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Sergio Cavaliere » 12.Serie Discrete di Fourier: esempi


Serie Discrete di Fourier: richiami

Abbiamo ricavato le seguenti formule relative alle DFS Serie di Fourier Discrete:

x[n]=\sum_{k\in \langle N \rangle} a_k\varphi_k[n]=\sum_{k\in \langle N\rangle}a_ke^{jk\frac{2\pi}N n}~~~~~n=0 ... N-1

a_k=\frac  1 N \sum_{k \in \langle N\rangle} x[n]\varphi_n^*[k]=\frac 1 N \sum_{k\in\langle N\rangle}x[n]e^{-jk \frac{2\pi}N n}

La relazione di analisi è stata riscritta nell versione della DFT discreta Fourier Transform nella forma:

X[k]=Na_k=\sum_{k\in \langle N\rangle}x[n]\varphi_n^*[k]=\sum_{k\in\langle N\rangle}x[n]e^{-jk\frac {2\pi}N n}

Questa coppia di trasformazioni si può scrivere, posto W_N=e^{j\frac {2\pi}N}

X[k]=\sum_{n\in \langle N\rangle}x[n]W_N^{nk}

x[n]=\frac 1 N \sum_{k\in \langle N\rangle}X[k]W_N^{-kn}

Come abbiamo sottolineato le trasformazioni sono simili. Gli esempi saranno dunque comuni ai due casi, ma riferiti prevalentemente alla dFT.

DFS esempi

Vale la coppia:

\delta[n]\stackrel{DFT}{\longmapsto}X(k)=1~~~~~\forall k

Infatti supponiamo che sia x[n]=\delta[n] nell’intervallo [0, N-1]

Avremo

X[k]=\sum_{n\in \langle N\rangle} x[n]W_N^{nk}=\sum_{n\in\langle N\rangle}\delta[n]W_N^{nk} = W_N^{0k}=1 ~~~~\farall k\in[0,N-1]

(nella somma l’unico termine non è nullo è quello per n=0).

Vale la coppia

\delta[n]\stackrel{DFT}{\longmapsto} e^{j\frac{2\pi n_0k}N}

Infatti se l’impulso unitario è ritardato di n0 campioni x[n]=δ[n-n0] avremo che l’unico termine non nullo della sommatoria sarà quello per n=n0

X[k]=\sum_{n\in\langleN\rangle}x[n]W_N^{nk}=W_N^{n_0k}=e^{j\frac{2\pin_0k}n}~~~~~\forall k\in[0,N-1]

DFS dell’impulso unitario

E immediato verificare che per l’impulso unitario centrato nell’origine δ(n) la trasformazione dà:

|X[k]|=1~~~~\forll k\in[0, N-1]

\text{arg}(X[k])=0

Quindi il modulo sarà costante e la fase nulla, come si verifica con la simulazione in figura.
Da notare che analisi e ricostruzione sono esatte, naturalmente nei limiti della precisione macchina.

Diagramma 1  Impulso unitario δ(n); diagramma 2  trasformata dell’impulso unitario; diagramma 3  fase della trasformata; diagramma 4  segnale ricostruito.

Diagramma 1 Impulso unitario δ(n); diagramma 2 trasformata dell'impulso unitario; diagramma 3 fase della trasformata; diagramma 4 segnale ricostruito.


DFS dell’impulso unitario ritardato

E’ immediato verificare che per l’impulso unitario ritardato di n0: δ(n-n0) la trasformazione dà:

|X[k]|=1~~~~\forll k\in[0, N-1]

\text{arg}(X[k])=0

Quindi il modulo sarà costante e la fase, lineare con k, copre il range

\Biggl[ 0, \frac {2\pi m(N-1)}N\Biggr]}\approx [0,2\pi m]\text{per N grande}

Ad es per m=1 il range è [0 ~ 2π], per m=N/2 il range è [0 ~ πm]

diagramma 1  Impulso unitario δ(n-n0); diagramma 2  trasformata dell’impulso unitario; diagramma 1  fase della trasformata; diagramma 1  segnale ricostruito.+

diagramma 1 Impulso unitario δ(n-n0); diagramma 2 trasformata dell'impulso unitario; diagramma 1 fase della trasformata; diagramma 1 segnale ricostruito.+


Antitrasformazione di uno spettro costante

Antitrasformiamo ora uno spettro costante X[k]=1 ~~~~~\forall k

x[n]=\frac 1 N \sum_{k\in \langle N\rangle}X[k]W_N^{-kn}=\frac 1 N \sum_{k=0}^{N-1}W_N^{-kn}

quindi

\left\{\begin{array}{rl}x[n]=1 ~~~\text{se}~n=0\\x[n]=0~~~~~\text{se}~n\neq 0 \end{array}\right

cioè: x[n]=δ[n]

La prima di queste eguaglianze per n=0 è semplice

x[0]=\frac 1 N \sum_{k=0}^{N-1}W_N^{-k0}=\frac 1 N \sum_{k=0}^{N-1}1 = 1

Per la seconda nel caso n ~ =0 consideriamo la somma della serie geometrica di ragione a: ak

\frac {1-a^N}{1-a}~~~~~a=e^{-j\frac{2\pi k}N} ~~~~~a^N=e^{-j\frac{2\pi kN}N}=1

La proprietà del ritardo

Vale la coppia:

x[n-n_0]=x[n]\otimes ~\delta[n-n_0] \stackrel{DFT}\longleftrightarrow X(k)e^{j\frac{2\pi n_0k}N}

Questa formula ci dice che ad un ritardo nel dominio del tempo corrisponde uno sfasamento nel dominio della frequenza: la forma dello spettro, cioè il modulo delle componenti X[k] rimane immutato.

Si può verificare con un ragionamento analogo al precedente, che per semplicità non sviluppiamo ed è riportato estesamente nel testo nella sezione Materiali.

I materiali di supporto della lezione

Serie di Fourier Discrete: esempi

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