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Immacolata Ortosecco » 9.Trasformata di Fourier a tempo discreto


Sommario

  • Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)
  • Proprietà ed esempi della DTFT
  • Modulo e fase della trasformata e risposta in frequenza

DTFT Rappresentazione di sequenze mediante trasformata di Fourier

La tipologia di sequenze cui è applicata la DTFT è quelle delle sequenze discrete aperiodiche. La DTFT è una funzione continua e periodica della frequenza, con periodo 2π.

Data x[n] , la sua DTFT è

X(e^{jomega&#125)=sum_{n=-infty&#125^{infty&#125x[n]e^{-jomega n&#125

Molte sequenze possono essere rappresentate dall’integrale di Fourier. Quest’ultima è la formula inversa della DTFT

x[n]=frac 1 {2pi&#125int_{-pi&#125^{pi&#125X(e^{jomega&#125)e^{jomega n&#125domega

Queste due equazioni insieme formano una rappresentazione di Fourier.

DTFT caratteristiche

La DTFT è una funzione complessa. Nel DSP essa viene rappresentata preferibilmente in modulo e fase. La trasformata di Fourier è talvolta chiamata spettro del segnale. |H (e)| viene definito spettro di ampiezza e ∠H (ejω) fase o spettro di fase.

La fase non è univocamente specificata, infatti si può aggiungere ad ogni ω un qualsiasi multiplo intero di 2π senza influenzare il valore dell’esponenziale complesso.

Con ARG[X(e)] si intende la fase nell’intervallo da –π a π.

Convergenza della DTFT: una condizione sufficiente

X(e^{jomega&#125)=sum_{n=-infty&#125^{infty&#125x[n]e^{-jomega n&#125

La DTFT di una sequenza x[n] converge se la sequenza è assolutamente sommabile oppure se è a energia finita. Contrariamente all’integrale finito nella formula di sintesi che converge sempre.

DTFT proprietà

Anche per la DTFT ci sono le stesse proprietà delle altre rappresentazioni di F. Ricordiamo le principali:

  • Linearità
  • Time shift
  • Frequency shift
  • Moltiplicazione
  • Convoluzione

Proprietà della moltiplicazione per la DTFT

Moltiplicazione nel dominio del tempo corrisponde a convoluzione circolare nel dominio delle frequenze

z[n]=x[n]cdot y[n]rightarrow Z(e^{jomega&#125)=frac 1{2pi&#125int_{2pi&#125X(e^{jomega&#125)Y(e^{j(omega-theta)&#125)dtheta=frac 1{2pi&#125X(e^{jomega&#125)otimes Y(e^{jomega&#125)

Quest’ultima espressione viene indicata come convoluzione periodica o circolare

Proprietà della moltiplicazione (segue)

z[n]=x[n]y[n]\rightarrow Z(e^{j\omega})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})Y(e^{j(\omega-\theta)})d\theta=\frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\otimes Y(e^{j\omega})

calcolando la trasformata del prodotto si trova proprio la convoluzione delle trasformate di x[n] ed y[n]

Z(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]y[n]e^{-j\omega n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\theta})e^{j\theta n}d\theta)y[n]e^{-j\omega n}==\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\theta})\sum_{n=-\infty}^{\infty}y[n]e^{j(\omega-\theta)n}d\theta=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\theta})Y^{j(\omega-\theta)}d\theta

Torneremo più avanti sulla convoluzione circolare per alcuni dettagli.

Calcolo della convoluzione periodica


Esempio grafico per il calcolo di convoluzione circolare


Sistemi LTI e rappresentazione di Fourier

Osservando l’equazione di analisi si può dire che se la sequenza x[n] è la sequenza risposta all’impulso  di un sistema LTI, allora la risposta in frequenza è la trasformata di Fourier della risposta all’impulso.

Di conseguenza la risposta all’impulso di un sistema LTI si può ottenere dalla risposta in frequenza applicando la trasformata di Fourier integrale inversa.

h[n]=frac 1 {2pi&#125int_{-pi&#125^{pi&#125H(e^{jomega&#125)e^{jomega n&#125domega

Ancora sui sistemi LTI

Sistema LTI descritto da equazione alle differenze: $sum_{k=0&#125^{N&#125a_{k&#125y[n-k]=sum_{m=0&#125^{M&#125b_{m&#125x[n-m].

Valutiamo la TdF dell’equazione.

Applicando la proprietà del time shift abbiamo:

$y[n-k]Longleftrightarrow e^{-jomega k&#125Y(e^{jomega&#125)$                        $x[n-k]Longleftrightarrow e^{-jomega k&#125X(e^{jomega&#125)$

quindi

$sum_{k=0&#125^{N&#125a_{k&#125y[n-k]=sum_{m=0&#125^{M&#125b_{m&#125x[n-m]$           $sum_{k=0&#125^{N&#125a_{k&#125e^{-jkomega&#125Y(e^{jomega&#125)=sum_{m=0&#125^{M&#125b_{m&#125e^{-jmomega&#125X(e^{jomega&#125)$

$Y(e^{jomega&#125)=frac{sum_{m=0&#125^{M&#125b_{m&#125e^{-jmomega&#125&#125{sum_{k=0&#125^{N&#125a_{k&#125e^{-jkomega&#125&#125X(e^{jomega&#125)$

Il rapporto delle due polinomiali in $e^{-jk\omega}$ è una funzione razionale. Esso viene definito funzione di trasferimento del sistema e si indica con $H(e^{jomega&#125)$ , consente di trovare la risposta ad un input x[n] se è nota la sua trasformata $X(e^{jomega&#125)$ .

Infatti passando alla trasformata inversa di $Y(e^{jomega&#125)$  si ottiene y[n].

Esempio

Segue un’applicazione ad una semplicissima equazione alle differenze,che descrive un sistema LTI ricorsivo del 1° ordine, già incontrata precedentemente.

y [n] – a y[n-1]= x[n]

dove  |a|< 1  y[-1]= 0  (condizione di ‘initial rest’).

Il sistema è causale.

$H(e^{jomega&#125)=frac{Y(e^{jomega&#125)&#125{X(e^{jomega&#125&#125=frac{1&#125{(1-ae^{jomega&#125)&#125$

Con la trasformata inversa otteniamo h[n] =anu[n].

Tipologie di segnali e tipologia di analisi in frequenza

Analisi di Fourier.

Analisi di Fourier.


I materiali di supporto della lezione

Oppenheim & Willsky- Signals & Systems- cap.5

Oppenheim Schafer Buck Discrete Time Signal Processing- cap 2

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