Per introdurre le trasformazioni di Fourier per segnali discreti è utile introdurre il concetto di autofunzione ed autovalore.
Abbiamo già visto che nei due casi di sistemi puramente ricorsivi del primo e del secondo ordine a sequenze esponenziali in ingresso corrispondono sequenze esponenziali in uscita, di ampiezza e fase dipendenti dalla pulsazione dell’esponenziale, in base alla funzione H(ω) che viene appunto detta funzione di trasferimento.
Questo risultato si può semplicemente generalizzare a qualsiasi sistema lineare invariante nel tempo, caratterizzato, come si è visto, dalla risposta all’impulso unitario e dall’ operazione di convoluzione:
Prendiamo in considerazione come classe di segnali di ingresso le potenze di un esponenziale complesso:
z=ejω ………………….. x[n]=zn=ejω
del tipo quindi mostrato in figura.
Limitiamoci al caso particolare in cui le ωk siano multiple di una pulsazione ω0 che sia anche frazione intera di 2π:
Definiremo quindi la famiglia di funzioni
Ovvero:
Queste funzioni sono tutte periodiche di periodo N; difatti:
Ogni combinazione lineare di funzioni di questa famiglia sarà di conseguenza periodica.
Questa famiglia potrà essere un candidato a costituire una base per la rappresentazione di sequenze periodiche di periodo N.
Le sequenze sono in numero finito, pari ad N-1, per ogni intero N poiché e più in generale per ogni n
I campioni da cui sono composte queste sequenze sono tutte radici dell’unità, poiché:
Per k=0 i campioni della sequenza sono tutti 1: 1 1 1 1 1………..;
Nella figura sono rappresentate le sequenze si osserva che , e più in generale .
Vale la relazione
cioè:
La relazione si può dimostrare osservando che la somma in questione è la somma dei primi N termini di una serie geometrica ak, con
La dimostrazione completa è fornita nella esposizione estesa della sezione materiali ed in forma diversa in una diapositiva che segue. Le sequenze introdotte, grazie alle loro proprietà si prestano a rappresentare mediante loro combinazioni lineari tutte le possibili sequenze periodiche. E’ quello che vedremo nel seguito.
Analogamente a quanto accade per i segnali continui periodici anche nel caso discreto i segnali periodici ammettono una semplice rappresentazione mediante spettro discreto; vale cioè la seguente coppia di relazioni o trasformazioni.
Sintesi
Analisi
Con il simbolo si intende .
Verifica della formula di analisi.
Moltiplichiamo la formula di ricostruzione per abbiamo:
Se ora sommiamo ora rispetto ad n ed invertiamo l’ordine delle due sommatorie abbiamo:
Abbiamo nell’ultima uguaglianza utilizzata la relazione già dimostrata ovvero scritta appunto, cambiando opportunamente nome alle variabili, come:
Quindi vale la formula di analisi:
Si osservi la differenza rispetto a quanto accade nel continuo dove sono necessarie manipolazioni complesse legate a derivazioni ed integrazione; qui anche per la natura finita delle operazioni bastano semplici manipolazioni algebriche per ottenere risultati molto generali e potenti.
Verifica della formula di sintesi
Dalla formula di analisi si può ricavare la formula di sintesi. Infatti, moltiplicando per avremo:
Sommando rispetto ad h avremo:
E’ dimostrata quindi la formula di ricostruzione. Rimane da verificare la formula utilizzata nel corso della dimostrazione:
Basterà dimostrare la seguente formula:
perchè poi otterremo quello che ci occorre mediante la sostituzione della variabile k con k-h.
Si può procedere come segue:
Posto. Si tratta dnque di una serie geometrica di ragione a.
Se k=0 la ragione di questa serie vale a=1 e la somma sarà:
Se k≠n la somma dei primo N termini della serie è:
In breve quindi:
Per le formule relative alle serie geometriche e somme parziali si veda il sito Web Mathworld.
Un approccio più completo, ma formalmente più complesso è quello che fa rientrare la trasformazione in frequenza in un ambito più generale, in cui essa diventa un caso specifico.
Una generalizzazione, quindi, che porta alla teoria dei cosiddetti spazi vettoriali di cui si fa cenno soltanto per una questione di completezza, mettendo in evidenza l’analogia con lo spazio dei vettori 3D.
Si intende per spazio vettoriale una generalizzazione dello spazio euclideo R3 ovvero più in generale Rn o ancora CN, dove C è il campo dei numeri complessi. Le dimensioni di uno spazio vettoriale possono essere più in generale in numero infinito.
Per base di questo spazio si intende una generalizzazione del sistema dei vettori unitari x,y,z (o anche i,j,k) detti anche versori degli assi, che permettono di ottenere qualsiasi punto dello spazio tridimensionale come combinazione lineare dei versori i,j e k:
Con l’ulteriore proprietà della ortogonalità della base avremo molto semplicemente delle formule dirette per calcolare le componenti del punto P o del vettore a=(OP), utilizzando il prodotto scalare.
Questa analogia può essere portata avanti perché le sequenze potenza di esponenziale complesso, avendo durata finita N, sono punti nello spazio complesso ad N dimensioni CN: …………... n=0…N-1
In questo spazio , risultano essere una base dello spazio vettoriale delle sequenze periodiche di periodo N: cioè qualsiasi sequenza periodica di periodo N può essere espressa come combinazione lineare delle sequenze della base.
…………… n=0…N-1
Otteniamo così di nuovo la formula di analisi vista e dimostrata.
Nel testo della sezione materiali questa analogia viene sviluppata in dettaglio. Va considerata comunque irrilevante per gli scopi di questo corso.
E’ interessante osservare che i risultati raggiunti sono di una estrema semplicità.
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