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Sergio Cavaliere » 2.Segnali, energia e potenza


Gradino unitario ed impulso unitario

L’impulso unitario si può definire con la condizione:

\delta [n] = 0~~ se~~ n \neq 0

1 ~~ se ~~ n = 0

Il gradino unitario è la sequenza definita nel modo seguente:

u[n] = 0 ~~se ~~ n<0

1~~se ~~n \ge 0

Questi segnali godono di semplici proprietà:

\delta [n] = u[n] - u [n-1]

x[n]\delta[n] = x [0]\delta[n]

u[n]= {\sum ^{\infty} _{k=0}} \delta [n - k]

Quest’ultima relazione si può verificare invertendo ripetutamente la prima proprietà:

u[n]=\delta[n] + u [n-1]

u[n] = \delta[n] + \delta [n-1] + u [n-2]

u[n] = \delta[n] + \delta [n-1] + u [n-2] u[n-3]

………………………………

Impulso unitario nel discreto.

Impulso unitario nel discreto.

Gradino unitario nel discreto.

Gradino unitario nel discreto.


Il rumore

Useremo spesso del rumore come segnale per eccitare dei sistemi o filtri.

Il rumore che useremo è il rumore bianco segnale che ha alle diverse frequenze uguale contributo.

Questo rumore può avere diverse distribuzioni statistiche; le più comuni sono:

  • la distribuzione statistica uniforme: i campioni sono distribuiti con uguale probabilità in un range finito ad es. [0 1];
  • la distribuzione statistica normale: i campioni sono distribuiti con legge di probabilità gaussiana intorno ad un valore centrale (ad es. 0 per segnali alternativi) ed una varianza che misura la “larghezza” della curva gaussiana. In tal caso il range non è finito: la probabilità di avere un valore grande a piacere è piccola ma non è mai nulla.
Distribuzione statistica uniforme.

Distribuzione statistica uniforme.

Distribuzione statistica normale.

Distribuzione statistica normale.


Rumore tempo variante

Il rumore può avere caratteristiche in frequenza, ottenute filtrando rumore a composizione spettrale costante:

  • rumore colorato:
  • rumore colorato a spettro che evolve nel tempo ottenuto con un filtro tempo variante.
Rumore colorato.

Rumore colorato.

Rumore tempo variante.

Rumore tempo variante.


Il rumore nei segnali

Tutti i segnali del mondo reale sono in qualche misura affetti da rumore; questo rumore compromette la qualità del segnale ma in alcuni casi anche l’intellegibilità.

Nel campo del DSP sono molto sviluppate tecniche per l’ abbattimento del rumore, algoritmi spesso molto complessi ma molto efficienti.

Segnale originario e suo spettro. Segnale affetto da rumore e suo spettro.

Segnale originario e suo spettro. Segnale affetto da rumore e suo spettro.


Il rumore nelle immagini

Il rumore è molto importante anche nelle immagini; anche qui le tecniche di abbattimento del rumore sono importanti e molto sviluppate.

Immagine in bianco e nero. L’immagine di partenza è usualmente utilizzata  nel DSP per la valutazione di algoritmi  diversi di elaborazione delle immagini.

Immagine in bianco e nero. L'immagine di partenza è usualmente utilizzata nel DSP per la valutazione di algoritmi diversi di elaborazione delle immagini.


Energia e Potenza dei segnali

A partire dalle definizioni di energia e potenza date nel caso dei sistemi meccanici, si può passare nel caso dei sistemi elettrici alle seguenti definizioni.

Il punto di partenza è il Lavoro compiuto da una forza che può essere di natura meccanica ma anche elettrica. Si intende per potenza il lavoro ovvero l’energia per unità di tempo, ovvero la derivata dell’energia rispetto al tempo.

Nel caso di un circuito elettrico la potenza associata ad una corrente v(t) ed a una tensione i(t) è la grandezza istantanea p(t)=v(t)i(t); nel caso di circuito dissipativo con resistenza R utilizzando la i(t)=v(t)/R si ricava p(t)= v2(t)/R=R i2(t).
Se dunque si considera la resistenza unitaria, R=1Ω per un generico segnale x(t) si avrà la seguente definizione di potenza media o tout court potenza (nel caso che il limite esista):

P = \langle i^2 (t) \rangle = \int ^{\infty} _{- \infty} i^2 (\tau)d\tau = lim _{T \rightarrow \infty} \frac 1 T \int _T i ^2 (\tau)d \tau

L’energia in un determinato intervallo di tempo T è quindi:

E_T = \int _T p(\tau)d\tau = \int _T |x(\tau) |^2 d\tau = lim_{T \rightarrow \infty} \int _T |x (\tau)^2 d\tau<br />

e, sempre nel caso di convergenza del limite, l’energia totale del segnale sarà:

E = lim _{T\rightarrow \infty} E_T = lim _{T \rightarrow \infty} \int _T |x(\tau)|^2 d \tau

Segnali a tempo continuo

Nelle definizioni date si è usato il valore assoluto del segnale, per includere nella definizione il caso di segnale complesso. Nel caso reale invece questo valore assoluto si può omettere. Si osservi che energia e potenza permettono di distinguere i segnali in:

  • segnali di energia, cioè segnali ad energia finita e
  • segnali di potenza in cui l’energia è infinita ma la potenza viceversa è finita.

Segnali invece a potenza non finita non sono di interesse pratico. I segnali di energia, sulla base della definizione, che prevede l’integrale di un modulo al quadrato, quindi di una grandezza positiva su tutto l’asse reale, devono avere necessariamente supporto finito: essi sono cioè i segnali di durata limitata. Se però un segnale non ha supporto limitato e l’integrale che definisce l’energia non converge, può invece convergere il suo valore medio nel tempo. È il caso dei segnali periodici.

Se ad esempio consideriamo il segnale periodico x(t) =sin(t) sarà:

P = \langle x^2 (t)\rangle = lim _{T \rightarrow \infty} \frac 1 T \int _T sin^2 (t)d

Prendendo in considerazione l’intervallo T=[0-2π] pari al periodo della funzione in esame avremo:

P_T = \frac 1 {2\pi} \int _{0} ^{2\pi} [ 1 -cos^2 (t)]dt = \frac 1 {2\pi}[t]^{2\pi}_0 \int _0 ^{2\pi} cos^2(t)dt

P_T =\frac 1 {2\pi} \int _0 ^ {2\pi} sin^2(t)dt= \frac 1 2

Energia e potenza nel continuo

Se nel circuito passa invece dell’alternata una corrente continua I la potenza è I2, infatti:

P_T =\frac 1 {2\pi} \int _{2\pi}I^2 dt=I^2

Le due correnti, sinusoidale e continua darebbero la stessa Potenza se I2 = ½ e cioè I =\frac 1 {\sqrt 2}

Nel caso di ampiezza arbitraria si può affermare che una corrente sinusoidale di ampiezza A è equivalente dal punto di vista della potenza ad una corrente continua di

Ampiezza \frac A {\sqrt 2} che si dirà quindi valore efficace dell’alternata; le due correnti in figura sono in breve equivalenti dal punto di vista energetico.

Segnale alternato e segnale costante di uguale potenza.

Segnale alternato e segnale costante di uguale potenza.


Energia e potenza nel discreto

In analogia al caso continuo nel caso discreto si definiscono energia e potenza di un segnale x[n] nel modo seguente:

E = \sum _ {n = - \infty} ^ {\infty} |x [n]|^2

P= lim_ {N \to \infty} \frac 1 N \sum _N |x[n]|^2

Anche nel caso discreto si usa la classificazione tra segnali di energia e segnali di potenza. Si può verificare che per un segnale discreto sinusoidale detto N il suo periodo si ha:

P= \frac 1 N \sum _0 ^{N-1} |x[n]|^2 = \frac 1 2

Le misure di potenza sono spesso fatte in una scala logaritmica, utile nei casi in cui i segnali abbiano ampiezze diverse tra di loro anche di diversi ordini di grandezza (dinamica). In questi casi si può usare una scala semilogaritmica per le ordinate dei segnali da rappresentare.

Energia e potenza nel discreto (segue)

Esiste però una scala di misura in particolare per le potenze che è la scala in decibel (dB). Il bel si definisce mediante il logaritmo: x-> log(x) quindi x Bel=log(x). Risulta però più agevole usare un multiplo di 10 di questa unità, detto appunto decibel o dB definito come: y dB=10log(x).
Questo per le potenze. Nel caso invece in cui abbiamo l’ ampiezza di un segnale, ad esempio corrente di ampiezza A la potenza sarà A2 e la sua misura in dB sarà 10log(A2 )= 20log(A). Per dettagli sulla scala in dB in particolare nel campo acustico vedi dB: What is a decibel?

I materiali di supporto della lezione

Energia e potenza

Lena

Noise test

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