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Sergio Cavaliere » 5.Equazioni alle differenze finite: sistemi del primo ordine


Equazioni standard alle differenze finite (SDE)

Nella classe dei sistemi LTI una sottoclasse è quella dei sistemi definiti da Equazioni Standard alle Differenze Finite (SDE) dette così in quanto a partire da una equazione integro-differenziale che descrive un determinato fenomeno fisico, integrali e derivate, legate ad incrementi infinitesimi sono sostituiti da differenze calcolate ad incrementi di tempo finiti; esse coinvolgono un numero finito di campioni dell’ingresso e dell’uscita, combinati mediante semplici operazioni di somma e prodotto:

\sum ^N _{k=0}a_ky[n-k]= \sum ^M _{k=0} b_kx [n-k]

Le equazioni alle differenze finite costituiscono dunque la versione discreta delle equazioni differenziali e ne rappresentano, sotto certe ipotesi, una approssimazione che però si può spingere a piacere. Dall’avvento del calcolo digitale esse hanno ormai sostituito, dal punto di vista computazionale le equazioni integro-differenziali, mandando in soffitta i vecchi calcolatori analogici

La teoria delle equazioni differenziali naturalmente continua ad essere sviluppata, ma nel momento in cui occorre fare delle simulazioni ovvero risolvere un problema dal punto di vista numerico, occorre necessariamente ricorre alla discretizzazione ed al cosiddetto calcolo agli elementi finiti, di cui le equazioni SDE sono un esempio.

Dal continuo al discreto: il filtro RC

Per illustrare il principio su cui è basato il passaggio dal continuo al discreto, analizziamo un caso semplice.

Consideriamo un circuito elettrico RC serie, in cui V è la tensione di ingresso e Vc quella di uscita, ai capi del condensatore.

Le equazioni del circuito, detta i la corrente di ingresso, ed assumendo che non si carichi il circuito cioè che l’uscita non derivi corrente, sono:

V=R · i + V (equazione della maglia)

q=C · V (relazione tra tensione e carica nel condensatore)

i= \frac {dq}{dt} = C \frac{dV_c} {dt} (relazione tra carica e corrente nel condensatore)

Si ricava quindi l’equazione differenziale del circuito RC:

V=R \cdot \frac {dq} {dt} + V_c=R \cdot C \frac {dV_c}{dt}+V_c

Un semplice sistema nel continuo: il filtro RC (passa basso).

Un semplice sistema nel continuo: il filtro RC (passa basso).


Discretizzazione dell’equazione del circuito RC

Se ora approssimiamo l’intervallo infinitesimo dt con un intervallo finito ma piccolo Δt, molto minore della costante di tempo del circuito τ=RC, approssimeremo allo stesso modo l’infinitesimo dVc con l’incremento finito ΔVc.

L’equazione differenziale diventa così una equazione alle differenze; se quindi Vn e Vn+1 sono i valori della tensione in ingresso all’istante t e t + Δt e Vcn e Vcn-1 quelli della tensione in uscita, l’equazione sarà:

V_n= R \cdot C \frac {Vc_n - Vc_{n-1}} {\Delta t} + Vc_n

Usando la simbologia usuale fino ad ora, con le sostituzioni Vn → xn e Vcn → yn, l’equazione diventa:

X_n= R \cdot C \frac {y_n - y_{n-1}} {\Delta t} + y_n

Se ora poniamo \alpha= \frac {R \cdot C} {\Delta t} \gg 1 avremo

xn=α (yn – yn-1)+yn=αyn – αyn-1 + yn = (1+α)yn-αyn-1

(1+α)yn=xn+αyn-1

y_n= \frac 1 {1+ \alpha} x_n + \frac \alpha {1+\alpha} y_{n-1}

In definitiva posto: a= \frac {1} {1+ \alpha} ~~~~~~~~~b= \frac \alpha {1+ \alpha} sarà y_n=ax_n+by_{n-1}

Discretizzazione di un sistema continuo

Se ora consideriamo l’equazione alle differenze che descrive il sistema y_n = \frac 1 {1+ \alpha} x_n + \frac \alpha {1+ \alpha} y_{n-1}

possiamo osservare che la costante\frac 1 {1 +\alpha} che moltiplica xn è una semplice costante di proporzionalità. Considerando allora una copia scalata del segnale d’ingresso (o d’uscita) l’equazione si può più semplicemente riscrivere nella forma yn=xn+byn-1

in cui appare evidente che l’equazione, scritta direttamente nel dominio discreto, ha come unico parametro in gioco, per questo semplice sistema in esame, la costante b. Inoltre si può verificare che risolvendo l’equazione a partire da n = 0 con ingresso δ[n] e supponendo che y-1=0 si avrà la seguente risposta impulsiva:
y0=1
y1=b
y2=b2
….
…..
yn=bn
….

Evidentemente la risposta impulsiva hn=bn ha durata infinita.

Il comportamento di un filtro digitale

Possiamo ora dare in ingresso al filtro vari tipi di segnale per studiarne il comportamento.

Nel caso in figura forniamo in ingresso un gradino unitario. La risposta nel tempo è quella classica di un partitore RC, cioè la carica del condensatore, seguita dalla sua scarica quando la tensione in ingresso viene portata a zero.

Una funzione Matlab utile per ottenere la sequenza yn partire dalla sequenza xn è la seguente:

% RC filter alfa=RC/dt;
function y=rc_filter(x,alfa)
a=1/(1+alfa);
b=alfa/(1+alfa);
y=zeros(1,length(x));
for n=2:length(x)
……………………. y(n)=a*x(n)+b*y(n-1);
end

Risposta di un sistema alle differenze ad un gradino unitario.

Risposta di un sistema alle differenze ad un gradino unitario.


Il caso di sistema oscillante

Per tale motivo questo sistema e la classe a cui appartiene si dicono a risposta Impulsiva Infinita (IIR Infinite Impulse Response) a differenza dei sistemi in cui la risposta impulsiva è invece di durata finita (FIR), come abbiamo visto ad es. nel caso della media. Inoltre si può affermare in generale che i sistemi ricorsivi sono di tipo IIR cioè hanno risposta impulsiva infinita, mentre quelli non ricorsivi sono di tipo FIR. Poiché nel caso discreto non abbiamo un sistema fisico di riferimento ma semplicemente delle equazioni, possiamo dare ai parametri del nostro sistema valori arbitrari; il coefficiente b può quindi essere negativo così come può essere complesso.

Per b negativo il sistema come vedremo ha un comportamento passa alto piuttosto che passa-basso.
Per b complesso il sistema diventa oscillante, come si rileva dalla figura. I campioni sono a loro volta numeri complessi.

Al crescere di ω0 aumenta la frequenza delle oscillazioni del segnale, così come si può verificare che al crescere del modulo fino al valore unitario l’attenuazione relativa al decadimento dell’oscillazione diminuisce; nel caso |b|=1 l’oscillazione si sostiene infinitamente; in questo caso |b|=1 la risposta diverge; questo come abbiamo visto è condizione sufficiente perché il sistema non sia stabile.

Sistema oscillante del primo ordine
b=0.9995*exp(j*ω0)  ω0=pi/118.

Sistema oscillante del primo ordine b=0.9995*exp(j*ω0) ω0=pi/118.


Risposta al rumore bianco

Se mettiamo in ingresso al sistema visto del rumore bianco osserviamo che esso viene filtrato lasciando passare una banda di frequenze intorno alla frequenze centrale che caratterizza la risposta impulsiva e quindi il sistema.

Il comportamento quindi è quello di un filtro accordato, cioè un filtro che lascia passare una banda più o meno ampia intorno alla sua frequenza di accordo ed attenua le frequenze al di fuori di questa banda, come si vedrà più compiutamente nel seguito.

Anche in questo caso una rappresentazione 3D fornisce un risultato chiaro.

Il sistema descritto si chiama filtro in analogia al caso continuo.
Nel caso discreto però ali componenti fisici si sostituisce un insieme di equazioni alle differenze, con le quali si può eseguire qualsiasi tipo di elaborazione, per quanto complessa, con la possibilità di usare elementi di ritardo (memorie) di lunghezza arbitraria.

Questo consente ai cosiddetti “filtri digitali” di realizzare complessità di calcolo impensabili nel dominio analogico.

Sistema oscillante del primo ordine con un ingresso rumore bianco.

Sistema oscillante del primo ordine con un ingresso rumore bianco.


Sistemi ricorsivi e non ricorsivi

Il sistema visto è un filtro ricorsivo nel senso che per il calcolo di un campione utilizza non soltanto campioni di ingresso ma anche campioni precedenti dell’uscita.

Un filtro non ricorsivo invece utilizza soltanto campioni dell’ingresso, al tempo n o a tempi precedenti; è questo il caso della media, retta dall’equazione:

y_n = \frac 1 2 x_n + \frac 1 2 x_ {n-1}

Una descrizione a blocchi dei due sistemi del primo ordine rende chiare le differenze:

  • nel caso non ricorsivo si utilizzano, per il calcolo dei campioni di uscita soltanto campioni precedenti dell’ingresso
  • nel caso ricorsivo invece anche campioni precedenti dell’uscita.

L’elemento Delay consente di ritardare il segnale di un campione.
Dalla simulazione diretta dei due filtri si osserva che nel caso del filtro ricorsivo la risposta impulsiva ha durata infinita.
Nel caso non ricorsivo, invece, la risposta ha durata finita.
Questo vale in generale per tutte le strutture ricorsive/non ricorsive.

Struttura non ricorsiva .

Struttura non ricorsiva .

Struttura ricorsiva.

Struttura ricorsiva.


L’equazione del primo ordine ricorsiva

Vogliamo ora affrontare il problema generale delle equazioni alla differenze finite, nei seguenti aspetti:
  • la ricerca delle soluzioni;
  • relazione con i sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI);
  • verifica delle condizioni che garantiscono che una equazione alle differenze finite rappresenti un sistema LTI.
Partiamo dalla semplice equazione del primo ordine, nel caso particolare in cui il segnale di ingresso è l’impulso unitario; verificheremo che occorre definire anche un valore iniziale dell’uscita per calcolare il segnale d’ingresso.
L’equazione y[k]=x[k]+by[k-1]
Può essre riscritta nel nostro caso come: y[k]=by[k-1]+δ[k] per k= 0,1,2…….
Per risolverla numericamente la valuteremo per i diversi valori di k.
Per k=0: y[0]=by[-1]+δ[0]
Per andare avanti occorre conoscere y[-1] cioè il valore iniziale dell’uscita . Supponiamo che sia y[-1]  = a.
y[0]=by[-1]+δ[0]=ba+1 per k=0
y[1]=by[0]+δ[1]=by[0]+0=b(ba+1)=b2a+b per k=1
y[2]=by[1]+δ[2]=b3a+b2 per k=2
y[3]=by[2]=b4a+b3 per k=3
E così via; possiamo sintetizzare i risultati, per k>0  nella formula: y[k]=bk+1a+bk

Linearità, casualità, stabilità

Risolvendo in modo analogo l’equazione della ricorsione per valori decrescenti di k, k=-1,-2-3……ricaviamo: y[k]=\frac 1 b y[k]=ab^{k+1} per k<0.

Mettendole insieme avremo un’unica formula per la y[k] che è quindi la risposta all’impulso unitario h[k]:

h[k]=u[k]bk+bk+1a

Possiamo ora imporre delle condizioni per trovare i possibili valori del parametro a

linearità: dall’equazione y[k]=x[k]+by[k-1] se applichiamo ingresso nullo x[k]=0 avremo y[k]=bk+1y[-1]. Ma poiché ad ingresso nullo dovrà corrispondere uscita nulla sarà y[-1]=0

casualità: cioè risposta nulla prima dell’applicazione dell’impulso unitario nell’origine. Anche questo comporta y[-1]=a=0.  La risposta all’impulso unitario sarà quindi: h[k]=u[k]bk

Stabilità: si può verificare che per questo occorre che sia |b|<1.

Per sistemi di ordine superiore al primo si può ragionare in modo analogo.

Il sistema del primo ordine nel tempo

In conclusione l’equazione alle differenze finite del primo ordine ricorsivo

y[k]-ay[k-1]=δ[k]

con |a|<1 avrà soluzione

y[k]=0 ………. k<0

y[k]=ak ……….k≥0

Questa è quindi la risposta all’impulso unitario del sistema ricorsivo del primo ordine.
Una famiglia di risposte stabili e causali è riportata in figura.

Vedremo in seguito come questa risposta impulsiva caratterizza univocamente il sistema e da questa è possibile ricavare la risposta del sistema a qualsiasi segnale d’ingresso

Famiglia di risposte impulsive del sistema ricorsivo del primo ordine.

Famiglia di risposte impulsive del sistema ricorsivo del primo ordine.


Il sistema del primo ordine in frequenza

Se la risposta impulsiva caratterizza il sistema nel suo comportamento temporale è anche di interesse la risposta del sistema a segnali d’ingresso oscillanti a diverse frequenze per caratterizzare il comportamento nel dominio delle frequenze.

Nell’equazione del sistema del primo ordine y[k]-ay[k-1]=x[k]

Supponiamo di ottenere in uscita un segnale oscillante del tipo di quelli già visti in precedenza: y[n]ejω0n

Sostituendo nell’equazione avremo ejω0n – aejω0(n-1) =x[n]=ejω0n(1-ae-jω0)

anche l’ingresso sarà un oscillatore complesso e tra i due segnali oscillanti varrà la relazione di proporzionalità: y[n]= \frac 1 {1-ae^{-j \omega _0}} x[n]

Possiamo definire la funzione H(e^{j \omega})= \frac 1 {1-ae^{-j \omega}}
che caratterizza il sistema per ingressi esponenziali complessi (periodici) e per somme di esponenziali di questo tipo. Ricordando poi che vale la relazione seguente tra frequenza e pulsazione: ω=2πf

si deduce che il sistema reagisce diversamente alle diverse frequenze di un segnale in ingresso; in questo sta la sua selettività in frequenza da cui deriva il nome di filtro digitale.

Risposta in frequenza

Per conoscere il comportamento del sistema al variare della pulsazione ω, basterà studiare questa funzione che diremo funzione di trasferimento del nostro sistema.
Difatti il segnale oscillante in uscita dal sistema avrà la stessa pulsazione del segnale di ingresso; il modulo invece sarà il prodotto del modulo del segnale oscillante d’ingresso per il modulo della funzione di trasferimento

H (e ^{-j\omega})= \frac 1 {1-ae^{-j \omega}}

Lo sfasamento tra ingresso ed uscita sarà pari alla fase della funzione di trasferimento .

Oltre che analiticamente l’andamento si può valutare qualitativamente, facendo riferimento alla seguente figura in cui sono tracciati i vettori ae-jω, 1 e la differenza 1- ae-jω

Si osserva che al variare di ω l’andamento del modulo di 1- ae-jω è crescente, a partire da un minimo per ω=0; il suo inverso quindi risulterà decrescente, ed avrà un massimo proprio per ω=0.

Valutazione grafica dell’andamento della funzione di trasferimento di un sistema ricorsivo del primo ordine.

Valutazione grafica dell'andamento della funzione di trasferimento di un sistema ricorsivo del primo ordine.


Risposta in frequenza (segue)

Graficando questo comportamento si caratterizza la risposta in frequenza del sistema del primo ordine:

H (e ^{-j\omega})= \frac 1 {1-ae^{-j \omega}}

come un filtro passa basso, perché se a>0, per valori bassi della pulsazione ω la risposta è massima e questa decresce all’aumentare della pulsazione.

Per valori negativi del coefficiente a il filtro risultante è passa alto, come si può verificare ragionando sul cerchio unitario in modo analogo al caso precedente.

Si osserva che la risposta del sistema è simmetrica in modulo rispetto a π/2 ed antisimmetrica nella fase.
Per questo motivo è sufficiente descrivere il comportamento del sistema per valori della pulsazione ω compresi nell’intervallo [0 π].

Inoltre come già visto il segnale a pulsazione ω e quello a pulsazione 2π-ω non differiscono in frequenza ma soltanto per la fase.

Funzione di trasferimento di un sistema ricorsivo del primo ordine caso a>0.

Funzione di trasferimento di un sistema ricorsivo del primo ordine caso a>0.

Funzione di trasferimento di un sistema ricorsivo del primo ordine caso a

Funzione di trasferimento di un sistema ricorsivo del primo ordine caso a<0.


Primo ordine: parametro complesso

Un’ultima operazione è quella di prendere in esame il caso complesso: a=|a|ejω0

La risposta all’esponenziale complesso sarà in tal caso:

Y_1(\omega)=\frac 1 {1-ae^{j \omega {_0}}e^{-j \omega}}= \frac 1 {1-ae ^{-j(\omega - \omega _0)}}

e quindi Y1=Y(ω-ω0)

Quindi la risposta è una replica della risposta della risposta Y vista per il caso reale, traslata però di ω0 come risulta nella figura.

Il caso a negativo può ricondursi a questo avendo presente che per a negativo si può scrivere: a = -|a|=|a|e

da cui è chiara la traslazione di π nella risposta in frequenza già osservata.

Funzione di trasferimento di un sistema ricorsivo del primo ordine nel caso a complesso.

Funzione di trasferimento di un sistema ricorsivo del primo ordine nel caso a complesso.


Cascata di due sistemi del primo ordine

Concateniamo ora in cascata due sistemi risonanti con coefficienti complessi a ed \bar{a} la risposta risulterà dal prodotto di quelle già viste, una accordata su ω e l’altra su -ω , con il risultato finale in figura.

Si osserva che la risposta ha riacquistato la simmetria rispetto a π che come vedremo caratterizza i segnali reali (non complessi); infatti in tal caso l’equazione corrispondente, come vedremo è diventata a coefficienti reali.

Funzione di trasferimento della cascata di due sistemi ricorsivi del primo ordine nel caso a complesso.

Funzione di trasferimento della cascata di due sistemi ricorsivi del primo ordine nel caso a complesso.


Il sistema del primo ordine: risposta in frequenza

I risultati visti con l’approccio grafico presentato in precedenza per la valutazione della risposta in frequenza, possono essere ricavati studiando il comportamento della funzione di trasferimento H(e), in particolare il suo modulo e la sua fase sul cerchio complesso per il caso a reale |H (\omega)|= \sqrt \frac 1 {1-2a~ cos \omega +a^2}

Se a>0 il massimo della funzione si avrà quando il denominatore è minimo cioè quando cosω=1 quindi ω=0 e vale |H(\omega)|= \frac 1 {(1-a)}

Al crescere di a, cioè al suo avvicinarsi al cerchio unitario (sempre sull’asse reale) questo massimo aumenta (in particolare diverge per a → 1). Il valore minimo si avrà quando cosω=-1 per ω=Π; e varrà:  |H(\omega)|= \frac 1 {(1+a)}

Si tratta dunque di un filtro passa basso che appunto alla pulsazione ω=0 ha il suo massimo.

Se invece a<0 massimo e minimo si invertono ed il filtro da passa basso diventa passa alto.

Si verificano così i comportamenti già studiati in precedenza.

Sistema del primo ordine: risposta in frequenza per diversi valori del parametro a.

Sistema del primo ordine: risposta in frequenza per diversi valori del parametro a.


Il modulo della funzione di trasferimento

Nelle figure che seguono il modulo della funzione di trasferimento H(e) è rappresentato come quota della curva di risposta lungo il cerchio unitario del piano complesso, cioè la curva:

Z=e ω nell’intervallo [0 2π].

I casi rappresentati nelle due figure sono, passa basso e passa alto.

Modulo del sistema (filtro) passa basso.

Modulo del sistema (filtro) passa basso.

Modulo del sistema (filtro) passa alto.

Modulo del sistema (filtro) passa alto.


La funzione di trasferimento: estensione

Nella figura a fianco è rappresentato il modulo della funzione di trasferimento H(e) nel caso di sistema passa banda: il massimo della risposta in modulo si ha per frequenza pari ad ω0.

Questa rappresentazione nel piano complesso suggerisce una estensione della funzione H(e) definita soltanto per valori sul cerchio complesso, a valori arbitrari del piano complesso sia interni che esterni al cerchio unitario oltre che appartenenti ad esso, quindi H(z) per z appartenente a Z.

E’ quello che, come vedremo, viene fatto mediante definizione della trasformata Z, in cui la funzione viene calcolata e rappresentata su cerchi di raggio sia minore che maggiore dell’unità ed infine sull’intero piano complesso.

Modulo del sistema (filtro) passa banda.

Modulo del sistema (filtro) passa banda.

Modulo del sistema (filtro) passa basso esteso al piano complesso.

Modulo del sistema (filtro) passa basso esteso al piano complesso.


La funzione di trasferimento nel piano complesso

L’estensione della curva di risposta corrisponde poi a valutare la risposta dei nostri sistemi quandoi essi sono sollecitati da sequenze oscillanti zn con z complesso e |z| divero da 1.

Se nell’equazione y[n]-ay[n-1]=x[n] poniamo y[n]=zn ricavimao analogamente al caso z=e la relazione y[k]= \frac 1 {(1-az^{-1})} x[k]

Questo ci permette di definire la funzione di trasferimento per sequenze zn: H(z)= \frac 1 {1-az ^{-1}}

Funzione appunto che risulta estensione al campo complesso e che verrà discussa nel seguito.

La funzione di trasferimento definita sul piano complesso.

La funzione di trasferimento definita sul piano complesso.


I materiali di supporto della lezione

Equazioni differenze primo ordine

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