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Immacolata Ortosecco » 15.Trasformata z - Tz2

Sommario

z-transform

$x[n]\Longrightarrow X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$

z-transform inversa (i z-transform)

$X(z)\Longrightarrow x[n]$

Trasformata z inversa: iX(z)

E’ possibile trovare la trasformata z inversa iX(z) di una data z-transform e risalire quindi alla sequenza che l’ha prodotta.

Questo si può fare mediante:

Metodo di ispezione;
Espansione in frazioni parziali;
Divisione di polinomi;
Integrale di inversione.

iz_transform per ispezione

Consiste semplicemente nel riconoscere certe coppie di trasformate.
Es.: x[n]= aⁿ u[n] con a reale o complesso ha la seguente z-transform.

$a^{n}u[n]\longleftrightarrow\frac{1}{1-az^{-1}}, ROC:|z|>|a|$

Se dobbiamo trovare la iX(z) di

$X(z)=\left(\frac{1}{1-.5z^{-1}}\right)\begin{array}{c} ROC:|z|>.5\end{array}$

Riconosciamo per ispezione la sequenza che l’ha prodotta come .5ⁿ u[n].

In maniera analoga per altre coppie sequenza- trasformata elencate in tabella.

Alcune sequenze a tempo discreto e loro z-transform

$\begin{array}{ccc} x[n] & X(z) & ROC\\ \delta[n] & 1 & tutto-il-piano-z\\ \delta[n-k] & z^{-k} & tutto-il-piano-z-escluso-zero\\ a^{n}u[n] & \frac{z}{z-a} & |z|>a\\ u[n] & \frac{z}{z-1} & |z|>1\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc} u[n]-u[n-k] & \frac{z^{k}-1}{z^{k-1}(z-1)}\\ nu[n] & \frac{z}{(z-1)^{2}}\\ n^{2}u[n] & \frac{z(z+1)}{(z-1)3}\\{} [n+1]u[n] & \frac{z^{2}}{(z-1)2}\\ a^{n}nu[n] & \frac{az}{(z-a)^{2}}\\ a^{n}n^{2}u[n] & \frac{az(z+a)}{(z-a)^{3}}\\ a^{n}n[n+1]u[n] & \frac{2az^{2}}{(z-a)^{3}}\end{array}$

Sviluppo in frazioni parziali

Consiste nell’espandere la X(z) in una somma di termini per i quali è nota la trasformata inversa.
Sia

$X(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{\sum_{_{k=0}}^{N}a_{k}z^{-k}}$

I termini della somma sono allora :

$\begin{array}{ccccc} k, & \frac{r_{1}z}{z-p_{1}}, & \frac{r_{2}z}{(z-p_{1})^{2}}, & \frac{r_{3}z}{z-p_{2}}, & ...\end{array}$

Dove k è una costante, ri sono i residui e pi sono i poli.

Un esempio di sviluppo di X(z) frazioni parziali

Data la z-transform
$X(z)=\frac{1}{(1-.4z^{-1})(1-z^{-1})(1-.3z^{-1})}$

vediamo come trovare le frazioni parziali di X(z).

In questo caso il denominatore della frazione X(z) è stato espresso come prodotto dei tre fattori espressi in parentesi e non ci sono radici multiple nel denominatore della X(z).

1.Eliminiamo le potenze negative di z, moltiplicando per z³ numeratore e denominatore di X(z) nell’esempio .

2. Osserviamo se la z-transform X(z) è una frazione in forma propria.

2. Abbassiamo il grado della frazione considerando X(z)/z

3. Troviamo i residui r₁, r_2,r₃ …come:

$r_{k}=\underset{z\rightarrow p_{k}}{lim}(z-p_{k})\frac{X(z)}{z}=(z-p_{k})\frac{X(z)}{z}|_{z=p_{k}}$

4. Esprimiamo

$\frac{X(z)}{z}=\frac{k}{z}+\frac{r_{1}}{z-p_{1}}+\frac{r_{2}}{z-p_{2}}+...$

Esempio (segue)

Otteniamo così per X(z)

$X(z)=k+\frac{r_{1}z}{z-p_{1}}+\frac{r_{2}z}{z-p_{2}}+...$

Calcolo dei residui per l’esempio (segue)

$\frac{X(z)}{z}=\frac{z^{2}}{(z-.4)(z-1)(z-.3)}=\frac{r_{1}}{z-.4}+\frac{r_{2}}{z-1}+\frac{r_{3}}{z-.3}$

i residui sono:

$r_{1}=\frac{z^{2}}{(z-1)(z-.3)}|_{z=.4}=\frac{.4^{2}}{(.4-1)(.4-.3)}=-2.66$

$r_{2}=\frac{z^{2}}{(z-.4)(z-.3)}|_{z=1}=\frac{1}{(1-.4)(1-.3)}=2.38$

$r_{3}=\frac{z^{2}}{(z-.4)(z-1)}|_{z=.3}=\frac{.3^{2}}{(.3-.4)(.3-.1)}=1.28$

segue allora

$X(z)=\frac{-2.66z}{z-.4}+\frac{2.38z}{z-1}-\frac{1.28z}{z-.3}$

da cui la sequenza del dominio del tempo

$x[n]=-2.66(.4)^{n}u[n]+2.38u[n]+1.28(.3)^{n}u[n]$

Calcolo dei residui con Matlab

Occorre scivere il numeratore ed il denominatore di X(z)/z come polinomi in z. In questo caso il polinomio a numeratore è diventato di secondo grado grado: z²,mentre quello a denominatore è: $z^{3}-1.7z^{2}+.82z-.12$

Il passo successivo consiste nel memorizzare nei vettori num e den i coefficienti delle potenze di z del numeratore e del denominatore a partire dalla potenza più alta.Nel caso dell’esempio num=[0 1 0 0 ], den =[1 -1.7 .82 -.12] poi calcolare i residui, i poli ed eventualmente la parte intera della frazione se non è propria. Nel nostro caso è k=[ ]. Residui e poli vengono memorizzati nei vettori r e p.

[r,p,k]=residue(num,den);

il risultato è:
r = 2.3810 -2.666 1.2857
>> p
p = 1.000 0.4000 0.3000
>> k
k = [ ]

Altro esempio

$H(z)=\frac{12z}{z^{3}-z^{2}-z+1}$

$H(z)=\frac{12z}{(z+1)(z-1)^{2}}$

num=[12 0];
>> den=[1 -1 -1 1];
>> [a,b,k]=residue(num,den)
a =
3.0000 6.0000 -3.0000
b = 1.0000 1.0000 -1.0000
Per il polo con molteplicità due, r3 si trova come la derivata di 12/(z+1) calcolata per z=1 da cui -3.
$r_{3}=\frac{d}{dz}(\frac{12}{z+1})|_{z=1}$

Trasformata z inversa per divisione di polinomi

Data X(z) della sequenza x[n]
$X(z)=\frac{z^{3}+z^{2}+2z+1}{z^{3}+z+1}$
Occorre procedere alla divisione dei polinomi num/den
Si può trovare un quoziente e da questo risalire ai campioni della sequenza che rappresenta la trasformata z.
I primi tre termini della divisione sono: 1+ z^-1+z^-2
La divisione potrebbe essere senza fine.
Inoltre per poter fare la divisione si richiede che la X(z) sia una funzione razionale.
Utile quando la X(z) inversa non ha forma chiusa.