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Immacolata Ortosecco » 3.Sistemi e proprietà dei sistemi

Sistemi LTI

I segnali vengono elaborati dai sistemi.

Un sistema è ogni elemento di elaborazione che produce un segnale out in risposta ad un segnale input.
A seconda della tipologia del segnale da elaborare il sistema può essere a tempo continuo o discreto.

Può essere:

Un dispositivo fisico che realizza un’operazione su un segnale input.
Un algoritmo che modifica un segnale.
Un operatore che fa corrispondere ad una sequenza input x[n] una sequenza output con valore y[n] e in maniera univoca.

Rappresentazione di un sistema.

Tipologie di sistemi

Sistemi a Tempo Continuo CT (fig. in alto) e a Tempo Discreto DT (fig. in basso)

Stazionari o tempo invarianti
Con e senza memoria
Sistemi inversi
Causali
Stabili
Lineari

Sistemi stazionari o tempo invarianti

Sistema tempo invariante caso continuo
Se $\forall\text{ input}~ x(t )\text{ ed ogni} ~t_0 \in ad~\mathbb{R}$ si ha

y(t)=S[x(t)] ed y(t- t₀ ) = S [x(t- t₀ )]

Ogni shift t₀dell’input provoca uno stesso shift dell’output.

Per un sistema discreto

Dato y[n] = S[x[n]] ,e y[n-n₀]=S [x[n-n₀]]

Ogni shift n₀ dell’input provoca uno stesso shift dell’output.

Se un segnale in input ad un Sistema TI è periodico, allora il segnale di uscita è anch’esso periodico.

Infatti Se x(t+T)=x(t)

e x(t) → y(t) ,

allora x(t+T) → y(t+T).

Quindi y(t) è anch’esso periodico, vale anche nel caso discreto.

Sistemi senza memoria e con memoria

Un sistema è senza memoria o memory less se la sua uscita y al tempo t o n dipende solo dall’input allo stesso tempo.

Esempi di sistemi senza memoria:

v(t)= R i(t) ,……… y(t)= cos(ωt)+t ,………. y[n]=x[n]².

È con memoria se l’uscita al tempo t o n dipende dai valori dell’input o dell’output a qualche altro tempo.

Es.:………………. y[n]= x[n] +b x[n-1]; ………………. y[n]= x[n] +b x[n-1]+ay[n-1].

Invertibili causali e stabili

Sistema invertibile: il sistema S é invertibile se esiste S^-1 : x[n]= S^-1 [y[n]]= S^-1 [S[x[n]]]

Sistema causale: un sistema per il quale la risposta ad un input per un dato tempo t₀ o n₀ dipende soltanto dai tempi precedenti ad n₀ o a t₀ , quindi solo dagli input passati.

Un sistema è stabile se la sua risposta ad ogni segnale limitato in ingresso è limitata.
Vale la condizione Bounded Input → Bounded Output (BIBO).

I Sistemi Lineari

I Sistemi Lineari (SL) sono caratterizzati dal principio di sovrapposizione.

Indichiamo con S il sistema.

siano y1[n] = S[x1[n]] …….. ed …….. y2[n]=S[x2[n].

Se vale la proprietà di additività y1[n] +y2[n]=S[ x1[n]+ x2[n] ] (generalizzabile a più addendi)

e la proprietà di omogeneità S[a x1[n]]=a S[x1[n]]=a y1[n], con a costante reale o complessa,

allora il sistema è lineare.

In breve, ad una combinazione lineare degli ingressi corrisponde una combinazione lineare delle uscite che si ottengono quando i due ingressi si presentano separatamente al sistema.

a y1[n]+b y2[n] = S[ax1[n] +bx2[n]]

Per ogni coppia di costanti arbitrarie a e b che possono anche essere complesse.

Sistemi lineari e non lineari

Molti sistemi sono non lineari, per esempio circuiti con diodi o transistor.
Spesso è possibile linearizzare dei modelli di dispositivi non lineari esaminando il comportamento per ‘piccoli segnali’ o perturbazioni nell’intorno del punto di lavoro. (Circuiti a transistor o a diodi).

È importante focalizzare l’attenzione su sistemi lineari, perché con essi si possono fare anche rappresentazioni approssimate di molti dispositivi fisici non lineari.

I sistemi lineari sono analiticamente trattabili.

Esempio di dispositivi lineari: resistori, condensatori e bobine ( R, C e L) e circuiti realizzati con tali componenti.

Ci occuperemo principalmente di sistemi lineari.

Sistemi lineari tempo invarianti

Sistema lineare tempo invariante o shift invariante LTI è un sistema lineare per il quale uno shift temporale o un ritardo nel segnale di ingresso produce uno stesso shift o ritardo nel segnale di uscita.

Questi sistemi hanno un’importante proprietà: la risposta ad un segnale sinusoidale o esponenziale del tipo tempo-armonico, cioè x[n]= e^jωn con n= 0, ±1, ±2, ±3, ±4…. laddove esista, è ancora un segnale sinusoidale con la stessa frequenza, ma fase ed ampiezza diverse.

Sistemi lineari

Per i sistemi lineari zero input uguale zero output.
Non ci può essere un output diverso da zero se l’input è zero.
Sono lineari in senso stretto, non vale y=ax+b, ma y=ax.

Particolare classe di sistemi

Sistemi Lineari Tempo Invarianti → SLTI

analisi nel dominio del tempo

Supponiamo di sapere che un Sistema è LTI, cioè lineare tempo invariante e che quando in suo input è la sequenza impulso $\delta[n]$ il suo output è la sequenza risposta all’impulso, che indichiamo con h[n]={ 2, 1 } per n=0,1.

Queste informazioni sono sufficienti per determinare la risposta a qualsiasi input.

Es.: data la sequenza input x[n]= …1, 0, 2… per n=0, 1, 2

Scomponiamo la sequenza data in tre sequenze impulsive:

X₁ = 1,0,0 … una sequenza impulso
X₂ = 0,0,0 … una sequenza nulla
X₃ = 0, 0, 2 … una sequenza impulso shiftata di 2 e scalata per 2

Allora la risposta del sistema alla prima sequenza sarà h[n],

la risposta del sistema alla seconda sarà la sequenza zero,

e la risposta del sistema alla terza sarà la sequenza 2*h[n-2].

Per ottenere la risposta alla sequenza x[n] dobbiamo solo sommare le risposte alle singole sequenze, come mostrato graficamente nella slide successiva.

Sistemi Lineari Tempo Invarianti → SLTI

x[n]=x₁[n]+x₂[n]+x₃[n] out[n]=out₁[n]+out₂[n]+out₃[n]

Sistemi Lineari Tempo Invarianti → convoluzione

Un sistema lineare e tempo invariante gode di entrambe le proprietà: linearità ed invarianza temporale ed è identificato come sistema LTI.

Nel dominio del tempo il comportamento del sistema è espresso dalla risposta h(t) o h[n] che si ottiene semplicemente come uscita del sistema ad un impulso unitario. La risposta all’impulso caratterizza completamente il sistema LTI.

Verifichiamo
Dato un sistema lineare S, se h_k[n] la risposta del sistema S a δ[n-k], un impulso che è localizzato al tempo n=k, allora $y[n]=S\left\{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]\right\}$

Per il principio di sovrapposizione si può scrivere $y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]S\left\{ \delta[n-k]\right\} =\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h_{k}[n-k]$ .
Se vale solo la linearità dipenderà da n e da k, in tal caso il calcolo della risposta potrà essere oneroso. Nel caso in cui imponiamo per il sistema S anche la condizione di invarianza temporale allora h[n] sarà la risposta a $$\delta[n]$ e $h[n-k] $$ sarà la risposta a $\delta[n-k]$ e la risposta all’input x[k] diventa $y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]$ quest’ultima è detta somma di convoluzione ed è indicata con $y[n]=x[n]\star h[n]$

L’espressione della somma di convoluzione ci dice che il campione della sequenza input per n=k è rappresentato da $x[k]\delta[n-k]$
viene trasformato dal sistema S in una sequenza di uscita $x[k]h[n-k]$ con $-\infty<n<\infty$ e che per ogni k queste sequenze sono sommate.

La convoluzione nel tempo discreto, oltre alla sua importanza teorica, ha un ruolo anche come esplicita realizzazione di un sistema LTI.

Proprietà dei Sistemi LTI

Ogni sistema LTI è descritto dalla somma di convoluzione, di conseguenza le proprietà dei sistemi LTI sono legate alle proprietà della somma di convoluzione.
La convoluzione gode della proprietà associativa:
$h_{0}[n]\star(h_{1}[n]\star h_{2}[n])=(h_{0}[n]\star h_{1}[n])\star h_{2}[n]$

La convoluzione è commutativa:
$y[n]=x[n]\star h[n]=h[n]\star x[n]$ verificabile attraverso la scrittura della forma esplicita

$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]$

e ponendo m= n-k .

Questo vuol dire che la risposta all’impulso h[n] e l’input x[n] sono interscambiabili.

La convoluzione gode della proprietà distributiva:
$y[n]=x[n]\star(h_{1}[n]+h_{2}[n])=x[n]\star h_{1}[n]+x[n]\star h_{2}[n]$

Come conseguenza delle proprietà commutativa ed associativa segue la connessione in serie dei sistemi.
Come conseguenza della proprietà distributiva, segue la connessione in parallelo dei sistemi LTI.

Combinazione di sistemi LTI in serie e parallelo e relativi sistemi equivalenti

Caso tempo discreto

Risposta all’impulso di alcuni sistemi, indicata come sequenza h[n]

Per il sistema ritardo ideale

$h[n]=\delta[n-n_{d}]$ ~~~~~~~ $-\infty<n<\infty$

Media corrente o Moving average

$h[n]=\frac{1}{M_{1}+M_{2}+1}\underset{k=-M_{1}}{\sum^{M_{2}}}\delta[n-k]$

Accumulatore

$h[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}\delta[k]=\begin{cases}1, & n\geq0,\\0, & n<0\end{cases}~~~=u[n]$

Differenza in avanti o forward difference

$h[n]=\delta[n+1]-\delta[n]$ .

Differenza all’indietro o backward difference

$h[n]= \delta[n]-\delta[n-1]$

Sistemi equivalenti

Ancora un esempio

La serie dei due sistemi in figura equivale al sistema identità con h[n]= δ[n]

Accumulatore

$h[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}\delta[k]$

Il sistema inverso dell’accumulatore è il sistema differenze all’indietro con la seguente h[n].
$h[n]=\delta[n]-\delta[n-1]$

Se un sistema lineare LTI ha risposta all’impulso h[n], allora il suo sistema inverso h_i[n], se esiste, è definito da:
$h[n]\star h_i[n]=h_i[n]\star h[n]=\delta[n]$

Esempio

Circuito rc
- In generale un sistema nel dominio del tempo è caratterizzato dalla risposta all’impulso o al gradino.
Caso tempo continuo
- Caratterizzato dalla risposta ad un impulso rettangolare costruito con un doppio gradino.
- Esempio di un sistema lineare, realizzato in Pspice (Pspice student version).
- Per questo circuito o per altri realizzati con elementi lineari come resistenze capacità ed induttanze, è possibile verificare la linearità e l’invarianza temporale.