Abbiamo ricavato le seguenti formule relative alle DFS Serie di Fourier Discrete:
La relazione di analisi è stata riscritta nell versione della DFT discreta Fourier Transform nella forma:
Questa coppia di trasformazioni si può scrivere, posto
Come abbiamo sottolineato le trasformazioni sono simili. Gli esempi saranno dunque comuni ai due casi, ma riferiti prevalentemente alla dFT.
Vale la coppia:
Infatti supponiamo che sia nell’intervallo [0, N-1]
Avremo
(nella somma l’unico termine non è nullo è quello per n=0).
Vale la coppia
Infatti se l’impulso unitario è ritardato di n0 campioni x[n]=δ[n-n0] avremo che l’unico termine non nullo della sommatoria sarà quello per n=n0
E immediato verificare che per l’impulso unitario centrato nell’origine δ(n) la trasformazione dà:
Quindi il modulo sarà costante e la fase nulla, come si verifica con la simulazione in figura.
Da notare che analisi e ricostruzione sono esatte, naturalmente nei limiti della precisione macchina.
E’ immediato verificare che per l’impulso unitario ritardato di n0: δ(n-n0) la trasformazione dà:
Quindi il modulo sarà costante e la fase, lineare con k, copre il range
Ad es per m=1 il range è [0 ~ 2π], per m=N/2 il range è [0 ~ πm]
Antitrasformiamo ora uno spettro costante
quindi
cioè: x[n]=δ[n]
La prima di queste eguaglianze per n=0 è semplice
Per la seconda nel caso n ~ =0 consideriamo la somma della serie geometrica di ragione a: ak
Vale la coppia:
Questa formula ci dice che ad un ritardo nel dominio del tempo corrisponde uno sfasamento nel dominio della frequenza: la forma dello spettro, cioè il modulo delle componenti X[k] rimane immutato.
Si può verificare con un ragionamento analogo al precedente, che per semplicità non sviluppiamo ed è riportato estesamente nel testo nella sezione Materiali.
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