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Sergio Cavaliere » 6.Sistemi del Secondo Ordine. Sistemi di ordine arbitrario


La risposta impulsiva a partire dalla SDE

Come abbiamo già visto una equazione alle differenze finite si può risolvere numericamente in modo iterativo, partendo da uno stato arbitrario ad esempio all’origine ed iterando le equazioni per valori del tempo pari a 0 ,1,2… e poi per valori decrescenti: -1,-2,-3…..

Esistono però dei metodi, formalmente un po’ più complessi, illustrati in un documento disponibile nei materiali elencati alla fine della lezione che permettono di ricavare in forma chiusa queste soluzioni.

Ad esempio il problema dei conigli posto da Fibonacci e consistente nel determinare la sequenza del numero di coppie di conigli ad ogni generazione n, supponendo che ogni coppia si riproduca ad ogni mese ad iniziare dal secondo mese dalla la nascita. Inizialmente c’è una coppia di conigli e così nel secondo mese.
Il numero di conigli costituisce la sequenza detta di Fibonacci ed è:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 ……..
Il problema, si può chiaramente formalizzare nella seguente formula

y[n]=y[n-1]-y[n-2]

che è una equazione alle differenze finite, con la condizione iniziale

y[n-1]=y[n-2]=0

Con la teoria di cui si diceva si può ottenere un formula chiusa per il termine n-mo della successione, data dalla formula (detta di Binet).

Con la teoria di cui si diceva si può ottenere un formula chiusa per il termine n-mo della successione, data dalla formula (detta di Binet).


Un soluzione di equazione SDE

Come si può verificare la formula di Binet permette di calcolare il valore n-mo senza calcolare tutti i precedenti, ottenendo il risultato che otterremmo calcolando passo passo tutti i valori della successione.

Un semplice programma Matlab per costruire in questo modo la successione è il seguente:

clear,clc
kp=1/2*(1+sqrt(5));
km=1/2*(1-sqrt(5));
figure(‘Color’,'w’)
for n=1:14
y(n)=1/sqrt(5)*(kp^n-km^n)
plot(n,y(n),’o',’MarkerFaceColor’,'r’)
text(n+.2,y(n),mat2str(y(n),3)),hold on
end

I primi 14 valori della successione di Fibonacci calcolati con la formula di Binet.

I primi 14 valori della successione di Fibonacci calcolati con la formula di Binet.


Sezione del secondo ordine

Consideriamo la cascata di due sezioni del primo ordine ricorsive come in figura.
Le equazioni per le due sezioni saranno:

w[n]-aw[n-1]=x[n]

y[n]-by[n-1]=w[n]

Riscrivendo la seconda equazione per n → n-1 sarà

y[n-1]-by[n-2]=w[n-1]

e sostituendo nella prima equazione il valore di w[n] della seconda e w[n-1] dell’ultima equazione avremo la seguente relazione relativa al sistema risultante dalla serie dei due:

y[n]-by[n-1]-ay[n-1]+aby[n-2]=x[n]

quindi:

y[n]-(a+b)y[n-1]+aby[n-2]=x[n]

La cascata di due sezioni del primo ordine puramente ricorsive dunque è descritta dal secondo diagramma a blocchi ed è una sezione del secondo ordine puramente ricorsiva. (i campioni di uscita utilizzati sono y[n-1] ed y[n-2] con un ritardo massimo –ordine- pari a 2).

La cascata di due sezioni ricorsive del primo ordine.

La cascata di due sezioni ricorsive del primo ordine.

Sezione equivalente del secondo ordine.

Sezione equivalente del secondo ordine.


Sistema del secondo ordine: risposta impulsiva

Questa equazione alle differenze può avere coefficienti reali anche nel caso in cui i singoli a e b siano complessi come nei casi già visti per sezioni del primo ordine. Perché ciò avvenga occorre che a e b siano complessi coniugati del tipo

re0 …….. re-jω0

in tal caso sarà:

a+b=a+ \overline a = |a|=real(a)=rcos(\omega {_0)}

a \cdot b = a \cdot \bar {a} =|a|\=r

Dunque mettendo in cascata due sezioni del primo ordine con coefficienti complessi coniugati , si ottiene un filtro del secondo ordine a coefficienti reali. In figura è riportata la simulazione numerica di un sistema del secondo ordine di questo tipo, nel caso stabile e causale, con r<1. La risposta all’impulso, oscillatoria, contiene chiaramente una frequenza corrispondente appunto alla pulsazione ω0 come si può verificare ricavando la formula:

h[n]=u[n]r^n \frac {sin (n \omega _0+ \omega_0)} {sin \omega _0}

Si osserva che la risposta converge se e solo se r<1. Il termine rn che genera il decadimento nel tempo della risposta.

Risposta impulsiva di sistema del secondo ordine.

Risposta impulsiva di sistema del secondo ordine.


Sistema del secondo ordine: risposta in frequenza

Il comportamento del sistema del secondo ordine risonante si valuta bene a partire dal diagramma della sua risposta in frequenza, la funzione

X(e)

Il suo modulo |X(e)| rivela un picco in corrispondenza della pulsazione ω0.

Il secondo diagramma è il diagramma della fase e rappresenta il modo in cui le diverse frequenze sono sfasate rispetto alla frequenza in ingresso.

Dai diagrammi il sistema rivela il comportamento tipico di un sistema risonante.
La caratteristica non è particolarmente selettiva ma può essere migliorata mettendo in cascata più sezioni di questo tipo, accordate sulla stessa frequenza.

Risposta in frequenza di un sistema del secondo ordine, risonante.

Risposta in frequenza di un sistema del secondo ordine, risonante.


Filtraggio del rumore

Rumore bianco
Segnale risultante dal filtraggio del rumore bianco con filtri accordati.
Un semplice esperimento di filtraggio del rumore può essere fatto con il semplici programmi Matlab riportati nella sezione materiale di studio.

Il programma main crea del rumore bianco e lo filtra iterativamente con una sezione del primo ordine (filtri in cascata). La routine iir2.m filtra il segnale senza utilizzare le funzioni apposite Matlab, per verificare i problemi di codifica di un filtro ricorsivo, in cui occorre conservare in memoria anche campioni precedenti dell’input.

Nelle figure sono riportati gli spettri (il contenuto in frequenza) del rumore e del rumore filtrato, da cui si deduce uno spettro piatto per il rumore bianco ed uno spettro accordato su di una frequenza per il rumore filtrato.
Si possono poi ascoltare i relativi suoni.

Diminuendo o aumentando il numero fi filtri in cascata si ottiene un segnale più o meno accordato.

Rumore bianco.

Rumore bianco.

Segnale risultante dal filtraggio del rumore bianco con filtri accordati.

Segnale risultante dal filtraggio del rumore bianco con filtri accordati.


La risposta di un sistema del secondo ordine

Analogamente a quanto fatto per il sistema del primo ordine possiamo verificare che tipo di ingresso fornisce in uscita un segnale esponenziale complesso nell’equazione del secondo ordine

y[n]-(a+b)y[n-1]+aby[n-2]=x[n]

Se è y[n]=e^{j\omega n}, grazie alle proprietà dell’esponenziale sarà:

e^{j\omega n}-(a+b)e^{j\omega(n-1)}+abe^{j\omega(n-2)}=x[n]

e^{j\omega n}-(a+b)e^{j\omega n}e^{-j\omega}+abe^{j\omega n}e^{-j2\omega}=x[n]

e^{j\omega n} \biggl[1-(a+b)e^{-j\omega}+abe^{-j2\omega}\biggr]=x[n]}

La risposta di un sistema del secondo ordine (segue)

Si ricava dunque che anche x[n] è un esponenziale complesso; se poi in ingresso il segnale esponenziale complesso ampiezza ha unitaria sarà:

x[n]=e^{j\omega n}~~~~~y[n]=\frac 1 {1-(a+b)e^{-j\omega}+abe^{-j2\omega}}

I due segnali non differiscono in frequenza ma soltanto in ampiezza e fase, in dipendenza dalla pulsazione ω, in base alla funzione di trasferimento che caratterizza il rapporto tra uscita ed ingresso esponenziali complessi:

H(\omega)=\frac 1 {1-(a+b)e^{-j\omega}+abe^{-j2\omega}}

Al solito poiché un esponenziale complesso è costituito da parte reale e parte immaginaria che sono due oscillatori sinusoidali con fase opportuna stiamo in tal modo caratterizzando la risposta del sistema rispetto ad oscillatori sinusoidali.

Fattorizzazione della risposta in frequenza

La H(ω) ammette la fattorizzazione seguente:

H(\omega)=\frac 1{1-ae^{-j\omega}}\frac 1 {1-be^{-j\omega}}=H_1(\omega)H_2(\omega)

che mette in evidenza che il risultato finale, che nel tempo è determinato dalla cascata di due sezioni del primo ordine, nel dominio della variabile ω è determinato dal prodotto delle funzioni di trasferimento di due sezioni del primo ordine.

Abbiamo dunque verificato in un caso particolare un risultato generale:
Per sistemi in cascata la convoluzione nel dominio del tempo si traduce in prodotto delle trasformate nel dominio della frequenza e viceversa.

Naturalmente l’operazione di prodotto è più semplice di quella di convoluzione: questo giustifica l’adozione in molti casi dell’elaborazione nel dominio della frequenza in sostituzione di quella nel dominio del tempo.

Se poi mettiamo in ingresso al nostro sistema invece del segnale x[n]=e^{-j\omega n} il segnale x[n]=z^n con z=\alpha e^{j\omega}
Ricaveremo semplicemente la funzione di trasferimento:

H(z)=\frac 1 {1-(a+b)z^{-1}+abz^{-2}}=\frac 1 {1-az^{-1}}\frac 1 {1-bz^{-1}}

H(z)=\frac 1 {1-az^{-1}}\frac 1 {1-bz^{-1}}=H_1(z)H_2(z)

Cascata di due sezioni del primo ordine reali

Il procedimento usato per analizzare la cascata di due sezioni del primo ordine è del tutto generale.
Analizziamo cosa accade quando le sezioni del primo ordine non hanno coefficienti complessi bensì reali;

Nel caso di sezioni del primo ordine a coefficienti reali
le singole sezioni possono essere passa alto o passa basso.

Il filtro del secondo ordine risultante quindi sarà composto dalla cascata di due filtri del primo ordine e la risposta in frequenza sarà data dal prodotto delle due risposte, dando luogo così ad:

  • un passa basso;
  • un passa alto;
  • passa banda se il passa alto ed il passa basso hanno in comune un range non nullo di frequenze.

Scomposizione di sistema di ordine arbitrario

Se mettiamo in cascata più sezioni del primo o del secondo ordine, estendendo il procedimento fatto per due sezioni avremo come funzione di trasferimento il prodotto delle singole funzioni di trasferimento.
Quelle del primo e del secondo ordine saranno del tipo:

H(z)=\frac 1 {1-az^{-1}}~~~~H(z)=\frac 1 {1-az^{-1}-bz^{-2}}

Moltiplicando tra di loro un numero arbitrario di queste la funzione di trasferimento avrà la forma seguente:

H(z)=\frac 1 {1-az^{-1}-bz^{-2}... - gz^{-n}}

Partendo da questa viceversa possiamo scomporre questa funzione arbitraria in fattori di ordine inferiore.
Equivalentemente quindi avremo scomposto il sistema in sottosistemi di ordine inferiore che, collegati in cascata, costituiscono una realizzazione del sistema completo.

Scomposizione di sistema di ordine arbitrario (segue)

Viene qui in aiuto il teorema fondamentale dell’algebra che afferma che un polinomio di grado n ha nel campo complesso esattamente n soluzioni, che possono essere eventualmente coincidenti (in tal caso si parla di molteplicità pari al numero degli zeri coincidenti). Gli eventuali zeri complessi poi devono necessariamente ridursi a coppie di complessi coniugati (per fare sì che il polinomio abbia coefficienti reali).

Gli zeri reali quindi daranno luogo a sezioni del primo ordine (passa basso o passa alto) mentre gli zeri complessi possono essere raggruppati in coppie di complessi coniugati che danno luogo a sezioni del secondo ordine a coefficienti reali. Tutte queste sezioni del primo e del secondo ordine sono a coefficienti reali.
La cascata di questi sistemi LTI permette di studiare sistemi di ordine qualsiasi semplicemente combinando l’effetto in frequenza delle varie sezioni.

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