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Sergio Cavaliere » 15.Trasformata di Fourier a Tempo Discreto: proprietà


Proprietà DTFT

Richimaiamo le due relazioni la formula di sintesi e quella di analisi allo scopo di dimostrare delle proprietà dekka trasformata

Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT Discrete Time Fourier Transform)

x[n]=\frac 1 {2\pi}\int_{2\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega

X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}

Saranno utili le seguenti definizioni e semplici risultati.

Def. Si dice coniugata simmetrica una sequenza tale che: x_s[n]=\overline{x_s[-n]}<br />

Def. Si dice coniugata anti-simmetrica una sequenza tale che: x_a[n]=\overline{-x_a[-n]}

Risulta evidente:

x[n]=x_s[n]+\overline{x_a[-n]}

x_s[n]=\frac 1 2 (x[n]+\overline{x[-n]})

x_a[n]=\frac 1 2 (x[n]-\overline{x[-n]})

Simmetria della DTFT

Simmetria

x[n]\stackrel{DTFT}\longrightarrow X(e^{j\omega})\Rightarrow \overline {x[n]}\stackrel{DTFT}\longrightarrow \overline{X(e^{-j\omega})}

Se però x[n] è reale sarà: X(e^{j\omega})=\overline{X(e^{-j\omega})}

Quindi |X(e^{j\omega})|=|\overline{X(e^{-j\omega}}|=|X(e^{-j\omega})| quindi il modulo è simmetrico intorno allo 0.

Poichè \text{arg}[X(e^{j\omega})]=\text{arg}[\overline{X(e^{-j\omega}})]=\text{- arg}[X(e^{-j\omega})]} la fase è antisimmetrica.

Le stesse proprietà di simmetria-antisimmetria valgono anche intorno a π.
Per questo motivo è sufficiente rappresentare lo spettro soltanto in un intervallo di lughezza 2π, tipicamente l’intervallo [0 2π]. Poiché inoltre la X (ω) rispetto a π, è simmetrico nel modulo ed antisimmetrico nella fase, sarà sufficiente rappresentare lo spettro soltanto nell’intervallo [0 π].
Come già visto i valori della pulsazione sono crescenti tra 0 e π e decrescenti da π a 2π. Le frequenze dell’intervallo [π 2π] sono identiche alle frequenze dell’intervallo[0 π] ma con fase opposta.
E’ quindi sufficiente, per caratterizzare un sistema, analizzare il comportamento per le frequenze (pulsazioni) in [0 π].

Proprietà della DTFT: periodicità

Periodicità della  X(ω)
Questa proprietà deriva dalla definizione: ogni termine della somma è periodico di periodo 2π e così la somma:

X(\omega)= \sum _{n=- \infty}^ {\infty} x[n]e^{-j \omega n}

Plot del modulo e della fase di una trasformata di Fourier su un numero intero di periodi 2π


Proprietà della DTFT: linearità

Simmetria nel caso reale

x[n]\text{reale}\stackrel{DTFT}\longrightarrow X(e^{j\omega})\Rightarrow X(e^{j\omega})=X^*(e^{-j\omega})

Re(X(e^{j\omega}))=Re(X(e^{-j\omega}))

Im(X(e^{j\omega}))=-Im(X(e^{-j\omega}))

Inoltre il modulo è pari e la fase è dipari

|X(e^{j\omega})|=|X(e^{-j\omega})|

arg(X(e^{j\omega}))=-arg(X(e^{-j\omega}))

Se un segnale viene decomposto nella sua parte pari e dispari:

x[n]=x_p[n]+x_d[n]

Si avrà

x_p[n]\stackrel{DTFT}\longrightarrow Re(X(e^{j\omega}))

x_d[n]\stackrel{DTFT}\longrightarrow In(X(e^{j\omega}))

In particolare avremo: x[n]\text{pari}\Rightarrow X(e^{j\omega})=1+2\sum_{n=1}^\infty x[n]cos(\omega n)

Cioè la DTFT di segnali pari è reale.

Proprietà della DTFT: traslazione

Traslazione in n ed in ω

x[n]\stackrel{DTFT}\longrightarrow X(e^{j\omega})\Rightarrow x[n-n_0]\stackrel{DTFT}\longrightarrow e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})

Il ritardo quindi del segnale provoca una variazione di fase lineare nella risposta; questo implica che, il modulo della risposta non cambia, come ci aspettavamo in virtù del fatto che abbiamo a che fare con sistemi LTI quindi Invarianti nel tempo.
Dualmente avremo:

e^{j\omega_0 n}x[n]\stackrel{DTFT}\longrightarrow X(e^{j(\omega-\omega_0)})

Modulando dunque il segnale con una oscillazione di pulsazione ω0 trasliamo di ω0 la risposta in frequenza centrandola quindi intorno ad ω0.

Proprietà del DTFT: il ritardo

Diamo di seguito la dimostrazione dettagliata, anche questa complementare rispetto agli obiettivi di questo corso.

x[n]\stackrel{DTFT}\longrightarrow X(e^{j\omega})\Rightarrow x[n-n_0]\stackrel{DTFT}\longrightarrow e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})

Per definizione la trasformata della sequenza ritardata è Y[\omega]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n-n_0]e^{-j\omega n}

Effettuando la trasformazione di coordinate m=n-n0 sarà:

Y(\omega)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]e^{-j\omega(m+n_0)}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]e^{-j\omega m}e^{-j\omega n_0}=

e^{-j\omega n_0}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]e^{-j\omega m}=e^{-j\omega n_0}X(\omega)

Analogamente si dimostra la formula duale:

y[n]=\frac 1 {2\pi}\int_{2\pi}X(\omega-\omega_0)e^{j\omega n}d\omega

Effettuando la trasformazione di variabile w=ω-ω0 e quindi ω = w +ω0 avremo infatti

y[n]=\frac1 {2\pi}\int_{2\pi}X(w)e^{j(w+\omega_0)^n}dw=e^{j\omega_o n}\frac 1 {2\pi}\int_{2\pi}X(w)e^{j wn}dw

Il ritardo: trasformazioni tra filtri

La proprietà della traslazione in frequenza che abbiamo visto

e^{j\omega_0 n}x[n]\stackrel{DTFT}\longrightarrow X(e^{j(\omega-\omega_0)})

può essere utile per ottenere semplicemente trasformazioni della funzione di trasferimento.

Ad esempio nel caso semplice ω0 = π sarà e^{j\omega_0n}=e^{j\pi n}=(-1)^n

Quindi avremo la relazione:

(-1)^nx[n]\stackrel{DTFT}\longrightarrow X(e^{j(\omega-\pi)})

Se noi abbiamo il filtro h[n] con risposta in frequenza H(ω) il filtro con risposta impulsiva -1n h[n] avrà una risposta in frequenza traslata di π cioè da passa-basso diventa passa-alto e viceversa.

Versione passa basso e passa alto di un semplice filtro (ottenute in Matlab con coefficienti ones(1,50) e ones(1,50).*(-1).^(1:50).

Versione passa basso e passa alto di un semplice filtro (ottenute in Matlab con coefficienti ones(1,50) e ones(1,50).*(-1).^(1:50).


Il ritardo: trasformazione PB – risonante

Utilizziamo ancora la proprietà della traslazione in frequenza

e^{j\omega_0 n}x[n]\stackrel{DTFT}\longrightarrow X(e^{j(\omega-\omega_0)})

se ora usiamo il valore di ω0 = π/8 sarà e^{j\omega_0 n}=e^{j\frac \pi 8 n}

Quindi avremo la relazione: e^{j\frac \pi 8 n}h[n]\stackrel{DTFT}\longrightarrow H(e^{j(\omega -\frac \pi 8)})
Se dunque il filtro h[n] ha risposta in frequenza H(ω) passa basso, il filtro ottenuto in questo modo avrà una risposta traslata di ω0 quindi accordata sulla pulsazione ω0.
Si osservi che stiamo in questo caso modulando un risposta impulsiva con un esponenziale complesso a frequenza ω0 con campioni quindi complessi.
Un risultato simile si ottiene modulando la risposta impulsiva con un segnale oscillante reale:

real(e^{j\omega_0n})=real(e^{j\frac \pi 8 n})=cos(\frac \pi 8 n)

Versione passa basso e risonante di un semplice filtro (ottenute in Matlab con coefficienti ones(1,50) e ones(1,50).*(exp(j*pi/8)).^(1:50).

Versione passa basso e risonante di un semplice filtro (ottenute in Matlab con coefficienti ones(1,50) e ones(1,50).*(exp(j*pi/8)).^(1:50).


Proprietà della DTFT: differenza e somma

Proprietà della Differenza (derivata)

x[n]-x[n-1]\stackrel{DTFT}\longleftrightarrow (1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega})

Difatti per la proprietà del ritardo sia ha:

x[n-1]\stackrel{DTFT}\longleftrightarrow -e^{-j\omega}X(e^{j\omega})

ed usando la proprietà di linearità si ricava il risultato.
Proprietà della Somma (integrale)

\sum_{m=-\infty}^nx[m]\stackrel{DTFT}\longleftrightarrow\frac 1 {1-e^{-j\omega}}X(\omega)+\pi X(0)\sum_{k=-\infty}^\infty\delta(\omega - 2k\pi)

In particolare

u[n]\sum_{m=-\infty}^n\delta[m]\stackrel{DTFT}\longleftrightarrow \frac 1 {1-e^{-j\omega}}+\pi \sum_{k=-\infty}^\infty\delta(\omega-2k\pi)

Altre proprietà DTFT

Inversione dell’asse dei tempi

x[-n]\stackrel{DTFT}\longleftrightarrow X(-\omega)

Scalatura nel tempo e nella frequenza
La relazione è più complessa che nel caso continuo, in cui vale la:

x(at)\stackrel{FT}\longrightarrow \frac 1 {|a|}x \biggl(\frac \omega a \biggr)

Difatti il coefficiente di scala a non può essere <1 ma intero. Questo provoca sottocampionamento o sovra-campionamento.

Sovracampionamento mediante inserzione di zeri

x_M[n]=x[n/M]~\text{se}~n ~{\grave{e}}~\text {multiplo di }~M

x_M[n]=0~\text{altrimenti}

x_M[n]\stackrel{DTFT}\longleftrightarrow X(M\omega)

DTFT: sottocampionamento

Le proprietà che seguono sono aspetti di secondo ordine rispetto agli obiettivi del nostro corso: vengono riportate per completezza.
Proprietà del Sottocampionamento

x[n]\stackrel{DTFT}\longrightarrow X(\omega) ……………………….x[nM]\stackrel{DTFT}\longleftrightarrow \frac 1 M \sum_{q=0}^{M-1}X(e^{-j\frac{2\pi q}M}z^{\frac 1 M})

Il segnale sottocampionato si può esprimere come:

y[n]=x[nM]=\sum_{k=0}^{M-1}x[k]\delta[nM-k]

Trasformando si può ottenere il risultato.

Per z=e^{j\omega} si ha:

Y(\omega)=\frac 1 M \sum_{q=0}^{M-1}X(e^{-j\frac{2\pi q}M}e^{j\frac \omega M})=\frac 1 M \sum_{q=0}^{M-1}X(e^{j\frac \omega M})*\delta(\omega -\frac{2\pi q}M)

Proprietà della Differenziazione in frequenza

Vale la

nx[n]\stackrel{DTFT}\longleftrightarrow j \frac {dX(\omega)}{d\omega}

Proprietà del DTFT: la convoluzione

Queste che seguono sono proprietà particolarmente importanti per le loro implicazioni.
Relazione di Parseval

\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]^2|=\frac 1 {2\pi}\int_{2\pi}|X(\omega)|^2d\omega

Proprietà della convoluzione

y[n]=x[n]^*h[n]\stackrel{DTFT}\longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega)

Y(\omega)=\sum_n y[n]e^{-j\omega n}=\sum_n (x[n]*h[n])e^{-j\omega n}=\sum_n e^{-j\omega n}\biggl(\sum_k x[k]\cdot h[n-k]\biggr)

Y(\omega)=\sum_n\sum_k x[k]\cdot h[n-k]e^{-j\omega n}=\sum_k\sum_n x[k]\cdot h[n-k]e^{-j\omega n}=\sum_k x[k]\sum_n h[n-k]e^{-j\omega n}

Y(\omega)=\sum_k x[k]e^{-j\omega k}H(\omega)=H(\omega)\cdot X(\omega)

c.v.d

La proprietà della convoluzione ci dice che alla convoluzione nel dominio del tempo (operazione come visto complessa) corrisponde una semplice operazione algebrica di moltiplicazione in frequenza.
Questo rend epossibile effettuare operazioni di filtraggio mediante semplice prodotto nel dominio trasformato, per poi ritornare mediante anti-trasformazione al dominio del tempo.

Tutte le proprietà ricavate dalla teoria delle equazioni alle differenze finite si ricavano dalla proprietà della convoluzione. Così proprietà commutativa, associativa e distributiva del prodotto rispetto alla somma.

Proprietà della DTFT: la modulazione

Proprietà della modulazione

x[n]y[n]\stackrel{DTFT}\longleftrightarrow \frac 1{2\pi}X(\omega)*Y(\omega)

Dim.

z[n]=x[n]y[n]

Z(\omega)=\sum_n z[n]e^{-j\omega}=\sum_n x[n]\cdot y[n]e^{-j\omega n}=\sum_n x[n] \frac 1 {2\pi}\int_{2\pi}H(\vartheta) \cdot e^{in\vartheta}d\theta e^{-j\omega n}

Z(\omega)=\sum_n x[n]\frac 1 {2\pi}\int_{}2\piH(\vartheta)\cdot e^{-jn(\omega -\vartheta)}d\vartheta=\frac1 {2\pi}\sum_nx[n]H(\vartheta)\cdot e^{-jn(\omega -\vartheta)}d\vartheta

Z(\omega)=\frac1 {2\pi}\int_{2\pi}h(\vartheta)\sum_n x[n]\cdot e^{-jn(\omega -\vartheta)}d\vartheta=\frac 1 {2\pi}\int_{2\pi}H(\vartheta)X(\omega -\vartheta)d\vartheta

A partire da questa proprietà ad esempio si può verificare nuovamente la proprietà:

x[n]e^{j\omega_0n}\stackrel{DTFT}\longleftrightarrow X(\omega -\omega_0)

DTFT: come calcolarla

La Trasformata di Fourier a Tempo Discreto va calcolata mediante un integrale. Il calcolo di questa trasformata, è quindi complesso, da un punto di vista numerico, a meno che, come avviene per sequenze definite in forma chiusa, non sia possibile esprimere anche l’integrale di Fourier in forma chiusa.

Nel caso poi di segnali reali, di cui sono acquisiti i campioni, senza che nemmeno esista una formula chiusa, l’integrazione andrebbe condotta numericamente con complesse formule e procedimenti numerici computazionalmente costosi, ed in ogni caso usando delle formule di approssimazione per la quadratura, tipiche del calcolo numerico (eg. Regola di Simpson).

Fortunatamente però esiste una relazione stretta (proporzionalità) tra i valori della trasformata di Fourier per valori equidistanti della frequenza (in realtà pulsazione) ed il valore dei coefficienti della serie discreta di Fourier della versione periodizzata del segnale, nel caso che questo abbia supporto finito, cioè sia, come ogni segnale del mondo reale, a durata limitata.
In tal modo il calcolo che in linea di principio dovrebbe essere approssimato diventa esatto (a parte naturalmente le limitazioni legate alla lunghezza finita di parola). Inoltre sono stati messi a punto degli algoritmi di particolare efficienza per il calcolo dei valori della serie di Fourier, la Trasformata Veloce di Fourier (FFT, Fast Fourier Transform), che ha reso pratico il calcolo di questa trasformata, in molti casi preferibile all’operazione di convoluzione, tipica dei sistemi lineari. Poiché come abbiamo già visto in vari contesti, lavorare nel dominio trasformato permette di usare il prodotto delle funzioni di trasferimento in sostituzione della convoluzione fatta nel tempo, l’efficienza dell’algoritmo di trasformazione può rendere preferibile lavorare nel dominio della frequenza; il risultato finale dell’elaborazione, cioè il segnale nel dominio del tempo, si ottiene poi antitrasformando il risultato ottenuto nel dominio della variabile ω. Il flusso delle operazioni nei due casi, perfettamente equivalenti, è indicato nella slide successiva.

Campioni della DTFT mediante DFT

In pratica nel caso in esame di segnale a durata limitata si procede calcolando la DFT già vista in precedenza, mediante una semplice trasformazione algebrica, retta da una matrice finita, dal momento che i valori così trovati sono campioni della Trasformata di Fourier Integrale.
Vale difatti il seguente teorema:
I coefficienti della serie di Fourier di un segnale (a tempo) discreto periodico sono nella seguente relazione con la trasformata discreta di Fourier della versione aperiodica dello stesso segnale:

Na_k=X(k \frac {2 \pi} N})


Campioni della DTFT mediante DFT

Una illustrazione della proprietà vista:

Na_k=X(k \frac {2 \pi} N})

è mostrata nella figura a lato.

Linea continua: trasformata DTF, funzione di variabile continua. Punti singoli in rosso: valori dei coefficienti ak normalizzati: Nak

Linea continua: trasformata DTF, funzione di variabile continua. Punti singoli in rosso: valori dei coefficienti ak normalizzati: Nak


Risoluzione della DTFT mediante DFT

l valore di N è un parametro, che dà il numero di punti dell’intervallo [0 2π] in cui vogliamo calcolare la trasformata. Se quindi dato un segnale di durata M ne facciamo la DFT mediante algoritmo FFT avremo M valori nel dominio ω; se vogliamo una risoluzione migliore occorrerà aumentare il valore di M, semplicemente aggiungendo degli zeri al nostro segnale, fino a raggiungere il numero di campioni desiderati.
Inoltre poiché gli algoritmi più rapidi per il calcolo della trasformata, la cosiddetta FFT, usano un numero di campioni potenza di due, sarà preferibile in ogni caso allungare con degli zeri il segnale (zero padding) fino a raggiungere questo numero.

A titolo di esempio ricordando che per un Treno periodico d’impulsi di periodo N

x[n]=\sum_{l=-\infty}^{\infty}\delta[n-lN]

lo sviluppo in Serie di Fourier Discreta dà: a_k=\frac 1 N

Risoluzione della DTFT mediante DFT (segue)

Se quindi consideriamo l’impulso unitario, di cui il treno di impulsi è estensione periodica x[n]=\delta[n]

Sarà X(\omega)|_{\omega=k \frac {2\pi}N}=X(k\frac{2\pi}N)=Na_k=1

Poiché questo vale per ogni valore di N sarà:

X(\omega)=\frac 1 N a_k=1

Il risultato rilevante è che possiamo semplicemente calcolare i valori della DTFT in punti equidistanti dell’intervallo [0 2π] semplicemente calcolando la DTF del segnale il cui periodo è pari alla durata del segnale da trasformare ed in questo intervallo coincide con il segnale finito da analizzare; ovvero calcolare la DFT che come visto è equivalente alla DTFS; .

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