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Sergio Cavaliere » 1.Introduzione al corso. I segnali a tempo continuo ed a tempo discreto.


Segnali a tempo continuo

Una prima classificazione dei segnali è quella che li distingue in segnali a tempo discreto e segnali a tempo continuo.

Per segnale a tempo continuo si intende un segnale il cui valore è definito in ogni istante di tempo;
il tempo è in questo caso una variabile continua, reale che va da -∞ a +∞, o anche un intervallo finito dell’asse dei numeri reali.

Un segnale a tempo continuo è quello che si può osservare sullo schermo di un oscilloscopio, quando si visualizza una tensione in un determinato circuito; un altro esempio è il valore della temperatura nel tempo, o ancora il valore di pressione in un determinato punto dello spazio investito da un campo sonoro prodotto da un suono.

Un segnale a tempo continuo può essere modellato da un funzione arbitraria del tempo: S(t) t∈R

Un segnale continuo è anche una immagine, ad esempio in toni di grigio, in cui ad ogni punto dell’immagine continua corrisponde un valore di grigio.

In tal caso un modello matematico è dato da un funzione arbitraria del piano, eventualmente definita in un rettangolo I che abbia le dimensioni dell’immagine.

s=s(x,y)……..(x,y)∈I……..I⊆R2

Se poi l’immagine è a colori, definita dall’intensità sui 3 colori fondamentali, RGB, rosso, verde e blu, essa sarà definita da una terna di funzioni, la cui variabile indipendente è definita con continuità.

Segnali a tempo discreto

Per segnale a tempo discreto s’intende invece un segnale definito soltanto ad intervalli discreti: questi intervalli hanno eventualmente il significato di intervalli di tempo, o di spazio nel caso delle immagini, ma in generale costituiscono l’indice di una sequenza (a tempo discreto) uni-dimensionale o a due dimensioni o anche ad un numero arbitrario di dimensioni.

Il modello matematico in tal caso è quello di una sequenza o successione, definita come funzione da Z, insieme dei numeri interi relativi, sull’insieme dei numeri reali: n∈Z→xn
ovvero più spesso n∈Z→x[n]
La parentesi quadra sta a denotare che si tratta di una sequenza discreta e non di una funzione nel continuo.

Nel caso bidimensionale avremo: (n,m)∈Z2xn,m
ovvero più spesso (n,m)∈Z2x[n,m]

Alcuni segnali sono intrinsecamente discreti, ad esempio le quotazioni di borsa, definite ad intervalli di tempo regolari, oppure i numeri derivanti dalle estrazioni del lotto, oppure le misure di temperatura fatte ad intervalli di tempo discreti. Sono anche discreti i segnali ottenuti dal campionamento nel tempo di segnali continui, ad esempio, riferendoci al caso dei segnali acustici, i campioni di questo segnale immagazzinati in un CD o nell’Hard Disk del nostro PC oppure trasmessi in rete. In tal caso il segnale discreto si può ottenere dai campioni del segnale continuo prelevati ad intervallo di tempo costante (campionamento uniforme): x[n]=x(nΔt)
Analogamente nel caso di una immagine digitale sarà s[n,m]=s(nΔ,mΔ), dove Δ è il passo di campionamento, uguale nelle due dimensioni x ed y.

Quantizzazione

Un secondo aspetto di discretizzazione, distinto da quello visto, è relativo invece al valore che assume il segnale.

Un segnale, sia a tempo discreto che a tempo continuo è un numero reale, quindi definito con continuità, eventualmente in un determinato intervallo di valori; ad esempio un segnale all’oscilloscopio è compreso nel range I=[0V, 5V] ed assume all’interno di questo un valore definito con continuità.

I segnali che studieremo sono segnali ideali di questo tipo, sia a tempo continuo che a tempo discreto.

Se però questi segnali vanno immagazzinati in un computer o elaborati con apparecchiature digitali allora essi vanno discretizzati (quantizzazione). Questa volta è discreto il valore che i segnali possono assumere.

Se ad esempio codifichiamo un segnale audio con 16 bit in un codice qualsiasi (ad esempio in complemento a due oppure in virgola fissa o in virgola mobile) i valori che il segnale può assumere sono discreti, limitati al numero al massimo di 216 valori diversi, distribuiti linearmente o no, a seconda del codice adottato, ma in numero finito, in rappresentanza quindi di valori discreti della loro ampiezza.

Segnale con ampiezza ‘continua’.

Segnale con ampiezza 'continua'.

Segnale con ampiezza discreta.

Segnale con ampiezza discreta.


La classe dei segnali in esame

Nel nostro studio dei segnali i segnali sia a tempo discreto che continuo sono definiti nel dominio dei reali R; essi possono assumere un valore definito con una precisione infinita. Questa semplificazione riduce di molto le complicazioni formali introdotte dalla quantizzazione.

In seconda istanza, nel caso di segnali discreti (a tempo discreto), studieremo l’effetto che la discretizzazione nei valori (quantizzazione) introduce nei segnali e nelle elaborazioni allo scopo di caratterizzare il rumore introdotto dalla quantizzazione.

Tornando ai segnali a tempo discreto o continuo osserviamo che la quasi totalità delle proprietà e delle trasformazioni che studieremo restano valide se al campo R dei numeri reali sostituiamo il campo C dei numeri complessi, le cui proprietà sono sostanzialmente identiche a quelle del campo dei reali.
In alcuni casi anzi la notazione complessa, nelle sue varie forme, vettoriale, algebrica, esponenziale, permette elaborazioni più semplici e risultati più chiari, come vedremo.
I nostri segnali quindi possono essere in generale segnali complessi.

Quando è di interesse un segnale reale si può considerare come parte reale o immaginaria di un segnale complesso.
Vedremo che nel caso complesso, grazie alla notazione esponenziale, alcune manipolazioni algebriche risultano più semplici e compatte.

Infine studieremo in parallelo sia sistemi digitali che sistemi analogici, perché le tecniche sono spesso simili ma anche perché anche se i segnali di interesse oggi sono tutti digitali, alcune tecniche di rappresentazione ed elaborazione risultano più intuitive se studiate nel dominio del continuo; inoltre in questo dominio si prestano spesso ad una notazione più compatta.

Operazioni sui segnali

Sui segnali possono essere compiute alcune operazioni legate a trasformazioni della variabile indipendente:

  • Ritardo.
  • Inversione del tempo.
  • Trasformazioni della variabile indipendente.
  • Scalatura.
  • Dilatazione.

Il ritardo consiste nel cambio di variabile t→t-t0

L’operatore ritardo Δ(t0) effettua la trasformazione g(t)=f(t-t0)
Se t0 è positivo si tratta di ritardo se è negativo di anticipo. Questo operatore è importante perché qualsiasi elaborazione del segnale introduce un ritardo.

L’inversione consiste nel cambio di variabile t→-t …. g(t)=f(-t); essa realizza l’inversione dell’asse dei tempi.

La scalatura e la dilatazione si ottengono con il cambio di variabile t→at per valori di a>1 e a<1 rispettivamente.

g(t)=f(at)

Esercizio: produrre e plottare un segnale e provare su questo le diverse trasformazioni illustrate.

Parità di un segnale

Un segnale è pari se vale la relazione: f(t)→f(-t)

Il grafico di un segnale pari è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate , come nel caso della funzione coseno.

Un segnale è dispari se vale la relazione: f(t)→-f(-t)

Il grafico di un segnale pari è antisimmetrico rispetto all’asse delle ordinate, come nel caso della funzione seno.

Ogni segnale può essere scomposto nelle sue componenti pari fp e dispari fd, il cui valore si può ricavare nel modo seguente:

f(t)=fp(t)+fd(t)

f(-t)=fp(-t)+fd(-t)=fp(t)-fd(t)

sommando e sottraendo le due:

f(t)+f(-t)=2fp(t)………….f(t)-f(-t)=2fd(t)

Da cui si ricava

f_d(t)=\frac {f(t)-f(-t)}2……………..f_p(t)=\frac {f(t)+f(-t)}2 (p come pari)

Esercizio: produrre e plottare un segnale e trovarne le sue componenti pari e dispari.

Segnali periodici

Un segnale si dice periodico se valgono le seguenti proprietà nel caso continuo:
\exists T >0: \forall t \in R ~~x(t)=x(t+T)
e nel caso discreto:
\exists N>0: \forall n \in Z~~x[n]=x=[n+N]
questa propretà vale anche per tutti i multipli interi di T o di N

x(t)=x(t+nT) ~~\forall n \in Z

x(t)=x(t+kN) ~~\forall n \in Z

occorrerà  quindi scegliere come periodo il minimo T o N che soddisfa la relazione di periodicità.
Occorre osservare esplicitamente che la versione “campionata” x[n]=x(nΔt) di un segnale a tempo continuo x(t) periodico non è sempre periodica; per esserlo occorre che il l’intervallo di campionamento sia sottomultiplo intero (o anche razionale) del periodo T In tal caso il segnale campionato avrà periodo N. In realtà la condizione di periodicità è che T sia in rapporto razionale con Δt:

t= \frac N K \Delta t

In tal modo il periodo sarà ancora N ma sarà l’equivalente discreto del periodo che non è il periodo “minimo” di x(t) bensì un suo multiplo intero.La definizione di periodo in questi casi cade per così dire in difetto nel caso dei segnali periodici. Tuttavia analizzando il segnale nel dominio della frequenza troveremo comunque un picco corrispondente alla frequenza analogica 1/T o alla versione discreta di questa più vicina a 1/T; questo anche se il segnale non è esattamente costituito da uno spettro rigorosamente a righe.

Il segnale esponenziale complesso

Un segnale di particolare importanza del dominio della teoria dei segnali è il segnale esponenziale complesso;

x(t)=Ceat

con C ed a complessi.Consideriamo il caso semplice C =1 reale ed a immaginario puro a=jω; avremo:

x(t)=ejωt

x(t)=ejω(t+T)=ejωtejωT

Il segnale è periodico, difatti possiamo cercare il valore di T che soddisfa la relazione:

ejωt=ejω(t+T)=ejωtejωT

Questa uguaglianza implica cha sia ejωT=1
e quindi T=2nπ con n intero
Il grafico tridimensionale della funzione è in figura, insieme alle componenti reale ed immaginaria del segnale.

Segnale esponenziale complesso.

Segnale esponenziale complesso.


Segnale esponenziale complesso, modulo costante

Per pulsazione ω maggiore del caso precedente abbiamo il segnale in figura.

Si osservi inoltre che nell’espressione del segnali si può aumentare a piacere la pulsazione ω ottenendo segnali sempre diversi, caratterizzati da frequenze crescenti, la frequenza dunque può variare da 0 ad ∞ con continuità, a differenza di quanto accade nel discreto, come vedremo in seguito. Anche dal punto di vista della percezione all’aumentare della pulsazione del segnale la sensazione acustica è di altezza del suono sempre crescente, naturalmente nell’ambito dell’intervallo di sensibilità delll’orecchio (circa 20Hz-20kHz).

Si può osservare in figura le componenti reale ed immaginaria del segnale complesso, sotto forma di proiezione del segnale sui piani coordinati.

Se infine C è complesso il segnale ha lo stesso aspetto con modulo pari a |C| e fase arg(C)

Segnale esponenziale complesso a frequenza maggiore.

Segnale esponenziale complesso a frequenza maggiore.


Segnale esponenziale complesso, modulo variabile

Infine a può essere complesso ma avere una parte reale non nulla:

C=|C|e………..a=r+jω

In tal caso sarà: z(t)=Cert=|C|ertej(θ+ωt)

Il segnale oscillante già visto va moltiplicato per ert funzione crescente per r>0 e decrescente (caso di interesse per noi) per r<0. La fase di C determina lo sfasamento dell’oscillazione. Il diagramma di questo segnale è in figura per due diversi valori della costante di decadimento r. Si osservi che più piccolo è r in modulo e più lento è il decadimento esponenziale (smorzamento) del segnale: le due figure illustrano due casi diversi. Nel caso r=0 si ricade nel caso di oscillazione di modulo costante, mentre nel caso r>0 abbiamo un segnale di modulo crescente nel tempo e divergente.

Esponenziale complesso con costante di decadimento grande in modulo.

Esponenziale complesso con costante di decadimento grande in modulo.

Esponenziale complesso con costante di decadimento con modulo minore.

Esponenziale complesso con costante di decadimento con modulo minore.


Periodicità dell’esponenziale complesso discreto

Il segnale esponenziale complesso nel continuo x(t)=ejωt è periodico di periodo T= \frac {2 \pi} \omega

Infatti     x(t+T)= e^{j \omega (t+T)}=e^{j \omega t} e^{j\omega \frac{2 \pi} \omega}= e^{j \omega t}= x(t)

Nel caso discreto invece il segnale esponenziale complesso, cioè la sequenza x[n]=ejωn

non è periodico per ogni valore della pulsazione ω.

Infatti detto N il suo periodo la condizione di periodicità sarà: ejωn = ejω(n+N) = ejωn ejωN

dovrà quindi essere: ejωN=1 …… ωN=2kπ

Quindi solo i valori della pulsazione \omega_k= 2 \pi \frac k N con k=0…N-1,  generano segnali di periodo N.

Invertendo questa formula si ricava  \frac {\omega_k}{2 \pi}= \frac k N quindi i valori della pulsazione che rendono periodico di periodo N il segnale risultano essere in rapporto razionale (e non arbitrario) con 2π.

Pulsazione e frequenza nel discreto

Questi valori della pulsazione poi non si estendono nel range 0….∞ ma sono limitati all’intervallo [0 2π]. Infatti il segnale discreto x[n] è periodico, oltre che rispetto ad n anche rispetto ad ω di periodo 2π:

x[n]= ejωn= e j(ω+Ω)n= ejωnejΩn

Quindi Ω= 2π

 

Infine si osservi che e^{j(2 \pi - \omega_0)n}= e ^{j 2 \pi n} e^{-j \omega_0 n}= e^ {\overline {j \omega_0n}}

quindi i due segnali discreti e0n e e j( 2 π- w0)n

sono l’uno il complesso coniugato dell’altro ovvero differiscono soltanto per la fase e non per la frequenza; prescindendo dalla fase dunque coincidono.

L’andamento dunque della pulsazione, quindi della frequenza, è indicata nella figura a fianco, ed è in pratica significativa soltanto nell’intervallo [0 π] e non, come nel caso continuo, nell’intervallo [0  +∞]

La pulsazione nel caso discreto aumenta da 0 a π, diminuisce da un massimo a 0 da  π fino a 2 π.

L’andamento viene poi ripetuto.

Segnali oscillanti di periodo assegnato

Nella seguente figura sono graficate a titolo di esempio la parte reale delle sequenze esponenziali complesse

w_{n}^{k}[n]=e^{j \omega k^n}= e^{j2 \pi \frac k N n}= 2 \pi \frac k N

nel caso di periodo N=8 e k=0….9. Si può osservare che per k=N=8 si ottiene nuovamente la sequenza ottenuta per k=0, k=N+1=9 si ottiene nuovamente la sequenza ottenuta per k=1 e così via.

Si osservi che se N è il periodo di tutte le sequenze rappresentate, viceversa in alcuni casi N non è il minimo periodo.

Ad es.per k=2 i periodi sono 4 e 8


Armoniche di periodo assegnato

Per un valore di N=64 nella figura seguente sono rappresentate le sequenze wnkN nella loro componente immaginaria; queste sequenze sono la fondamentale e le armoniche; è chiaro anche dalla figure come le sequenze simmetriche rispetto al valore k=32 sono sfasate di π ma hanno la stessa frequenza.

La constatazione che le sequenze periodiche di periodo N sono esattamente N e non in numero infinito come nel caso continuo, suggerisce un risultato che sarà provato più avanti:
qualsiasi sequenza periodica di periodo N può essere ottenuta come combinazione lineare delle sequenze di periodo N.
Ognuna moltiplicata per un coefficiente complesso ak. Questo coefficiente complesso darà il contributo di quella particolare sequenza (quindi di quella particolare armonica) alla formazione del segnale finale.

Componente seno degli esponenziali di periodo 64.

Componente seno degli esponenziali di periodo 64.


I materiali di supporto della lezione

Sono rese disponibili in rete dal docente alcune risorse, utili per consultazione ma anche per procurare materiale, dati, segnali ed immagini utili per esercitare gli algoritmi DSP di questo corso.

Come strumento di lavoro per esercizi e simulazioni useremo Matlab, uno standard nel campo del software matematico,. Di questo programma commerciale è disponibile in rete un sostituto freeware: GNU OCTAVE.

Global JOS Index

HyperMath

Hyperphysics

Informatica Musicale, Sintesi ed Elaborazione del Suono per la Multimedialità

Introduction to Sound Processing

Materiale per l’Elaborazione dei segnali per la multimedialità

OCTAVE

The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing

Wolfram MathWorld: The Web's Most Extensive Mathematics Resource

Elaborazione dei segnali per la multimedialità - Cap. I Segnali.

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