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Sergio Cavaliere » 3.Sistemi: tipologie. Sistemi discreti e continui, lineari e non.


Sistemi: tipologie. Sistemi discreti e continui, lineari e non.

I sistemi in generale si dividono in due categorie: sistemi senza memoria e sistemi con memoria.
Si dicono senza memoria i sistemi in cui l’uscita dipende solo dal valore dell’ingresso nello stesso istante; questi sistemi possono essere descritti dalle seguenti equazioni, nel caso continuo (segnali a tempo continuo) e nel caso discreto (segnali a tempo discreto):

y(t)=k·x(t)

y[n]=sin(x[n])

Nei sistemi con memoria l’uscita in un determinato istante di tempo non dipende soltanto dal valore dell’ingresso nello stesso istante di tempo ma anche dai valori passati dell’ingresso. Le equazioni che descrivono questi segnali, nel caso continuo e discreto sono, rispettivamente:

y(t)=\int_ {- \infty} ^t x (\tau) d\tau

y[n]=\sum ^n _{k= - \infty} x [k]

Sistema con memoria: l’uscita dipende anche da valori precedenti dell’ingresso e delle uscite.

Sistema con memoria: l'uscita dipende anche da valori precedenti dell'ingresso e delle uscite.

Sistema senza memoria.

Sistema senza memoria.


Sistemi invertibili e non

Un sistema è invertibile se dal segnale di uscita è possibile ricavare il segnale d’ingresso.
Deve esistere in tal caso un sistema, detto sistema inverso, diciamolo T-1 che, messo in cascata al sistema T di partenza restituisce il segnale d’ingresso.
Ad esempio dato il sistema: y(t) = k · x(t)

Il suo inverso sarà: z(t) = K -1 ·  y(t)

Dato il sistema a tempo discreto:

y[n]=\sum ^n _{k=-\infty} x [k]

Facendo la differenza tra y[n] ed y[n-1] si ricava che il suo inverso è: z[n]=y[n] – y[n-1]

La cascata di un sistema invertibile S e del suo sistema inverso S-1 è il sistema identico.

La cascata di un sistema invertibile S e del suo sistema inverso S-1 è il sistema identico.


Sistemi invertibili: un esempio

Dato il sistema T definito dall’equazione:

y[n]= \sum^n _{k=-\infty} x[k]

o anche, equivalentemente dall’equazione: y[n]= x[n] + y [n-1]

si ricava con semplici manipolazioni algebriche che il sistema: z[n] = y[n] – y [n-1]

è il sistema inverso di S e, messo in cascata ad S restituisce l’ingresso x[n]. Avremo, con ovvio significato dei simboli:

T(T^{-1}(x[n]))= x[n]

La cascata di T e T-1 costituisce il sistema identico I.
Da osservare che il sistema composto dei due

T \otimes T ^{-1} = I

restituisce il segnale senza ritardo.

Il sistema Accumulatore ed il suo inverso.

Il sistema Accumulatore ed il suo inverso.


Sistemi causali e non

Un sistema si dice causale se l’uscita non dipende dai valori futuri dell’ingresso. Essa quindi deve dipendere dal valore attuale e dai valori passati dell’ingresso. Questi sistemi rispettano il principio di causalità, in base al quale un fenomeno non può anticipare la sua causa.
Naturalmente la non causalità rende un sistema non realizzabile fisicamente; ma anche non realizzabile fisicamentre è un sistema causale senza ritardo: qualsiasi fenomeno fisico difatti genera un ritardo tra ingresso ed uscita; questo ritardo può essere trascurato se inessenziale rispetto al sistema in esame ed ai suoi tempi di evoluzione.
I sistemi senza memoria sono sempre causali.

Sistemi causali e non (segue)

La causalità non è importante se la variabile indipendente non è il tempo (e.g. nelle immagini) ma anche se i dati sono registrati o l’elaborazione viene fatta non in tempo reale (eg. averaging), come nel caso del sistema non casuale:

y[n]=x[n] – x [n +1] ……………. (1)

oppure nel sistema:

y[n]= \frac 1 {2M + 1} \sum ^M _{k=-M} x[n-k]

Alcuni sistemi non causali si possono rendere causali (ritardando l’uscita). Ad esempio il sistema y[n]=x[n-1] + x[n] + x[n+1]

diventa causale se l’uscita viene ritardata, nel sistema z[n]=y[n-1]:

z[n]=x[n-2]+ x[n-1] + x[n]

che evidentemente è causale.

Stabilità

Un sistema si dice stabile (per ingressi limitati) se nell’ipotesi di ingresso limitato l’uscita non diverge:

|x[n]| < B \Rightarrow \exists~~ Y~~tale ~~che~~ |y[n]|<Y_B

Da osservare che la maggiorazione – costante YB – che si può fare sull’uscita è funzione della costante B che limita l’ingresso.
Un esempio di sistema stabile è dato dal sistema:

y[n]= \frac 1 {2M+1} \sum ^M _ {k=-M} x[k]

Difatti se |x[n]|<B sarà:

|y[n]|< \frac 1 {2M+1} \sum ^M _{k=-M} B = \frac 1 {2M+1}(2M+1)(M+1)B= (M+1)B

Stabilità (segue)

Viceversa non è stabile (diverge) il sistema:

y[n]= \sum^n _{k=- \infty} x[k]

Basta allo scopo osservare che la sequenza di ingresso costante e limitata x[n]=1
Produce l’uscita divergente

y[n]= \sum ^n _{k=- \infty} 1

Invarianza nel tempo

Un sistema si dice invariante nel tempo se ad un ingresso ritardato il sistema produce una uscita che è una versione ritardata dell’uscita che il sistema produce nel caso di ingresso non ritardato. Nel caso discreto e continuo avremo, in formule:

x[n] \stackrel{corrisp}{\longrightarrow} y[n] \Rightarrow x[n - n_0]\stackrel{corrisp}{\longrightarrow} y[n-n_0] \forall n_0

x(t) \stackrel{corrisp}{\longrightarrow} y(t) \Rightarrow x(t-t_0) \stackrel{corrisp}{\longrightarrow} y (t-t_0) \forall t_0

Un esempio di sistema invariante nel tempo (time invariant) è dato dal sistema: y[n]=sin (x[n])

Un esempio di sistema non invariante nel tempo è dato dal sistema: y[n]= nx[n]

Se infatti applichiamo all’ingresso una versione ritardata del segnale di ingresso: x1[n]= x[n-n0]

Il segnale in uscita dal sistema sarà: y1[n]=nx1[n]= nx[n-n0]
Diverso quindi dalla versione ritardata dell’uscita: y [n - n0] = (n-n0)x[n-n0]

Linearità

Un sistema si dice lineare se:
1. la combinazione lineare di segnali in ingresso produce in uscita la combinazione lineare, con gli stessi coefficienti, delle uscite prodotte singolarmente dai singoli segnali. In formule:

\forall x_1 (t) ~~e~~x_2(t) ~~si ~~ha: x_1(t) + x_2(t) \stackrel{linear ~~sys}{\longrightarrow} y_1(t)+y_2(t)

2. Vale la proprietà di scala:

ax_1(t) \stackrel{linear ~~system}{\longrightarrow} ay_1(t)

La proprietà di linearità per somme finite di segnali vale anche per somme infinite o, nel caso di segnali discreti per combinazioni infinite di segnali discreti.

Una conseguenza della proprietà di linearità di un sistema è che ad ingresso nullo deve corrispondere segnale di uscita identicamente nullo.
Non è lineare quindi ad esempio il sistema descritto dall’equazione (lineare): y[n]=2x[n]+3

Questo sistema tuttavia risulta lineare agli incrementi perché il sistema differenza Δy[n]=y[n]-y[n-1]=2x[n] è chiaramente lineare.

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