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Immacolata Ortosecco » 8.Trasformata di Fourier


Trasformata di Fourier

Definiamo la trasformata di Fourier della funzione f(x) come:  F(k)=int_{-infty&#125^{infty&#125f(x)e^{-jkx&#125dx ,

Questa definizione ha varianti relativamente ad un fattore moltiplicativo dell’integrale:  1/√2π o 1/2π ed al segno dell’esponenziale.

Ricordiamo ancora  la relazione di Eulero $e^{-jkx&#125=cos(kx)-jsin(kx)$

Variabili coniugate

Le variabili k ed x sono dette variabili coniugate. Possono essere, come nella maggior parte dei casi, x il tempo e k la pulsazione ω.

se t è misurato in secondi t → s

allora ω è misurato in rad s-1     ω→2π/s.

Oppure, se x descrive una posizione spaziale, come la lunghezza d’onda λ, k è il numero d’onda ed ha unità che sono il reciproco di x,

k = 2π/λ.

Se x viene misurato in metri x → m

k ha le dimensioni di m-1     k→ 2π/m

Le variabili coniugate sono anche dette variabili reciproche.

Derivazione delle formule di analisi e di sintesi della trasformata di F.

L’idea di base è quella di applicare ancora il concetto della serie ad una funzione aperiodica opportunamente modificata. Le funzioni del tempo, che prendiamo in esame, sono continue ed aperiodiche. La loro trasformata è continua ed aperiodica.

La simbologia: x(t) per il dominio del tempo e  X(jω) per quello della frequenza.

Derivazione delle formule di analisi e di sintesi della trasformata di F. (segue)

Per ottenere la trasformata di Fourier a tempo continuo (Continuous Time Fourier Transform – CTFT) partiamo da x(t) segnale aperiodico e costruiamo il segnale periodico xp(t) come in figura.


Derivazione delle formule di analisi e di sintesi della trasformata di F. (segue)

x(t) viene visto come un periodo del segnale xp(t) e i due segnali coincidono per T→∞

Per il segnale periodico le componenti armoniche sono spaziate di Δω= 2π/T.

Per T → ∞ Δω → 0 e le componenti armoniche sono sempre più vicine. Dalla serie passiamo ad un integrale.

$xp(t)=sum_{-infty&#125^{infty&#125a_{k&#125e^{jkomega_{0&#125t&#125$

$a_{k&#125=frac{1&#125{T&#125int_{-frac{T&#125{2&#125&#125^{frac{T&#125{2&#125&#125xp(t)e^{-jkomega_{0&#125t&#125dt$

e per T → ∞

$=frac{1&#125{T&#125int_{-infty&#125^{infty&#125xp(t)e^{-jkomega_{0&#125t&#125dt$

Definiamo $T a_{k&#125$ come $X(jomega)=int_{-infty&#125^{infty&#125x(t)e^{-jomega t&#125dt$.

Seguono le formule di analisi e di sintesi.

Formule di analisi e di sintesi

Analisi

X(jomega)=int_{-infty&#125^{infty&#125x(t)e^{-jomega t&#125dt

Sintesi

x(t)=frac 1{2pi&#125int_{-infty&#125^{infty&#125X(jomega)e^{jomega t&#125domega

Per quali tipologie di segnali è adatta?

Segnali di durata infinita, ma con energia finita.

\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)^2|dt < \infty

Devono essere soddisfatte anche le condizioni di Dirichlet.

Impulso unitario e sua trasformata

Dato l’impulso

x(t)=delta(t)

X(jomega)=int_{-infty&#125^{infty&#125delta(t)e^{-jomega t&#125dt=1

Dalla formula di sintesi ricaviamo:

delta (t)=frac 1 {2pi&#125 int_{-infty&#125^{infty&#125e^{jomega t&#125domega

Se x(t)è un impulso shiftato, allora

X(jomega)=int_{-infty&#125^{infty&#125delta(t-t_0)e^{-jomega t&#125dt=e^{-jomega t_0&#125

Funzione esponenziale e sua trasformata

image

X(jomega)=int_{-infty&#125^{infty&#125x(t)e^{-jomega t&#125dt=int_{0&#125^{infty&#125e^{-at&#125e^{-jomega t&#125dt=

$ =-(frac{1&#125{a+jomega&#125)e^{-(a+jomega)t&#125|_{0&#125^{infty&#125=frac{1&#125{a+jomega&#125$

FT a tempo continuo di segnali periodici

Consideriamo

$X(jomega)=delta(omega-omega_{0&#125)$ e la sua corrispondente funzione del tempo continuo x(t)

$x(t)=frac{1&#125{2pi&#125int_{-infty&#125^{infty&#125delta(omega-omega_{0&#125)e^{jomega t&#125domega=frac{1&#125{2pi&#125e^{jomega_{0&#125t&#125$

da cui   e^{j\omega_{0}t}\rightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_{0})

e generalizzando

$x(t)=sum_{k=-infty&#125^{infty&#125a_{k&#125e^{jkomega_{0&#125t&#125leftrightarrow X(jomega)=sum_{k=-infty&#125^{infty&#1252pi a_{k&#125delta(omega-komega_{0&#125)$.

Trasformata di F. per segnali periodici

Partiamo dal dominio della frequenza, dalla trasformata X(jomega)=delta (omega -omega_0),  ricaviamo il corrispondente segnale nel dominio del tempo x(t)=frac 1 {2pi&#125int_{-infty&#125^{infty&#125delta (omega-omega_0)e^{jomega t&#125domega =frac 1 {2pi&#125e^{jomega_0 t&#125 .

Che è periodico in t con frequenza ω0.

Allora ad ogni esponenziale complesso $e^{j\omega_{0}t}$ corrisponde un impulso di ampiezza 2π in $^{\omega=\omega_{0}}$

e^{jomega t&#125leftrightarrow 2pi delta (omega -omega_0)

Quindi, un segnale periodico combinazione lineare di esponenziali complessi di ampiezza ak e con frequenza fondamentale ω0 ha una trasformata che è una combinazione lineare di impulsi di ampiezza 2π ak, posizionati a kω0,  con k variabile da -∞ a ∞.

x(t)=sum_{k=-infty&#125^{infty&#125a_k e^{jkomega_0 t&#125leftrightarrow X(jomega)=sum_{k=-infty&#125^{infty&#1252pi a_k delta (omega-omega_0)

 

Treno di impulsi nel tempo continuo, periodico con periodo T

x(t)=sum_{n=-infty&#125^{infty&#125delta (t-nT)

 

La trasformata è:

X(jomega)=sum_{n=-infty&#125^{infty&#125frac{2pi&#125Tdelta (omega -frac {k2pi&#125T)

Proprietà della CTFT

Linearità

ax(t)+by(t)leftrightarrow aX(jomega)+bY(jomega)

Time shift

x(t-t_0)leftrightarrow e^{-jomega t_0&#125X(jomega)=int_{-infty&#125^{infty&#125x(t-t_0)e^{jomega t&#125dt

Posto

t-t_0=tau=e^{-jomega t_0&#125int_{-infty&#125^{infty&#125x(tau)e^{-jomega tau&#125dtau

La trasformata viene moltiplicata per un esponenziale complesso.

Il modulo della trasformata rimane inalterato e la fase diventa

\angle(e^{-j\omega_{0}t}X(j\omega))=\angle X(j\omega)-\omega t_{0}

Proprietà della CTFT (segue)

Proprietà di simmetria coniugata

x(t) reale ↔ X (-) = X* () .

Se x(t) è reale, la sua trasformata è coniugata simmetrica.

Proprietà della CTFT (segue)


Proprietà della derivata

Differenziare un segnale comporta la moltiplicazione della sua trasformata per j

frac d{dt&#125x(t)leftrightarrow jomega X(jomega)

Tipologie di segnali e tipologia di analisi in frequenza


I materiali di supporto della lezione

Oppenheim e Willsky - Sygnals & Systems - cap 4.

Trasformata di Fourier

wolfram mathematica

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