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Sergio Cavaliere » 20.Filtraggio di immagini: ricerca dei contorni


Filtraggio in 2D

Abbiamo gia visto nella lezione 4 che i sistemi LTI in due dimensioni sono caratterizzati, al pari di quelli unidimensionali dalla formula di convoluzione:

y[n,m]=x[n,m]*δ[n,m]

y[n,m]= {\sum ^{k= \infty} _{k=- \infty}} {\sum _{l=- \infty} ^{\infty}} x[k,l]h[n-k,n-l]

La convoluzione si implementa mediante una finestra scorrevole sui dati (sliding window) che appunto è la risposta all’impulso unitario.
Richiamiamo anche la circostanza che trattandosi di maschere bidimensionali, i coefficienti di una risposta impulsiva crescono con il quadrato e costringono ad usare lunghezze relativamente brevi; inoltre in generale i filtri utilizzati sono filtri FIR, a risposta impulsiva finita.

Un modo semplice per progettare coefficienti di una risposta impulsiva usa il criterio che, di norma, all’elaborazione nelle due diverse direzioni, x ed y, non si richiedono risultati differenti; una sorta di criterio di invarianza nelle due direzioni che in realtà è una invarianza in tutte le direzioni.
Un semplice sistema è quello di progettare un filtro 1D con le caratteristiche desiderate – passa alto passa basso passa banda.

Filtraggio 2D passa-basso

Abbiamo già visto che la risposta impulsiva di un filtro che fa la media in 2D ha l’aspetto in figura nel caso di un filtro 3×3 con 9 campioni per la convoluzione. Il filtraggio è di tipo passa basso. I risultati sono nelle figure.

Immagine e spettro.
Immagine filtrata e spettro.
Si può osservare come la zona centrale dello spettro (basse frequenze) sia più estesa dopo il filtraggio. Viceversa all’estremo dei 4 quadranti (alte frequenze) il l’energia è minore nel caso dell’immagine filtrata.

Filtraggio 2D passa-alto

Con una matrice

h= \left[ \begin  {array}{ccc} 0 & {-1} & 0 \\ {-1} & 4 & {-1} \\  0 & {-1} & 0 \end{array} \right]

si può ottenere un effetto passa-alto. Nello spettro si osserva che il contributo in frequenza alle basse frequenze è minore nell’immagine filtrata è diminuito rispetto all’immagine di partenza.

Si osserva come nella matrice che definisce la risposta impulsiva troviamo segni discordi tra campioni adiacenti (per pesare appunto le variazioni ovvero le differenze, approssimazioni di una derivata). Inoltre il valore medio della risposta impulsiva è nullo.

Nello spettro si osserva che esso è stato reso più uniforme e le componenti a bassa frequenza sono praticamente scomparse.
L’informazione sull’immagine ha lasciato posto alla sola informazione sui dettagli.

Immagine e spettro.

Immagine e spettro.

Immagine filtrata e spettro.

Immagine filtrata e spettro.


Filtraggio 2D passa-alto (segue)

Se vogliamo ripristinare l’informazione sull’immagine nelle sue variazioni lente (basse frequenze) oltre a quella sui dettagli possiamo aggiungere i dettagli all’immagine di partenza.

L’immagine di partenza è “filtrata” dal filtro identico:

h_{ap}= \left[ \begin  {array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 \end{array} \right]

Possiamo sommare le due risposte impulsive con pesi 1 e 0.2 ottenendo

h= \left[ \begin  {array}{ccc} 0 & {-1} & 0 \\ {-1} & 4.2 & {-1} \\  0 & {-1} & 0 \end{array} \right]

e filtrare con quest’ultima.
Il risultato è in figura. Nello spettro si osserva l’energia minore delle basse frquenze.

Immagine e spettro.

Immagine e spettro.

Immagine filtrata e spettro.

Immagine filtrata e spettro.


Ricerca contorni mediante convoluzione

La ricerca dei contorni di una immagine si può fare mediante filtraggio lineare con opportuni filtri che mettano in evidenza le variazioni di intensità tra punti o zone adiacenti. Si mostrano di seguito i risultati ottenuti con alcuni filtri utilizzati allo scopo.


Esempi numerici di filtraggio lineare

Le prestazioni di filtri lineari sono comunque insufficienti allo scopo di rivelare contorni.

Si adottano per questo problema delle procedure non lineari, basate sul confronto con soglie opportune allo scopo di ottenere immagini contrastate che descrivano i contorni.
Su questi contorni poi possono essere sviluppati degli algoritmi per misurare le dimensioni di zone identificate dai contorni, ad esempio, organi, nel caso di radiografie, o cellule nel caso di immagini da microscopi.
Queste tecniche non lineari, proprio perché basate su soglie e decisioni logiche binarie, vanno al di là degli scop di questo corso.

Le immagini riportate servono esclusivamente a dare uno sguardo a queste potenti tecniche di elaborazione.

I contorni mediante filtro non lineare.

I contorni mediante filtro non lineare.

I contorni mediante filtro non lineare.

I contorni mediante filtro non lineare.


Materiali

Ancora nel caso di una immagine già vista abbiamo buoni risultati sempre con tecniche non lineari.

Ancora nel caso di una immagine già vista abbiamo buoni risultati sempre con tecniche non lineari.


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