Vai alla Home Page About me Courseware Federica Living Library Federica Federica Podstudio Virtual Campus 3D Le Miniguide all'orientamento Gli eBook di Federica La Corte in Rete
 
 
Il Corso Le lezioni del Corso La Cattedra
 
Materiali di approfondimento Risorse Web Il Podcast di questa lezione

Sergio Cavaliere » 11.Analisi di Fourier per sequenze periodiche: DFS


Autofunzioni dei sistemi LTI

Per introdurre le trasformazioni di Fourier per segnali discreti è utile introdurre il concetto di autofunzione ed autovalore.

Abbiamo già visto che nei due casi di sistemi puramente ricorsivi del primo e del secondo ordine a sequenze esponenziali in ingresso corrispondono sequenze esponenziali in uscita, di ampiezza e fase dipendenti dalla pulsazione dell’esponenziale, in base alla funzione H(ω) che viene appunto detta funzione di trasferimento.

Questo risultato si può semplicemente generalizzare a qualsiasi sistema lineare invariante nel tempo, caratterizzato, come si è visto, dalla risposta all’impulso unitario e dall’ operazione di convoluzione:

y[n]=x[n] \otimes h[n] = \sum _{k=- \infty} ^{\infty} x[k]h[n-k]

Prendiamo in considerazione come classe di segnali di ingresso le potenze di un esponenziale complesso:

z=e ………………….. x[n]=zn=e

del tipo quindi mostrato in figura.

La sequenza potenza n-ma dell’ esponenziale complesso x[n].

La sequenza potenza n-ma dell' esponenziale complesso x[n].


Autofunzioni per sequenze periodiche

Sostituendo nella formula della convoluzione  si ha:
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]x[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]e^{j\omega (n-k)}=e^{j\omega n}\sum_{k=-infty}^{\infty}h[k]e^{-j\omega k}
che si può riscrivere come: y[n]=z^n H(\omega)
dopo avere definito la funzione di z:
H(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]e^{-j\omega k}
La relazione verificata y[n]H(ω)x[n] ci dice che le sequenze in esame passano in qualche modo indisturbate nella trasformazione indotta dalla convoluzione; esse conservano la natura di partenza cioè: sono sequenze esponenziali complesse; hanno la stessa pulsazione del segnale in ingresso; sono modificate semplicemente da una costante moltiplicativa H(ω) che ne modifica fase ed ampiezza. A questo punto si stabilisce una analogia con la nomenclatura delle trasformazioni dello spazio 3D reale in cui si definiscono autovettori i vettori che conservano la loro direzione e sono  modificati soltanto in modulo di una costante che si chiama autovalore; con  questa analogia queste sequenze potenza di esponenziale complesso ejωn si dicono autofunzioni della trasformazione ed il valore della costante H(ω) si dice autovalore. Naturalmente, vista la linearità dei sistemi LTI, il risultato si può estendere ad una combinazione lineare arbitraria di potenze di esponenziali:
\sum_k a_k e^{{j\omega} {k^n}}\stackrel{LTI}{\longmapsto}\sum_k a_kH(\omega_k)e^{e^{j\omega}{k^n}}

Analisi di Fourier per sequenze periodiche

Limitiamoci al caso particolare in cui le ωk siano multiple di una pulsazione ω0 che sia anche frazione intera di 2π:

z_k=e^{j\omega_k}~~\text{con}~~\omega_k=k\omega_0=\frac{2k\omega}N

Definiremo quindi la famiglia di funzioni \varphi_N^k[n]=e^{jk\frac{2\pi n}{N}}~~~~~~~k=0\pm1\pm2 ...

Ovvero:

\varphi_N^k[n]=W_N^{nk}~~\text{dove}~~W_N=e^{j\frac{2\pi}N}

Queste funzioni sono tutte periodiche di periodo N; difatti:

\varphi_N^k[n+N]=e^{jk\frac{2\pi(n+N)}N}=e^{jk\frac{2\pi n}N}e^{jk\frac{2\pi N}N}=e^{jk\frac{2\pi n}N}e^{j2k\pi}=e^{jk\frac{2\pi n}N}

Ogni combinazione lineare di funzioni di questa famiglia sarà di conseguenza periodica.

Questa famiglia potrà essere un candidato a costituire una base per la rappresentazione di sequenze periodiche di periodo N.

Sequenze oscillanti complesse

Le sequenze \varphi_N^k[n] sono in numero finito, pari ad N-1, per ogni intero N  poiché \varphi_N^N[n]=\varphi_N^0[n] e più in generale per ogni n \varphi_N^{k+N}=\varphi_N^k[n].

I campioni da cui sono composte queste sequenze sono tutte radici dell’unità, poiché:

\biggl(\varphi_N^k[n]\biggr)^N=\biggl(W_N^{nk}\biggl)^N=e^{j2nk\pi}=1

Per k=0 i campioni della sequenza sono tutti 1: 1 1 1 1 1………..;

Campioni della sequenza nel caso N=8 per k=3 e k=7

Campioni della sequenza nel caso N=8 per k=3 e k=7


Sinusoide e cosinusoide


Parte reale ed immaginaria


Caratteristiche delle sequenze esponenziali

Nella figura sono rappresentate le sequenze \varphi_N^k[n]\biggl(W_N^{nk}\biggr) si osserva che \varphi_N^0[n]=\varphi_N^N[n], \varphi_N^1[n]=\varphi_N^{N+1}[n], e più in generale \varphi _N^k[n]=\varphi_N^{k+N} [n].

Vale la relazione

\sum_{k\in \langle N\rangle}W_N^{kn}=N\delta [n]

cioè:

\left\{\begin {array}{rl}\sum_{k\in \langle N\rangle}W_N^{kn}=\sum_{k=0}^{N-1}W_N^{kn}=N~\text{se}~ n=0\\=0 ~\text{se}~n\neq 0 \end{array}

La relazione si può dimostrare osservando che la somma  in questione è la somma dei primi N termini di una serie geometrica ak, con a=(W_N^n)=e^{j\frac{2\pi}N n}

La dimostrazione completa è fornita nella esposizione estesa della sezione materiali ed in forma diversa in una diapositiva che segue. Le sequenze introdotte, grazie alle loro proprietà si prestano a rappresentare mediante loro combinazioni lineari tutte le possibili sequenze periodiche. E’ quello che vedremo nel seguito.

Parte reale delle sequenze WkN con N=8  
k = 0 ….. 9. Si può osservare che per k=8 la seuqenza è identica a quella per k=0, per k=9 a k=1 e così via, per via della periodicità in k.

Parte reale delle sequenze WkN con N=8 k = 0 ….. 9. Si può osservare che per k=8 la seuqenza è identica a quella per k=0, per k=9 a k=1 e così via, per via della periodicità in k.


Serie discrete di Fourier

Analogamente a quanto accade per i segnali continui periodici anche nel caso discreto i segnali periodici ammettono una semplice rappresentazione mediante spettro discreto; vale cioè la seguente coppia di relazioni o trasformazioni.

Sintesi

x[n]=\sum_{k\in\langle N\rangle}a_k\varphi_N^k[n]=\sum_{k\in\langle N\rangle}a_ke^{jk\frac{2\pi}N n}~~~n=0...N-1

Analisi

a_k=\frac 1 N \sum_{n\in \langle N\rangle}x[n]\overline{\varphi_n^k[n]}=\frac 1 N \sum_{n\in \langle N\rangle}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}N n}

Con il simbolo n=\langle N\rangle si intende n=0...N-1.

Verifica della formula di analisi.

Moltiplichiamo la formula di ricostruzione per \overline{\varphi_N^h[n]}=e^{-jh\frac{2\pi}N n}abbiamo:

x[n]e^{-jh\frac{2\pi}N n}=e^{-jh{2\pi}N n}\sum_{k\in \langle N\rangle}a_k e^{jk\frac{2\pi}N n}=

=\sum_{k\in \langle N\rangle}a_k e^{-jh{\frac{2\pi}N n}}e^{jk\frac{2\pi}N n}=\sum_{k\in \langle N\rangle}a_k e^{j(k-h)\frac{2\pi}N n}

Formula di analisi

Se ora sommiamo ora rispetto ad n ed invertiamo l’ordine delle due sommatorie abbiamo:

\sum_{n\in\langle N\rangle}x[n]e^{-jh\frac{2\pi}N n}=\sum_{n\in \langle N\rangle}\sum_{k\in \langle N\rangle}a_k e^{j(k-h)\frac{2\pi}N n}=\sum_{k\in\langle N\rangle}a_k \sum_{n\in\langle N\rangle}e^{j(k-h)\frac{2\pi}N n}=\sum_{k\in\langle N\rangle}a_k N\delta[k-h]=Na_h

Abbiamo nell’ultima uguaglianza utilizzata la relazione già dimostrata  \sum_{k\in\langle N\rangle}W_N^{kn} =N\delta[n]ovvero \sum_{k\in\langle N\rangle}e^{jk\frac{2\pi}N n}=N\delta [n] scritta appunto, cambiando opportunamente nome alle variabili, come:

\sum_{n\in\langle N\rangle}e^{j(k-h)\frac{2\pi}N n}=N\delta[k-h]

Quindi vale la formula di analisi:

a_h=\frac 1 N \sum_{n\in\langle N\rangle}x[n]e^{-jh\frac{2\pi}N n}

Si osservi la differenza rispetto a quanto accade nel continuo dove sono necessarie manipolazioni complesse legate a derivazioni ed integrazione; qui anche per la natura finita delle operazioni bastano semplici manipolazioni algebriche per ottenere risultati molto generali e potenti.

Formula di sintesi

Verifica della formula di sintesi

Dalla formula di analisi si può ricavare la formula di sintesi. Infatti, moltiplicando per \varphi_N^k[n]=e^{jk\frac{2\pi}N n}avremo:

a_he^{jk\frac{2\pi}N h}=e^{jk\frac{2\pi}N h}\frac 1 N\sum_{n\in \langle N\rangle}x[n]e^{-jh\frac{2\pi}N n}=\frac 1 N \sum_{n\in \langle N\rangle}x[n]e^{j(k-n)\frac{2\pi}N h}

Sommando rispetto ad h avremo:

\sum_{h\in\langle N\rangle}a_he^{jk\frac{2\pi}N h}=\frac 1 N \sum_{h\in \langle N\rangle}\sum_{n\in\langle N\rangle}x[n]e^{j(k-n)\frac{2\pi}N h}=\frac 1 N\sum_{n\in\langle N\rangle}x[n]\sum_{h\in \langle N\rangle}e^{j(k-n)\frac{2\pi}N h}=\sum_{n\in \langle N\rangle}x[n]\delta[k-n]=x[k]

E’ dimostrata quindi la formula di ricostruzione. Rimane da verificare la formula utilizzata nel corso della dimostrazione:

\sum_{n=0}^{N-1}e^{jk \frac{2\pi n}N}e^{-jh \frac{2\pi n} N}}=N\delta [k-h]~~~~~k,h=0...N-1

Basterà dimostrare la seguente formula:

\sum_{n=0}^{N-1}e^{jk\frac{2\pi n}N}e^{-jh\frac{2\pi n}N}=N\delta [k]~~~~k=0..N-1

perchè poi otterremo quello che ci occorre mediante la sostituzione della variabile  k con k-h.

Verifica della formula di sintesi

Si può procedere come segue:

\sum_{n=0}{N-1}e^{jk\frac{2\pi n}N}=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi k n}N}=\sum_{n=0}^{N-1}a^n~~~~~k=0...N-1

Postoa=e^{j\frac{2\pi k}N}. Si tratta dnque di una serie geometrica di ragione a.

Se k=0 la ragione di questa serie vale a=1 e la somma sarà:

\sum_{n=0}^{N-1}a^n=N

Se k≠n la somma dei primo N termini della serie è:

\frac{1-a^N}{1-a}=\frac{1-e^{j\frac{2\pi kN}N}}{1-a}\frac{1-e^{j2\pi k}}{1-a}=0

In breve quindi:

\frac 1 N \sum_{n=0}^{N-1}e^{jk\frac{2\pi n}N}=\delta [k]~~~~~k=0...N-1

Per le formule relative alle serie geometriche e somme parziali si veda il sito Web Mathworld.

Serie discrete e teoria degli spazi vettoriali

Un approccio più completo, ma formalmente più complesso è quello che fa rientrare la trasformazione in frequenza in un ambito più generale, in cui essa diventa un caso specifico.
Una generalizzazione, quindi, che porta alla teoria dei cosiddetti spazi vettoriali di cui si fa cenno soltanto per una questione di completezza, mettendo in evidenza l’analogia con lo spazio dei vettori 3D.

Si intende per spazio vettoriale una generalizzazione dello spazio euclideo R3 ovvero più in generale Rn o ancora CN, dove C è il campo dei numeri complessi. Le dimensioni di uno spazio vettoriale possono essere più in generale in numero infinito.
Per base di questo spazio si intende una generalizzazione del sistema dei vettori unitari x,y,z (o anche i,j,k) detti anche versori degli assi, che permettono di ottenere qualsiasi punto dello spazio tridimensionale come combinazione lineare dei versori i,j e k:
Con l’ulteriore proprietà della ortogonalità della base avremo molto semplicemente delle formule dirette per calcolare le componenti del punto P o del vettore a=(OP), utilizzando il prodotto scalare.

Questa analogia può essere portata avanti perché le sequenze potenza di esponenziale complesso, avendo durata finita N, sono punti nello spazio complesso ad N dimensioni CN:  \varphi _N ^k [n]=e ^{{jk \frac {2 \pi} Nn}} …………... n=0…N-1

In questo spazio , risultano essere una base dello spazio vettoriale delle sequenze periodiche di periodo N: cioè qualsiasi sequenza periodica di periodo N può essere espressa come combinazione lineare delle sequenze della base.

x[n]= \sum _{k \in \langleN\rangle} a_k \varphi _N ^k [n]=\sum_{k \in \langle N \rangle}a_ke ^{j k \frac {2 \pi} {n} N}…………… n=0…N-1

Otteniamo così di nuovo la formula di analisi vista e dimostrata.
Nel testo della sezione materiali questa analogia viene sviluppata in dettaglio. Va considerata comunque irrilevante per gli scopi di questo corso.

Caratteri della DFS

E’ interessante osservare che i risultati raggiunti sono di una estrema semplicità.

  • Le frequenze contenute in un segnale periodico sono sempre in numero finito e pari al numero di campioni (durata del segnale).
  • L’analisi in frequenza può essere fatta mediante un semplice prodotto dei campioni di un periodo per una opportuna matrice complessa.
  • La risintesi del segnale può essere fatta in modo duale mediante un semplice prodotto dei campioni in frequenza per un opportuna matrice complessa (inversa della precedente).
  • L’analisi e la sintesi possono essere fatte in modo esatto, in quanto non coinvolgono integrali da approssimare o somme infinite da calcolare numericamente.
  • Per i segnali periodici si può usare in fase di analisi ma anche di sintesi l’algoritmo della FFT, pensato per la DFT che riduce i calcoli necessari dalla complessità O(N2) alla complessità O(NlogN).
  • Vedremo nel seguito, ma anticipiamo ora, il fatto che gli algoritmi sviluppati per la DFS possono essere facilmente modificati per analizzare segnali non periodici ma di durata finita.

I materiali di supporto della lezione

Serie di Fourier discrete

  • Contenuti protetti da Creative Commons
  • Feed RSS
  • Condividi su FriendFeed
  • Condividi su Facebook
  • Segnala su Twitter
  • Condividi su LinkedIn
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion