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Immacolata Ortosecco » 13.Trasformata di F. dipendente dal tempo - time dependent Fourie transform TDFT


Cenni sulla Trasformata di F. Dipendente dal Tempo

Time Dependent Fourier Transform (TDFT). Nelle analisi di segnali, viste fino a questo punto, ci siamo occupati di segnali dal contenuto in frequenza costante per tutta la durata del segnale, cioè di segnali stazionari. Nella pratica, le proprietà dei segnali come ampiezze frequenze e fasi, possono cambiare nel tempo. Esempi di segnali non stazionari sono i segnali vocali, musicali, sonar e radar etc.. Per questi segnali, l’analisi con una singola DFT, fornisce informazione globale sul contenuto in frequenza, ma non chiarisce la sua evoluzione nel tempo.

TDFT

Per ottenere l’informazione, su quando si sono presentate le varie frequenze, è sta introdotta la TDFT detta anche Short Time Fourier Transform.
La TDFT di un segnale x[n] è definita come

$X[n,lambda)=sum_{m=-infty}^{infty}x[n+m]w[m]e^{-jlambda m}$

dove w[n] è una sequenza finestra.

La definizione trasforma una sequenza monodimensionale in una funzione bidimensionale, della variabile discreta n e della variabile continua $lambda$.

La TDFT è periodica in $lambda$. Con periodo $2pi$ , quindi basta considerare solamente i valori in un intervallo di ampiezza $2pi$.

LaTDFT si può intendere come la trasformata di Fourier di un segnale shiftato x[n+m] visto attraverso la finestra w[n].

L’origine della finestra è fissa ed il segnale scivola davanti alla finestra. In questo modo vengono analizzate, per ogni n, parti differenti del segnale.

Analisi del segnale chirp y[n]


La TDFT in Matlab

Nel calcolo della TDFT, tutte le DFT dei segmenti di segnale finestrato vengono collezionate in una matrice che viene visualizzata come immagine, con le opportune scale, per offrire una visualizzazione tempo-frequenza del segnale.
Il comando matlab per la TDFT è spectrogram. Vedi l’help e doc su spectrogram in signal processing toolbox.

Lo spettrogrammo mostrato al lato è quello del segnale y[n], chirp lineare di durata 2 secondi.


Un esempio: segnali a confronto nel dominio del tempo

Il segnale in esame contiene due componenti in frequenza. Le due componenti, in un caso, sono presenti per tutta la durata del segnale, nell’altro sono presenti in modo sequenziale. Per metà della durata è presente la prima frequenza e per l’altra metà la seconda.


Esempio

Dal grafico della DFT del segnale ytdftseq non si evidenzia il succedersi delle frequenze componenti. I due grafici, quello per le frequenze sommate e quello per le frequenze in sequenza risultano identici. Nella slide successiva vedremo come la TDFT risolve il problema.

ytdft1=cos(2*pi*100*(1/1000:1/1000:2)); ytdft2=cos(2*pi*300*(1/1000:1/1000:2));
ytdftsomma=ytdft1+ytdft2; ytdftseq=[ytdft1 ytdft2];

ytdft1=cos(2*pi*100*(1/1000:1/1000:2)); ytdft2=cos(2*pi*300*(1/1000:1/1000:2)); ytdftsomma=ytdft1+ytdft2; ytdftseq=[ytdft1 ytdft2];


Analisi dei segnali ytdft1 ytdft2 con la TDFT


TDFT e principio di indeterminazione

Il principio di indeterminazione ben noto in meccanica quantistica, non si applica soltanto alla posizione e alla quantità di moto, ma a qualsiasi coppia di variabili coniugate. Esso venne formulato da Werner Heisenberg nel 1927.

Nel caso delle variabili coniugate tempo e frequenza, come accennato in precedenza una localizzazione temporale, con finestra stretta, porta ad una indeterminazione nella valutazione delle frequenze.
Questo si ricollega al problema della dualità tempo-frequenza.
Abbiamo osservato, precedentemente, che se un segnale ha una durata limitata nel tempo allora la sua occupazione in frequenza sarà infinita e viceversa.

Queste analisi con finestre temporali strette o larghe dette, rispettivamente a banda larga e a banda stretta, in frequenza, sono alla base delle analisi dei segnali vocali.
Per questi ultimi si parla di analisi per evidenziare le ‘formanti’ o il ‘pitch’, a seconda delle finestre applicate.

Finestra di 128 punti su un file audio 2secondi.wav


Finestra di 128 punti su un file audio 2secondi.wav (segue)


I materiali di supporto della lezione

Oppenheim, Schafer, Buck -Discrete Time Signal Processing - cap 8 pp 589-600.

Matworks: Matlab and Signal Processing tool-box.

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