1( 0 – 0 ) =0
y[-3]= a1-1( x[-2] – y[-2]) =0

y[n]=0

Soluzione iterativa (segue)

Quindi la soluzione per tutti ivalori di n è y[n]=(-1)n an1, perché la parte della sequenza per n<0 è sempre zero. Se cambiamo la condizione ausiliaria ponendo y[-1]=1 otterremo un’altra soluzione.

L’output per un dato input non è univocamente specificato, è fissato dalle condizioni ausiliarie o condizioni iniziali. L’informazione ausiliaria è nella forma di N valori della sequenza, dove N è il grado dell’equazione.
I valori della sequenza per n ≥ 0 si ottengono dalla sequenza come data, quelli negativi riscrivendo la sequenza come nell’esempio. (y[n-1] =a1-1( x[n] – y[n]))

La linearità, l’invarianza temporale, e la causalità dipendono dalle condizioni ausiliarie.

Se c’è una informazione sullo stato iniziale del sistema , inizialmente in quiete con output y[-1]= y[-2]=…=0, il sistema sarà lineare, tempo invariante e causale.

È possibile trovarle la soluzione iterativa anche tramite un semplice programma in Matlab.

Soluzione iterativa con Matlab

Soluzione iterativa dello stesso tipo di equazione alle differenze, ma con input diverso.
Istruzioni in Matlab
N=6;
ny(1)=-1;
y(1)=0;
for i=2:N;
ny(i)=ny(i-1)+1;
y(i)=3*y(i-1)+1;
end;
stem(ny,y)

qui vengono calcolati i primi 6 campioni y = [ 0 1 4 13 40 121]

poi può essere fatto il grafico.


Altri esempi di equazioni alle differenze

Equazione alle differenze per l’accumulatore.

Data la relazione input output per il sistema accumulatore  y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}x[k] e per la risposta all’impulso h[n]=\sum_{k=-\infty}^n\delta[k]

Se riscriviamo la  y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}x[k] come  y[n-1]=\sum_{k=-\infty}^{n-1}x[k]

Segue allora, $y[n]=y[n-1]+x[n]$

Corrisponde all’equazione alle differenze della forma generale

\sum_{k=0}^Na_ky[n-k]=\sum_{k=0}^Mb_{k}x[n-k]

dove N=1, $a_{0}=1$ , $a_{1}=-1$ , M=0 e $b_{0}=1$

Schema a blocchi del sistema  accumulatore.

Schema a blocchi del sistema accumulatore.


Esempio 2: un sistema può avere più di una equazione alle differenze

Sistema Media Corrente o Moving Average

y[n]=\frac{1}{M_{1}+M_{2}+1}\sum_{k=-M_1}^{M_{2}}x[n-k]

e per la risposta all’impulso

h[n]=\frac{1}{M_{1}+M_{2}+1}\sum_{k=-M_1}^{M_{2}}\delta[n-k]

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Esempio 2: un sistema può avere più di una equazione alle differenze

Se poniamo $M_{1}=0$ il sistema è causale e y[n]=\frac{1}{M_{2}+1}\sum_{k=0}^{M_{2}}x[n-k] che è un caso particolare dell’equazione alle differenze per sistemi LTI

\sum_{k=0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum_{k=0}^M b_{k}x[n-k]

dove N=0,  $a_{0}=1$ , $a_{1}=-1$ , $M=M_{2}$ e $b_{k}=\frac{1}{M_{2}+1}$ …………………………… $0\leq k\leq M_{2}$

Ma abbiamo anche

y[n]-y[n-1]=\frac{1}{M_{2}+1}\left(x[n]-x[n-M_{2}-1]\right)

Che è ancora l’equazione

$\sum_{k=0}^{N}a_{k}y[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]$

 

dove N=1, $a_{0}=1$ , $a_{1}=-1$ , $M=M_{2}$,\;\; $b_{0}=\frac{1}{M_{2}+1},\;\; -b_{M_2+1}=\frac{1}{M_{2}+1}$ e $b_{k}=0$ per tutti gli altri valori di k.

Due diagrammi a blocchi per lo stesso sistema Moving Average


Riepilogo analisi nel dominio del tempo

  • Un sistema LTI è descritto dalla sua risposta all’impulso che è unica.
  • La risposta all’impulso h[n] porta informazioni sul tipo di sistema LTI.
    • Se il sistema è causale h[n] sarà zero per n<0.
    • Se il sistema è stabile la sequenza della risposta all’impulso sarà assolutamente sommabile.
    • Se la risposta all’impulso ha un numero finito di campioni il sistema è un Finite Impulse Response System o sistema FIR.
    • Se la sequenza h[n] ha un numero infinito di campioni il sistema è un Infinite Impulse Response o sistema IIR.

Es.:h[n]=an u[n] con |a| <1 è assolutamente sommabile

$S=\sum_{0}^{\infty}|h[n]|=\sum_{0}^{\infty}|a^{n}|=\frac{1}{1-|a|}<\infty$

Riassumendo

L’output per un dato input non è univocamente determinato se non vengono assegnate le condizioni ausiliarie, che possono essere condizioni al contorno se la variabile indipendente è lo spazio o condizioni iniziali se la variabile indipendente è il tempo.

Le informazioni ausiliarie sono nella forma di N valori sequenziali dell’output come l’ordine dell’equazione alle differenze.

I materiali di supporto della lezione

A. Oppenheim , R. W. Schafer J. R. Buck, Discrete – Time Signal Processing, cap 1, Prentice Hall

A. Oppenheim, A. Willsky , S. H. Nawab, Signals & Systems, Prentice Hall

J. G. Proakis D. Manolakis, Digital Signal Processing, Prentice Hall

Matlab

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