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Sergio Cavaliere » 10.Segnali continui: Serie di Fourier e Trasformata di Fourier


Fourier

La rappresentazione dei segnali nel dominio della frequenza

All’origine della classe di trasformazioni in frequenza c’è l’elaborazione scientifica di Fourier, una delle conquiste della matematica e della scienza che più hanno avuto impatto profondo e duraturo sullo sviluppo sia del sapere scientifico che di innumerevoli settori applicativi ed ingegneristici.

Fourier sviluppò la teoria matematica dello sviluppo in serie di funzioni affrontando un problema specifico di propagazione del calore. In questa elaborazione Fourier utilizzò funzioni trigonometriche (seni e coseni) ipotizzando, contro l’evidenza ed il sapere scientifico dei tempi, che questo sviluppo fosse possibile per un’ampia classe di funzioni. Il risultato dovuto a Fourier è che una larga classe di funzioni matematiche possono essere rappresentate mediante la loro serie di Fourier. L’idea, nuova a quel tempo (1807) incontrò vivace opposizione degli altri matematici dell’autorità scientifica, ad esempio di Laplace.

La teoria di Fourier ha oggi applicazioni estremamente ampie in tutti i settori della matematica e delle scienze applicate.

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830 ). Il testo in cui sono introdotti i concetti base della teoria e’ «MEMOIRE sur les temperatures du globe terrestre et des espaces planetaires» (1827). Immagine tratta da:  Wikipedia

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830 ). Il testo in cui sono introdotti i concetti base della teoria e' «MEMOIRE sur les temperatures du globe terrestre et des espaces planetaires» (1827). Immagine tratta da: Wikipedia


Premessa

Occorre osservare che la teoria di Fourier, pur avendo un impianto sostanzialmente unico si specializza significativamente quando si trattano classi diverse di funzioni, periodiche e non periodiche, con l’ulteriore differenziazione tra continuo e discreto. Avremo quindi:

  • Serie di Fourier a tempo continuo (FS Fourier series);
  • Trasformata di Fourier per segnali a tempo continuo (FT Fourier Transform);
  • Serie Discreta di Fourier per segnali discreti periodici (DFS discrete Fourier Series);
  • Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT Discrete Time Fourier Transform);
  • Trasformata Z (Z Transform).

Nel lucido successivo riportiamo una tabella sinottica con le formule relative ai vari casi, che vale come anticipazione di quello che svilupperemo nel seguito. Rimane comunque unico l’impianto della teoria così come spesso molto simili sono le dimostrazioni che si sviluppano nei vari casi. In questa lezione svilupperemo la teoria di Fourier nel continuo, cioè per funzioni definite su tutto l’asse reale. Poiché però argomento principale del corso è la teoria dei segnali a tempo discreto, questa parte va vista esclusivamente come introduzione all’argomento e non richiede particolare approfondimento. Nella sezione materiali, per chi volesse approfondire è riportato un testo in cui lo stesso argomento è sviluppato con approfondimenti e dimostrazioni estese. Nella sezione materiali poi si può trovare un altro testo sulle Autofunzioni; si tratta di un approccio alle trasformate un po’ più complesso formalmente ma che si rivela utile poi per giustificare in modo molto compatto alcuni risultati; si tratta di un approfondimento inessenziale per gli scopi di questo corso, che può tuttavia essere utile consultare.

Una tabella di Trasformazioni di Fourier


Serie di Fourier nel continuo

A partire dalla introduzione delle serie di Fourier, è senso comune la constatazione che un segnale periodico può essere visto come somma di componenti sinusoidali di ampiezza e fase opportuna, e di frequenza multipla di una fondamentale che si chiama anche altezza del segnale.
Questa evidenza è supportata dall’evidenza acustica del concetto di altezza del suono, di consonanza, di melodia e di tanti aspetti psicoacustici legati anche allo sviluppo della musica, degli strumenti musicali, della teoria musicale, scale, accordi e così via.
Le sinusoidi componenti sono le più semplici oscillazioni periodiche percepite dall’orecchio umano: questo infatti è in grado di distinguere se non altezze assolute, la consonanza (unisono) ed i rapporti intervallari tra le altezze. Tutta o gran parte della musica è basata su questa percezione delle altezze.

Da un punto di vista formale, lo sviluppo in serie di Fourier di una funzione periodica è descritto in modo più compatto con una espansione invece che in componenti sinusoidali, mediante esponenziali complessi data dalla formula seguente:

x(t)= {\sum _{k=- \infty} ^ \infty} a_k e^{jk \omega} {_0}{^t} …………………………. T= \frac {2 \pi} {\omega _{0}}.

Specializzeremo poi questa espansione in formule più usuali.

I termini di ordine +/-k hanno la stessa frequenza e fase opposta.

Naturalmente data una funzione periodica occorre verificare che essa ammetta o meno uno sviluppo in serie di Fourier perché la serie che compare nella formula è una serie infinita di cui quindi non è sempre garantita la convergenza.

Serie in seni e coseni o solo coseni

Nel caso affermativo lo sviluppo lo sviluppo in esame gode di alcune proprietà.

Proprietà di antisimmetria: se x(t) è reale sarà a_{-k}= \bar a_k e sarà a0 reale.

A partire da questa proprietà si possono ricavare le seguenti espansioni in serie di seni e coseni a fase nulla ovvero in soli coseni con uno sfasamento diverso per ogni armonica. Queste formule sono più usuali anche perchè, come già detto, hanno un preciso corrispettivo acustico.

Serie di Fourier seni e coseni, nel caso x(t) reale:

x(t)=a_0 + \sum _{k=1}^ \infty {(B_k cosk\omega_0 + C_k sin k\omega_0t)}

Serie di Fourier solo coseni, nel caso di x(t) reale:

x(t)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty} A_k cos{(k\omega_0t+\varphi_k)}

I coefficienti ak,Ak,Bk, si possono facilmente mettere in relazione tra di loro (vedi dimostrazione nella sezione Materiali).

Determinazione dei coefficienti della serie

I coefficienti della seri di Fourier di una funzione periodica di periodo T= \frac {2\pi}{\omega_0} sono dati dalla formula:

a_n=\frac 1 T \int _{0}^{T_0}x(t)e^{-jn\omega_0t}{dt}

In casi molto semplici i coefficienti si determinano per semplice confronto con la formula dello sviluppo.

Ad esempio

x(t)=sin(\omega t)=\frac 1 {2j} {(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})} quindi della serie infinita sono nulli solo a_1=\frac 1 {2j} e a_{-1}= - \frac 1 {2j} e così pure:

x(t)=cos{(\omega t)}=\frac 1 2 {(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})} quindi a_1=\frac 1 2 e a_{-1}=\frac 1 2

Tabelle di trasformate in rete

Gli esempi visti permettono in modo semplice il calcolo dei coefficienti dello sviluppo in serie.

I casi che possono essere trattatati sono molto numerosi ed a volte formalmente complessi: una trattazione estesa va oltre gli obiettivi di questo corso.

In rete si trovano molte tabelle di questa trasformazione di Fourier per segnali periodici.
Utile ad esempio è presente nel sito Mathworld

E’ anche utile il seguente programma che calcola Serie di Fourier e somme parziali, e fornisce i relativi grafici.

Nel testo allegato nella sezione Materiali sono sviluppate estesamente alcune dimostrazioni e verifiche.

La trasformata di Fourier

Tra le trasformazioni introdotte nella teoria dei sistemi la più rilevante è sicuramente la trasformata di Fourier Questa costituisce una estensione delle serie di Fourier e permette la rappresentazione in frequenza di funzioni che non essendo periodiche non ammettono una trasformazione in serie di Fourier.

X(\omega)= \int _{- \infty}^{\infty} {x(t) e^{-j\omega t}dt}

x(t)= \frac 1 {2\pi} \int _{-\infty} ^{\infty} X(\omega)e^{j\omega t} d \omega}

La prima di queste formule si chiama formula di analisi e caratterizza il contenuto in frequenza del segnale x(t), cioè il suo contenuto spettrale.

La seconda si dice formula di ricostruzione perché permette di ricostruire il segnale x(t) a partire dalla sua descrizione in frequenza: la x(t) viene scomposta in una infinità continua di esponenziali, cioè funzioni oscillanti di durata infinita.

La X(ω) si può quindi pensare come l’ampiezza delle infinite componenti in frequenza del nostro segnale, cui corrisponderà una precisa percezione fisica; se, ad esempio la X(ω), come in tutti i fenomeni fisici è una funzione passa basso, con contenuto in frequenza limitato a frequenze molto basse, ad es. 200Hz, la sensazione acustica sarà di un tono o di un insieme di bassi; se la X(ω) si riferisce ad un sistema di filtraggio ed è accordato su di una frequenza, ad es. di 400Hz, dedurremo che il segnale in uscita da questo filtro subirà una accentuazione delle frequenze intorno ai 400 Hz e così via. E’ chiaro quindi il contraltare percettivo della trasformazione di Fourier.

La formula di commutazione

La formula di commutazione e il calcolo ‘operazionale’

La motivazione dell’uso delle trasformate integrali e di quello che viene chiamato calcolo operazionale deriva dalla proprietà espressa dalla formula di commutazione, valida per un’ampia classe di trasformazioni.

Riferendoci al caso più semplice, quello della Trasformata di Fourier, considerando l’operatore lineare derivata \frac d {dt} la proprietà di commutazione si esprime nella forma:

x(t) \stackrel{Fourier ~Transform}{\longleftrightarrow} X(\omega) allora: \frac {dx(t)}{dt} \stackrel{Fourier ~Transform}{\longleftrightarrow} j\omega X(\omega).

Duale di queste proprietà è la seguente: \int_{-\infty}^t x(\tau)d\tau \stackrel{Fourier Transform}{\longleftrightarrow}\frac {X(\omega)} {j\omega}+\piX(0) \delta(\omega).

Questa proprietà, in pratica, trasforma operazioni differenziali (derivata, integrale) in operazioni algebriche, moltiplicazioni o divisione per jπ; in pratica una complessa equazione integro-differenziale nel dominio di partenza, il dominio del tempo, si trasforma in una più sempilce equazione algebrica, di facile soluzione; la trasformata inversa della soluzione poi, fornirà la soluzione cercata nel dominio del tempo.

Un esempio di applicazione di queste proprietà, ampiamente usato nello studio dei circuiti elettrici in regime sinusoidale è quello che permette di risolvere le complesse equazioni differenziali di un circuito elettrico semplicemente risolvendo l’equazione algebrica in termini di vettori rotanti complessi e di impedenze complesse.

Il circuito RLC nel dominio della frequenza

In un circuito RLC serie ad es. la corrente che passa nel circuito è retta dall’equazione:

v(t)=Ri(t)+L \frac {di(t)} {dt} + \frac 1 C \int _{- \infty} ^{t} i (\tau)d \tau

La soluzione di questa complessa equazione integro-differenziale può essere ottenuta, con il metodo della trasformata, nel dominio della variabile ω, dalla più semplice equazione algebrica

V=RI+j \omega LI + \frac 1 {j \omega C}I= I \cdot Z dove l’impedenza Z è Z=R+ j \omega L + \frac 1 {j \omega C} da cui si ricava che per ingresso sinusoidale l’uscita è sinusoidale con ampiezza e fase ricavate dalla relazione di sopra.
Tornando con la trasformata inversa, quindi dal dominio della variabile ω al dominio del tempo si ottiene la soluzione nel tempo nella forma di una sinusoide con ampiezza e fase ricavate dall’impedenza Z.

La riduzione da equazioni integro differenziali a semplici equazioni algebriche permette di ottenere molto semplicemente, soluzioni per sistemi anche complessi, ma anche di studiarne il comportamento in frequenza e caratterizzarne l’aspetto di filtraggio implicito nell’uso di questi sistemi. Queste soluzioni come già detto si riferiscono al funzionamento in regime sinusoidale quindi in regime stazionario.

Nel caso un po’ più complesso di regime transitorio occorre utilizzare la trasformata di Laplace che è una estensione della trasformata di Fourier, dotata anch’essa di una opportuna formula di commutazione. Ma qui siamo veramente lontani dal nostro campo d’interesse.

Convergenza della trasformata di Fourier: cenni

Richiamiamo alcuni aspetti del problema della convergenza soltanto per accennare alle complicazioni formali della teoria, inessenziali però per gli scopi di questo corso.

Ricordando la formula della trasformata: X(\omega)= \int _{- \infty} ^{\infty} x(t) e ^{-j \omega t}dt

poiché è:X(\omega) \leq\int_{- \infty} ^{\infty} |x(t)|dt sia ha che l’ integrabilità assoluta (cioè l’integrabilità del valore assoluto di una funzione) garantisce la convergenza su tutto l’asse reale cioè è condizione sufficiente per la convergenza.

In un linguaggio matematico un po’ più formale si dice che se siamo in L1 definito come spazio delle funzioni assolutamente integrabili cioè integrabili in modulo, non c’è problema di convergenza.

Un altro problema è quello delle funzioni discontinue. Questa limitazione si rimuove in L2 , simbolo che denota lo spazio di funzioni a quadrato o modulo quadro sommabile. L’inversione non sarà possibile nei punti di discontinuità in cui la trasformata inversa di Fourier convergerà ad un valore intermedio tra i limiti a destra ed a sinistra.

Il problema della convergenza e delle sue condizioni necessarie e sufficienti è piuttosto complesso al punto tale che non si conosce un insieme di condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza.

Se tuttavia ci limitiamo a funzioni che normalmente si prestano a descrivere segnali del mondo reale, le condizioni di convergenza sono verificate. Possiamo in più accettare la discontinuità (o le discontinuità) purchè in numero finito; possiamo dire che i segnali “non patologici” del tipo di quelli che possiamo incontrare nel mondo reale hanno trasformata di Fourier.

Motivazione euristica della FT

La trasformata di Fourier si può introdurre con un semplice ragionamento euristico che per di più chiarisce intuitivamente il suo significato fisico, a partire dallo sviluppo in serie di Fourier.
Consideriamo un segnale periodico, ad es. un treno periodico di impulsi rettangolari; la serie di Fourier per l’onda quadra di periodo T0 e duty cycle T1 è:

a_k=\frac{2sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0T_0}

Moltiplicando per T0 avremo:

a_kT_0=\frac {2sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0}=  \frac{[{2sin(\omega T_1}}{\omega}]_{\omega=k\omega_0}

Nella prossimo lucido diagrammiamo l’onda quadra in esame e questi valori akT0-∞<K<∞ in corrispondenza delle ascisse ω = ωk= kω0

Fourier Transform

Se noi aumentiamo il periodo del segnale fermo restando il suo duty-cycle, i valori della trasformata di Fourier andranno a disporsi su di una curva che in pratica interpola un’unica curva, come si osserva nel caso seguente in cui il periodo N è moltiplicato per 4. Continuando in tal modo si può verificare che tutti i valori della serie di Fourier si dispongono esattamente su di una curva interpolatrice che si può quindi definire come limite di queste serie all’aumentare di N.


Fourier Transform (segue)

Al limite, quando il periodo del treno di impulsi è andato all’infinito rimarrà soltanto l’impulso centrato sullo 0 e nella frequenza l’insieme degli impulsi diventerà un funzione definita nel continuo, che sarà appunto la Trasformata di Fourier dell’impulso singolo

                Le immagini sono ottenute con  fourier_series2transform che fornisce anche una animazione.

Le immagini sono ottenute con fourier_series2transform che fornisce anche una animazione.


Trasformata di Fourier

Queste considerazioni euristiche ci introducono al concetto di Trasformata di Fourier per segnale arbitrario; difatti nel momento in cui il periodo T0 che è anche il supporto della nostra funzione aperiodica va all’infinito, questo supporto può evidentemente diventare infinito; questo consente di definire la Trasformata di Fourier per un segnale aperiodico qualsiasi di durata limitata o non.

Questa introduzione euristica sviluppata in dettaglio nella sezione Materiali, allegata alla lezione porta alle formule che abbiamo già introdotto:

La formula di ricostruzione: x(t)= \frac 1 {2 \pi} \int _{- \infty} ^ {\infty} X(\omega) e ^{j \omega t} d \omega e la formula di analisi X(\omega) \int _{- \infty} ^ {\infty} x(t) e ^{-j \omega t} d \omega

La formula di ricostruzione esprime il fatto che la x(t) può essere vista come somma infinita (integrale) di contributi elementari di tipo esponenziale complesso, di pulsazione ω e di ampiezza X(ω).

Per la formula di analisi diremo che la componente del segnale x(t) alla pulsazione ω si ottiene con l’integrale in formula, cioè moltiplicando il segnale per l’esponenziale complesso e -jωt ed integrando su tutto l’asse dei tempi.

Proprietà della FT

Elenchiamo alcune proprietà rilevanti della trasformata: le dimostrazioni sono riportate nella sezione materiali.

Linearità x(t)\to X(\omega)~e~y(t) \to Y(\omega) \Rightarrow ax(t)by(t)\to aY(\omega)+bY(\omega)

Simmetria per funzioni reali X(-\omega) = \overline X (\omega)

Da questo deriva: la parte reale della trasformata Re(X(ω)) è pari; la parte immaginaria Imag(X(ω)) è dispari; il modulo della trasformata |X(ω)| è pari; la fase della trasformata arg(X(ω)) è dispari.

x(t) reale e dispari → X(ω) immaginario e dispari.
Quindi

x(t)=x_p(t)+x_d(t)

…. ………….

Re(X(\omega))~~ Im(X(\omega))

I segnali di interesse per noi sono segnali reali, per questi sono possibili altre forme della trasformata, che al pari della serie di Fourier possono utilizzare seni e coseni invece di esponenziali complessi.


Trasformata in soli coseni

Per segnali reali la Trasformata di Fourier si èpuò scrivere:

x(t)=\frac 1 {2\pi} \int_0^\infty [R(\omega)cos(\omega)-X(\omega)sin(\omega)]d\omega ~~se~~ x(t) \grave e~~reale.

x(t)=\frac 1 {2\pi} \int_0^\infty R(\omega)cos(\omega)d\omega ~~se~~ x(t) \grave e~~reale~~e~~pari.

x(t)=\frac 1 {2\pi} \int_0^\infty R(\omega)sin(\omega)d\omega ~~se~~ x(t) \grave e~~reale~~e~~dispari.

x(t)=\frac 1 {2\pi} \int_0^\infty R(\omega)cos (\omega t) d\omega = - \frac 2 \pi \int_0^\infty X(\omega)sin(\omega t)d\omega ~~se~~ x(t) \grave e~~reale~~e~~causale.

Proprietà di Traslazione nel tempo e del ritardo

x(t-t_0) \stackrel{FT}{\longrightarrow} e^{-j\omega~t_0}X(\omega)=|X(\omega)|e^{j[\varphi(\omega)-\omega~t_0]}

Proprietà della trasformata

Differenziazione integrazione:

{\frac{dx(t)}{dt}}\stackrel{FT}{\longrightarrow} j\omegaX(\omega)~~~\frac{d^nx(t)}{dt}\stackrel{FT}{\longrightarrow} (j\omega)^nX(\omega)

La formula inversa (integrazione):

{\int_{-\infty}^ \infty x(\tau)d\tau} \stackrel{FT}{\rightarrow} \frac 1 {j\omega} X(\omega) + \pi X(0)\delta(\omega)

Scalatura in tempo e frequenza:

x(a\cdot t) \stackrel{FT}{\longrightarrow}  \frac 1{j\omega}+ \pi \delta(\omega)

Dualità:

se~f(u)=\int_{-\infty}^{\infty}g(v)e^{-juv}dv~~allora: g(t)\stackrel{FT}{\longrightarrow} f(\omega)~~e~~ \frac 1 {2\pi}f(t)\stackrel{FT}{\longrightarrow} g(-\omega)

Relazione di Parseval

Se con f e g e F e G denotiamo due funzioni del tempo e le loro trasformate di Fourier si può dimostrare che:

\int _{-\infty}^{\infty}f(t) \bar g (t)dt=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega) \bar G(\omega)d\omega

Poichè gli integrali che compaiono nella formula sono una generalizzazione del noto prodotto scalare, usando per questo il simbolo , avremo

\langle f,g \rangle = \frac 1 {2\pi} \langle F,G \rangle

Riscrivendo la formula per g=f e ricordando che a \cdot \bar a \cdot =|a|^2 avremo

\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2dt=\frac 1 {2\pi}\int_{\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega

Richiamando la definizione di norma di una funzione \|f\|= {\sqrt {\int _{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt}}

avremo: \|f\|=\frac 1 {2\pi} \|F\|

Ricordando infine che la norma così definita misura l’energia del segnale avremo che l’energia del segnale si può calcolare sia nel dominio del tempo che della frequenza.

Un esempio di Trasformata di Fourier

Esempi di F.T.

x(t)=e^{-at}u(t)\stackrel{FT}{\longrightarrow} X(\omega)= \frac 1 {a+j\omega}

x(t)=u(t+T_1)-u(t-T_1)\stackrel{FT}{\longrightarrow} X(\omega)=\frac {2sin(\omega T_1)} \omega

Si verifica qui una dualità tempo frequenza.

Si verifica anche la proprietà che x ha un supporto limitato, così non può accadere per X, e viceversa.
Da questa trasformata, passando al limite per T1 tendente a 0, si può ricavare la coppia

\delta(t)\stackrel{FT}{\longrightarrow} X(\omega)=1

che ci dice che l’impulso unitario ha un contenuto costante ad ogni frequenza da -∞ ad ∞. Si tratta quindi di un segnale che contiene tutte le frequenze da 0 ad ∞ con eguale peso.

Per questo motivo la risposta a questo impulso unitario caratterizza completamente un sistema lineare, tempo-invariante; la sua risposta infatti, trasformata in frequenza, ci permette di ricostruire per ogni frequenza l’attenuazione e lo sfasamento che a quella frequenza viene imposto dal sistema.

Segnali periodici e la trasformata di Fourier

Tornando ai segnali periodici da cui siamo partiti abbiamo visto che essi sono segnali di potenza e non sono nè assolutamente integrabili né integrabili al quadrato; l’integrale di Fourier non converge e non esiste dunque la Trasformata di Fourier.

In realtà la trasformazione è possibile, utilizzando però teorie matematiche più complesse (teoria delle distribuzioni) che naturalmente tralasciamo in questo contesto.

Una trasformata importante che ritroveremo in seguito è la seguente.

Treno periodico di impulsi:

x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT_0)\rightarrow X(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac {2\pi}{T_0}\delta (\omega -k \frac{2\pi}{T_0})

La trasformata quindi di un treno di impulsi nel tempo, a distanza T0 è ancora un treno di impulsi in frequenza, ma se aumenta il periodo nel tempo, il periodo nella frequenza diminuisce, e viceversa.
Se al limite il periodo nel tempo diventa infinito, del trno di impulsi rimane soltanto l’impulso nell’origine; nel dominio delle frequenza invece il periodo diventa infinitamente piccolo (nullo) ed il treno d’impulsi di ampiezza unitaria diventa la funzione costante 1, come abbiamo già viso.

Per δ(x) impulso unitario nel continuo intendiamo una funzione che ha un supporto infinitamente piccolo ed una ampiezza, in corrispondenza dell’origine, infinita, in modo tale però che l’area racchiusa in questo rettangolo con una dimensione infinitamente piccola ed una infinitamente grande sia comunque finita e pari ad uno.

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