Immacolata Ortosecco » 8.Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier

Definiamo la trasformata di Fourier della funzione f(x) come:  ,

Questa definizione ha varianti relativamente ad un fattore moltiplicativo dell’integrale:  1/√2π o 1/2π ed al segno dell’esponenziale.

Ricordiamo ancora  la relazione di Eulero

Variabili coniugate

Le variabili k ed x sono dette variabili coniugate. Possono essere, come nella maggior parte dei casi, x il tempo e k la pulsazione ω.

se t è misurato in secondi t → s

allora ω è misurato in rad s^-1     ω→2π/s.

Oppure, se x descrive una posizione spaziale, come la lunghezza d’onda λ, k è il numero d’onda ed ha unità che sono il reciproco di x,

k = 2π/λ.

Se x viene misurato in metri x → m

k ha le dimensioni di m^-1     k→ 2π/m

Le variabili coniugate sono anche dette variabili reciproche.

Derivazione delle formule di analisi e di sintesi della trasformata di F.

L’idea di base è quella di applicare ancora il concetto della serie ad una funzione aperiodica opportunamente modificata. Le funzioni del tempo, che prendiamo in esame, sono continue ed aperiodiche. La loro trasformata è continua ed aperiodica.

La simbologia: x(t) per il dominio del tempo e  X(jω) per quello della frequenza.

Derivazione delle formule di analisi e di sintesi della trasformata di F. (segue)

x(t) viene visto come un periodo del segnale xp(t) e i due segnali coincidono per T→∞

Per il segnale periodico le componenti armoniche sono spaziate di Δω= 2π/T.

Per T → ∞ Δω → 0 e le componenti armoniche sono sempre più vicine. Dalla serie passiamo ad un integrale.

e per T → ∞

Definiamo  come .

Seguono le formule di analisi e di sintesi.

Formule di analisi e di sintesi

Analisi

Sintesi

Per quali tipologie di segnali è adatta?

Segnali di durata infinita, ma con energia finita.

Devono essere soddisfatte anche le condizioni di Dirichlet.

Impulso unitario e sua trasformata

Dato l’impulso

Dalla formula di sintesi ricaviamo:

Se x(t)è un impulso shiftato, allora

Funzione esponenziale e sua trasformata

FT a tempo continuo di segnali periodici

Consideriamo

e la sua corrispondente funzione del tempo continuo x(t)

da cui  

e generalizzando

.

Trasformata di F. per segnali periodici

Partiamo dal dominio della frequenza, dalla trasformata ,  ricaviamo il corrispondente segnale nel dominio del tempo .

Che è periodico in t con frequenza ω₀.

Allora ad ogni esponenziale complesso corrisponde un impulso di ampiezza 2π in

Quindi, un segnale periodico combinazione lineare di esponenziali complessi di ampiezza a_k e con frequenza fondamentale ω₀ ha una trasformata che è una combinazione lineare di impulsi di ampiezza 2π a_k, posizionati a kω₀,  con k variabile da -∞ a ∞.

Treno di impulsi nel tempo continuo, periodico con periodo T

La trasformata è:

Proprietà della CTFT

Linearità

Time shift

Posto

La trasformata viene moltiplicata per un esponenziale complesso.

Il modulo della trasformata rimane inalterato e la fase diventa

Proprietà della CTFT (segue)

Proprietà di simmetria coniugata

x(t) reale ↔ X (-jω) = X* (jω) .

Se x(t) è reale, la sua trasformata è coniugata simmetrica.

Proprietà della CTFT (segue)

Proprietà della derivata

Differenziare un segnale comporta la moltiplicazione della sua trasformata per j

Tipologie di segnali e tipologia di analisi in frequenza