Vale la relazione:
Questa si può verificare considerando le sequenze sk[n]= x[k]δ[n-k] ognuna delle quali è nulla dappertutto fuorchè per n=k dove vale x[k].
Sommando una infinità numerabile di queste sequenze otterremo il segnale di partenza.
In altro modo per ogni n si può scrivere una relazione analoga alla seguente scritta per n=2:
x[2]= ……+x[-1]δ[2-(-1)]+x[0]δ[2-0]+
x[1]δ[2-1]+x[2]δ[2-2]+x[3]δ[2-+3]+ …..=
….x[-1]·0+x[0]·0+x[1]·0+x[2]·1+x[3]·0+……
Consideriamo la relazione
Chiamiamo hk[n] la risposta del sistema all’impulso unitario ritardato di k: δ[n-k]. Supponiamo cioè che valga la:
Se il sistema e lineare allora alla combinazione lineare di impulsi δ[n-k] con coefficienti x[k]. Corrisponderà la combinazione lineare con gli stessi coefficienti delle risposte hk[n] sarà cioè:
Se il sistema oltre ad essere lineare è tempo invariante, la risposta laa’impulso ritardato δ[n-k]. Sarà uguale alla risposta all’impulso nell’origine δ[n] ritardata di k. Se quindi chiamiamo h[n] la risposta all’impulso unitario δ[n]
Sarà
L’operazione fatta sui due segnali x[n] ed h[n] si chiama convoluzione e si denota con il simbolo *. Si può scrivere quindi:
y[n]=x[n] * h[n]
L’operazione di convoluzione può essere interpretata mediante lo schema a fianco:
La convoluzione quindi può essere vista come una media pesata dei campioni nell’intorno dell’istante di tempo in cui viene calcolata;
Per il calcolo della risposta all’istante k sono utilizzati i campioni immediatamente prima e dopo.
Naturalmente, se la risposta impulsiva ha durata illimitata (IIR) il numero di campioni utilizzato per la convoluzione è infinito e non è fisicamente realizzabile se non con precisione finita cioè trascurando i campioni più lontani.
Nel caso di sistemi FIR, a risposta impulsiva finita, la convoluzione invece è fisicamente realizzabile
Proprietà commutativa
x[n]*h[n]=h[n]*x[n]
In un sistema LTI si possono scambiare segnale e risposta impulsiva senza che il risultato venga alterato.
Inoltre l’ordine in cui vengono messi due sistemi in cascata è irrilevanteProprietà associativa.
Proprietà associativa
x[n]*(h[n]*g[n])=(x[n]*h[n])*g[n]=x[n]*h[n]*g[n]
Proprietà distributiva della convoluzione rispetto alla somma
x[n]*(h[n] + g[n])= x[n]*h[n] + x[n] *g[n]
Le proprietà enunciate permettono le trasformazioni illustrate in figura nella rappresentazione a blocchi dei sistemi.
Le operazioni necessarie alla convoluzione tra un segnale in ingresso ed un sistema caratterizzzato da una risposta impulsiva sono descritte dal diagramma a blocchi in figura.
Il segnale x[n] entra in una catena di ritardi (registri o locazioni di memoria) organizzati come un registro a scorrimento.
Ad ogni passo i campioni x[n] x[n-1]…….x[n-M+1] sono moltiplicati rispettivamente per i campioni:
h[0] h[1] h[M-1].
Questi prodotti sono sommati per dare il campione n-mo y[n] dell’uscita.
La convoluzione per sistemi di risposta impulsiva lunga M richiede quindi M prodotti ed M addizioni; essa è quindi computazionalmente relativamente costosa.
Per questo a volte si preferisce come vedremo una elaborazione in Frequenza.
Si dice causale un sistema la cui risposta dipende solo dal valore presente e da quelli passati dell’ingresso.
Nel caso LTI per cui vale la:
se l’output dipende solo dai valori passati e presente dell’ingresso saranno nulli i coefficienti h[n-k] in cui k>n e quindi n-k<0 cioè posto l=n-k:
h[l] = 0 per l<0
La risposta impulsiva dunque deve avere campioni nulli per tempi negativi.
Questo si verifica anche nella figura relativa all’operazione di convoluzione già vista in cui, una risposta non nulla per tempi negativi causa l’uso di campioni futuri x[n] x[n+1] ….. per il calcolo del campione n-mo.
In tal modo il sistema non è causale in quanto non rispetta il principio di causa/effetto per cui l’effetto non può anticipare la causa.
Abbiamo dato in precedenza una definizione di stabilità per sistemi in generali. Vediamo ora questa che cosa comporta per sistemi LTI-
Un sistema con ingresso x[n] ed uscita y[n] si dice stabile (per ingressi limitati) se
se cioè ad ingresso limitato in modulo corrisponde uscita limitata.
Si può dimostrare (la dimostrazione è riportata estesamente nel materiale allegato alla lezione) che:
Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità di un sistema LTI è che la risposta impulsiva sia sommabile in modulo cioè
Una conseguenza immediata è che i sistemi FIR a risposta impulsiva finita sono stabili, e che i sistemi a risposta impulsiva non tendente a 0 al divergere del tempo non sono stabili. Tra i sistemi visti fino ad ora il sistema accumulatore non è stabile, il sistema media di 2M+1 campioni
è invece stabile.
Per segnali in più di una dimensione, come nel caso delle immagini o anche nel caso meno comune 3D, si estendono i concetti e le definizioni viste nel caso di segnali uni-dimensionali.
La ricostruzione di un segnale a partire dai suoi campioni si ottiene dalla formula:
in cui l’impulso unitario è definito in modo ovvio.
Ragionando in modo analogo rispetto al caso 1D si ricava quindi la formula che lega ingresso ed uscita di un sistema LTI bidimensionale:
y[n,m]=x[n,m]*δ[n,m]
Anche in questo caso si può fare riferimento al modello di convoluzione che usa una finestra scorrevole sui dati (sliding window) che appunto è la risposta all’impulso unitario.
Nel caso, ad esempio, del filtro che calcola la media in 2D la risposta impulsiva ha l’aspetto in figura: i valori dell’immagine usati per la media sono i punti in cui la risposta impulsiva è non nulla e sono oltre al punto corrente di coordinate (n,m) gli otto punti ad esso adiacenti sul piano dell’immagine, in tutto 3×3 cioè 9 punti. Nel caso generale questa risposta impulsiva può avere come supporto un numero arbitrario di punti nelle due dimensioni; la risposta impulsiva può avere in linea di principio estensione infinita. Nel caso delle immagini rispetto al caso unidimensionale le risposte impulsive di sistemi usati in pratica sono decisamente meno estesi. Una durata di k campioni nel caso monodimensionale diventa una maschera di estensione k2 nel caso bidimensionale, con conseguente esplosione del numero di operazioni necessarie alla convoluzione.
Se si tiene presente poi che le immagini sono esse stesse caratterizzate dal quadrato, quando si passa dalle dimensioni dei due lati al numero di pixel, il numero di convoluzioni necessarie è molto più consistente di quello necessario nel caso monodimensional.
Un filtro di buone prestazioni in questo caso può avere anche durata di 128-256 o più campioni, nel caso delle immagini un filtro di dimensioni 3×3 o 4×4 è già un valore elevato.
La relazione già vista
può essere espressa mediante il prodotto di convoluzione:
x[n]= x[n]*δ[n]
Convoluzione come prodotto di polinomi
Dati due polinomi verificare che i campioni della convoluzione risultano essere i coefficienti del polinomio prodotto
Matlab possiede funzioni per la manipolazione di polinomi, rappresentati come array di coefficienti:
verificare queste funzioni di Matlab, definendo polinomi arbitrari.
Dati due polinomi
p(x)=a2x2+a1x+a0
q(x)=b2x2+b1x+b0
la convoluzione dei coefficienti visti come sequenze si sviluppa secondo lo schema solito in cui una sequenza viene invertita nel tempo (time reversed) e fatta scorrere rispetto all’altra.
I campioni della convoluzione risultano essere i coefficienti del polinomio prodotto:
a2b2x4+(a2b1+a1b2 )x3+(a2b0+a1b1+a0b2)x2+(a1b0+a0b1)x+a0b0
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