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Immacolata Ortosecco » 16.Trasformata z-Tz3

Sommario

Trasformata zeta: visualizzazioni
Soluzione di equazioni alle differenze mediante z-transform

Functions di Matlab per la z-transform

Vedremo ora alcune visualizzazioni grafiche di z-transform e relative collocazioni di poli e zeri nel piano z.
Per le visualizzazioni della X(z) che è una funzione complessa di una variabile complessa, possiamo utilizzare cplxmap o mesh. Queste ultime sono functions di Matlab e vanno utilizzate dopo aver assegnato una griglia ai valori della variabile complessa. Su tale griglia viene rappresentata la funzione X(z).
Per la visualizzazione della collocazione di poli e zeri nel piano complesso utilizziamo la function zplane e qui possiamo dare come input i due vettori contenenti i valori degli zeri e dei poli, oppure i coefficienti del numeratore e del denominatore della nostra X(z) razionale.
Vedi l’Help di matlab per ulteriori dettagli.

z-transform (visualizzazioni)

colormap(hsv(64))
z = cplxgrid(30);
cplxmap(z,abs(z.^-1))
title(‘X(z)=|z.^-1|')

colormap(hsv(64))
z = cplxgrid(30);
cplxmap(z,abs(2./(1-.5*z.^-2)))
title(‘X(z)=2./(1-.5*z.^-2)')

Diagramma poli zeri

Diagramma poli zeri della funzione H(z) realizzato con zplane.

Visualizzazioni nel dominio z.

Esercizio per visualizzazioni

Ricordiamo la X(z)
$X(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{\sum_{_{k=0}}^{N}a_{k}z^{-k}}$

Esercizio: visualizzare le seguenti X(z) e fornire la regione di convergenza.
$X(z)=\frac{1}{z}$

$X(z)=\frac{2}{1-\frac{1}{2}z^{-2}}$

Ancora su Trasformate e sistemi LTI descritti da equazioni alle diffezenze lineari a coefficienti costanti

Come detto precedentemente, è possibile trovare la soluzione delle equazioni alle differenze,relative a sistemi LTI, mediante trasformate.
Vediamo i due casi:
1. con trasformata di Fourier
2. con trasformata z
Supponiamo di voler trovare la risposta all’impulso del sistema LTI descritto dall’equazione alle differenze
$h[n]-\frac{1}{2}h[n-1]=\delta[n]-\frac{1}{4}\delta[n-1]$
Applicando la DTFT ad entrambi i lati ed utilizzando le proprietà della trasformata F. per l’impulso e per lo shift temporale abbiamo:
$H(e^{j\omega})-\frac{1}{2}e^{-j\omega}H(e^{j\omega})=1-\frac{1}{4}e^{-j\omega}$
da qui è possibile ricavare la H(e^jω) e poi attraverso l’inversa di H(e^jω) risalire alla h[n].

Equazioni alle differenze: soluzione mediante z-transform

Supponiamo di voler trovare la risposta all’impulso h[n] del sistema LTI descritto dall’equazione alle differenze seguente:
$y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]-\frac{1}{4}x[n-1]$
la risposta all’impulso è h[n]

$h[n]-\frac{1}{2}h[n-1]=\delta[n]-\frac{1}{4}\delta[n-1]$

Equazioni alle differenze: soluzione mediante z-transform (segue)

Applicando la z-transform ad entrambi i lati ed utilizzando la trasformata di un impulso e la proprietà di shift temporale otteniamo:
$H(z)-\frac{1}{2}z^{-1}H(z)=1-\frac{1}{4}z^{-1}$
da cui

$H(z)=\frac{1-\frac{1}{4}z^{-1}}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}$
per ottenere h[n] dobbiamo determinare la trasformata z inversa.

$H(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}-\frac{\frac{1}{4}z^{-1}}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}$

Osserviamo che
$(\frac{1}{2})^{n}u[n] \text { ha trasformata } \frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}$
e che

$\frac{1}{4}(\frac{1}{2})^{n-1}u[n-1]\text{ ha trasformata }-\frac{\frac{1}{4}z^{-1}}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}$ .
Possiamo concludere che

$h[n]=(\frac{1}{2})^{n}u[n]-\frac{1}{4}(\frac{1}{2})^{n}u[n-1]$

Equazioni alle differenze con condizioni iniziali

Nel caso di equazioni alle differenze con condizioni iniziali occorre applicare la z-transform unilatera, che ricordiamo è:
$X^{+}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$
(la sequenza si estende da -∞ a +∞).
Inoltre, ricordiamo che le due z-transform, quella monolatera e quella bilatera possono essere diverse per la stessa sequenza, se quest’ultima è bilatera.

Esempio

Data la sequenza x[n]=u[n+2],
gradino unitario che parte da n=-2,
la sua z-transform. bilatera è:
$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}u[n+2]z^{-n}=\frac{z^{2}}{1-z^{-1}}=\frac{1}{z-1}$
Con ROC |z| >1 , z ≠∞
la sua z-transform unilatera è invece:
$X^{+}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}u[n+2]z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}=\frac{1}{1-z^{-1}}$
con ROC |z|>1

Differenze tra z-transform bilatera e monolatera

Anche per il calcolo della z-transform di una sequenza ritardata c’è qualche differenza.
Es.: sequenza $x[n-1]\rightarrow X^{+}(z)=z^{-1}X^{+}(z)+z^{0}x[-1]$
e più in generale, per una sequenza ritardata di m campioni,
$x[n-m]\rightarrow X^{+}(z)=z^{-m}X^{+}(z)+\sum_{n=0}^{m-1}x[n-m]z^{-n}$

Esempio finale

Vediamo ora, come esempio, la soluzione di un’equazione alle differenze con condizioni iniziali non zero.
Data l’equazione y[n]-.8y[n-1]=2x[n] con condizione iniziale y[-1]=1
Risolviamo quando x[n]=.5ⁿ u[n].
Calcoliamo la z-transform monolatera di entrambi i lati, abbiamo

$Y^{+}(z)-0.8z^{-1}Y^{+}(z)-0.8y[-1]=2X^{+}(z)$

Da cui
$Y^{+(z)}=\frac{.8}{1-.8z^{-1}}+\frac{2}{(1-.8z^{-1})(1-.5z^{-1})}$
ROC |z|>.8
Il primo termine a destra dell’uguaglianza è diverso da zero, perché in questo caso la condizione iniziale è diversa da zero. Esso è la risposta a zero-input, infatti in tal caso la risposta dipende solo dalle condizioni iniziali.
Il secondo termine è la risposta del sistema quando la condizione iniziale è zero ed è denominata zero-state response.
Per ricavare la sequenza y[n] basta sviluppare la risposta zero-state in frazioni parziali, perché il primo termine della somma è facilmente riconducibile per ispezione alla relativa sequenza.

$\frac{1}{(1-.8z^{-1})(1-.5z^{-1})}\longrightarrow\frac{2.66}{z-.8}-\frac{1.66}{z-.5}$

Esempio finale (segue)

$Y^{+}(z)=\frac{.8+2.66}{1-.8z^{-1}}+\frac{-1.66}{1-.5z^{-1}}$

corrisponde al segnale nel dominio del tempo

$y[n]=3.46(.8)^{n}u[n]-1.66(.5)^{n}u[n]$

Un esempio significativo di applicazione della z- transform monolatera alla soluzione di equazioni alle differenze omogenee con condizioni iniziali non nulle è dato dalla sequenza di Fibonacci :y[n]= y[n-1]+y[n-2] con y[-1]=1 e y[-2]=0.
La soluzione mediante z-transform consente di trovare una forma chiusa per il calcolo di y[n]).

Osservazioni conclusive

Abbiamo definito la z-transform di una sequenza.
Abbiamo visto come la z-transform può convergere quando la DTFT non lo fa.
Abbiamo visto che la forma della ROC dipende dalle proprietà delle sequenze.
Molte osservazioni sono basate su z-transform di tipo razionale, come rapporto di polinomi in z.
Fatto rilevante 1: se la ROC contiene il cerchio unitario, allora la sequenza ammette trasformata di Fourier.
Fatto rilevante 2: se affermiamo che il sistema è stabile , cioè che la h[n] è assolutamente sommabile e pertanto ammette trasformata di Fourier, allora la ROC deve includere il cerchio unitario.
Fatto rilevante 3: causalità , se la h[n] è monolatera destra la ROC sarà esterna ad un qualche cerchio.
Fatto rilevante 4: per un sistema causale e stabile la ROC deve essere al di fuori di un cerchio che sia interno al cerchio unitario.

In altri termini per un SLTI causale e stabile la ROC è della forma |z|> a e |a|<1.
Abbiamo visto anche l’applicazione della z- transform per la soluzione di equazioni alle differenze.