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Immacolata Ortosecco » 15.Trasformata z - Tz2


Sommario

  • z-transform

x[n]\Longrightarrow X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}

  • z-transform inversa (i z-transform)

X(z)\Longrightarrow x[n]

Trasformata z inversa: iX(z)

E’ possibile trovare la trasformata z inversa iX(z) di una data z-transform e risalire quindi alla sequenza che l’ha prodotta.

Questo si può fare mediante:

  1. Metodo di ispezione;
  2. Espansione in frazioni parziali;
  3. Divisione di polinomi;
  4. Integrale di inversione.

iz_transform per ispezione

Consiste semplicemente nel riconoscere certe coppie di trasformate.
Es.: x[n]= an u[n] con a reale o complesso ha la seguente z-transform.

a^{n}u[n]\longleftrightarrow\frac{1}{1-az^{-1}}, ROC:|z|>|a|

Se dobbiamo trovare la iX(z) di

X(z)=\left(\frac{1}{1-.5z^{-1}}\right)\begin{array}{c} ROC:|z|>.5\end{array}

Riconosciamo per ispezione la sequenza che l’ha prodotta come .5n u[n].

In maniera analoga per altre coppie sequenza- trasformata elencate in tabella.

 

Alcune sequenze a tempo discreto e loro z-transform

\begin{array}{ccc} x[n] & X(z) & ROC\\ \delta[n] & 1 & tutto-il-piano-z\\ \delta[n-k] & z^{-k} & tutto-il-piano-z-escluso-zero\\ a^{n}u[n] & \frac{z}{z-a} & |z|>a\\ u[n] & \frac{z}{z-1} & |z|>1\\ \end{array}

\begin{array}{cc} u[n]-u[n-k] & \frac{z^{k}-1}{z^{k-1}(z-1)}\\ nu[n] & \frac{z}{(z-1)^{2}}\\ n^{2}u[n] & \frac{z(z+1)}{(z-1)3}\\{} [n+1]u[n] & \frac{z^{2}}{(z-1)2}\\ a^{n}nu[n] & \frac{az}{(z-a)^{2}}\\ a^{n}n^{2}u[n] & \frac{az(z+a)}{(z-a)^{3}}\\ a^{n}n[n+1]u[n] & \frac{2az^{2}}{(z-a)^{3}}\end{array}

Sviluppo in frazioni parziali

Consiste nell’espandere la X(z) in una somma di termini per i quali è nota la trasformata inversa.
Sia

X(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{\sum_{_{k=0}}^{N}a_{k}z^{-k}}

I termini della somma sono allora :

\begin{array}{ccccc} k, & \frac{r_{1}z}{z-p_{1}}, & \frac{r_{2}z}{(z-p_{1})^{2}}, & \frac{r_{3}z}{z-p_{2}}, & ...\end{array}

Dove k è una costante, ri sono i residui e pi sono i poli.

 

Un esempio di sviluppo di X(z) frazioni parziali

Data la z-transform
X(z)=\frac{1}{(1-.4z^{-1})(1-z^{-1})(1-.3z^{-1})}

vediamo come trovare le frazioni parziali di X(z).

In questo caso il denominatore della frazione X(z) è stato espresso come prodotto dei tre fattori espressi in parentesi e non ci sono radici multiple nel denominatore della X(z).

1.Eliminiamo le potenze negative di z, moltiplicando per z3 numeratore e denominatore di X(z) nell’esempio .

2. Osserviamo se la z-transform X(z) è una frazione in forma propria.

2. Abbassiamo il grado della frazione considerando X(z)/z

3. Troviamo i residui r1, r2, r3 …come:

 r_{k}=\underset{z\rightarrow p_{k}}{lim}(z-p_{k})\frac{X(z)}{z}=(z-p_{k})\frac{X(z)}{z}|_{z=p_{k}}

4. Esprimiamo

\frac{X(z)}{z}=\frac{k}{z}+\frac{r_{1}}{z-p_{1}}+\frac{r_{2}}{z-p_{2}}+...

Esempio (segue)

Otteniamo così per X(z)

X(z)=k+\frac{r_{1}z}{z-p_{1}}+\frac{r_{2}z}{z-p_{2}}+...

Calcolo dei residui per l’esempio (segue)

\frac{X(z)}{z}=\frac{z^{2}}{(z-.4)(z-1)(z-.3)}=\frac{r_{1}}{z-.4}+\frac{r_{2}}{z-1}+\frac{r_{3}}{z-.3}

i residui sono:

r_{1}=\frac{z^{2}}{(z-1)(z-.3)}|_{z=.4}=\frac{.4^{2}}{(.4-1)(.4-.3)}=-2.66

r_{2}=\frac{z^{2}}{(z-.4)(z-.3)}|_{z=1}=\frac{1}{(1-.4)(1-.3)}=2.38

r_{3}=\frac{z^{2}}{(z-.4)(z-1)}|_{z=.3}=\frac{.3^{2}}{(.3-.4)(.3-.1)}=1.28

segue allora

X(z)=\frac{-2.66z}{z-.4}+\frac{2.38z}{z-1}-\frac{1.28z}{z-.3}

da cui la sequenza del dominio del tempo

x[n]=-2.66(.4)^{n}u[n]+2.38u[n]+1.28(.3)^{n}u[n]

Calcolo dei residui con Matlab

Occorre scivere il numeratore ed il denominatore di X(z)/z come polinomi in z. In questo caso il polinomio a numeratore è diventato di secondo grado grado: z2,mentre quello a denominatore è:z^{3}-1.7z^{2}+.82z-.12

Il passo successivo consiste nel memorizzare nei vettori num e den i coefficienti delle potenze di z del numeratore e del denominatore a partire dalla potenza più alta.Nel caso dell’esempio num=[0 1 0 0 ], den =[1 -1.7 .82 -.12] poi calcolare i residui, i poli ed eventualmente la parte intera della frazione se non è propria. Nel nostro caso è k=[ ]. Residui e poli vengono memorizzati nei vettori r e p.

[r,p,k]=residue(num,den);

il risultato è:
r = 2.3810 -2.666 1.2857
>> p
p = 1.000 0.4000 0.3000
>> k
k = [ ]

 

Altro esempio

H(z)=\frac{12z}{z^{3}-z^{2}-z+1}

H(z)=\frac{12z}{(z+1)(z-1)^{2}}

num=[12 0];
>> den=[1 -1 -1 1];
>> [a,b,k]=residue(num,den)
a =
3.0000 6.0000 -3.0000
b = 1.0000 1.0000 -1.0000
Per il polo con molteplicità due, r3 si trova come la derivata di 12/(z+1) calcolata per z=1 da cui -3.
r_{3}=\frac{d}{dz}(\frac{12}{z+1})|_{z=1}

 

Trasformata z inversa per divisione di polinomi

Data X(z) della sequenza x[n]
X(z)=\frac{z^{3}+z^{2}+2z+1}{z^{3}+z+1}
Occorre procedere alla divisione dei polinomi num/den
Si può trovare un quoziente e da questo risalire ai campioni della sequenza che rappresenta la trasformata z.
I primi tre termini della divisione sono: 1+ z-1+z-2
La divisione potrebbe essere senza fine.
Inoltre per poter fare la divisione si richiede che la X(z) sia una funzione razionale.
Utile quando la X(z) inversa non ha forma chiusa.

Divisione dei polinomi dell’esempio.

Divisione dei polinomi dell'esempio.


L’integrale di inversione

Richiede familiarità con il teorema dei residui (Cauchy).

Può essere usato quando la X(z) non è una funzione razionale.

 

I materiali di supporto della lezione

Oppenheim Schafer Buck - Cap.3

Manuale Matlab e Signal Processing toolbox

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