Vai alla Home Page About me Courseware Federica Living Library Federica Federica Podstudio Virtual Campus 3D Le Miniguide all'orientamento Gli eBook di Federica La Corte in Rete
 
 
Il Corso Le lezioni del Corso La Cattedra
 
Materiali di approfondimento Risorse Web Il Podcast di questa lezione

Sergio Cavaliere » 14.Trasformata di Fourier a Tempo Discreto per segnali di durata arbitraria (DTFT)


Introduzione alla trasformata

Per introdurre con un approccio euristico la trasformazione di Fourier per un segnale che non sia periodico possiamo ragionare nel modo seguente:

Dato un segnale xx[n] di durata finita D possiamo farne una versione periodica  \tilde x[n] di periodo N>D

\tilde x[n]=x[n]\otimes \sum_{k=-\infty}^{k=\infty}\delta[n-kN]

Ricordiamo che per la sua periodicità di periodo N il segnale \tilde x[n] può essere rappresentato in Serie di Fourier Discreta DFS con coefficienti ak dati dalla formula solita:

a_k=\frac 1 N \sum_{k\in\langle N\rangle}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}N n}

Se ora definiamo la funzione della variabile continua X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n} sarà a_k =\frac 1 N X(k\omega_0) con \omega_0=\frac{2\pi}N

La formula di ricostruzione x[n]=\sum_{k\in\langle N\rangle}a_ke^{jk\frac{2\pi}N n} si potrà scrivere: \tilde x[n]=\frac 1 {2\pi}\sum_{k=0}^{N-1}X(k\omega_0)e^{jk\omega 0^n}\omega_0

Passando al limite N→∞ per si avrà x[n]=lim_{N\rightarrow \infty}\tilde x[n]=\frac 1 {2\pi}\int_{2\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega

Dimostrazione grafica

Possiamo verificare graficamente questa dimostrazione: X(ω)e jωn La curva in blu è la curva della funzione (in realtà questa è complessa, non reale ma si rappresenta qui reale per semplicità ma basterebbe pensare alle sue componenti reale ed immaginaria).

La base del rettangolo azzurro, il passo con cui si considerano campioni della curva, è ω0.
L’area del rettangolo, uguale in prima approssimazione all’area sottesa dalla curva, si ottiene come prodotto della base ω0 per l’altezza ed è: X(kω0)e on ω0

Se ora sommiamo tutti i contributi per k variabile da -∞ ad ∞ otteniamo evidentemente un’approssimazione dell’integrale:

\sum _{k=0} ^{N-1} X(k \omega _0)e^{jk \omega n} d \omega

E passando al limite per ω0 tendente a 0 ovvero N= \frac {2 \pi} {\omega _0} tendente ad ∞ otterremo proprio l’integrale.

\int _{2\pi} X(\omega)e^{j \omega n} d\omega

E la dimostrazione è completa.

L’approssimazione dell’integrale con la somma di rettangoli .

L'approssimazione dell'integrale con la somma di rettangoli .


Treno periodico di impulsi

Ad ulteriore illustrazione di quanto detto consideriamo il caso semplice di un singolo impulso rettangolare; se partiamo da un treno periodico di impulsi di periodo N maggiore del supporto D dell’impulso, possiamo ottenere l’impulso unico facendo crescere N e passando al limite per N →∞

Diagrammiamo ora i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier (DFS) per il treno di impulsi periodico.
Otterremo i valori diagrammati in figura. Al crescere di N tutti questi punti si disporranno su di una curva.

Impulso rettangolare periodico e coefficienti della DFS.

Impulso rettangolare periodico e coefficienti della DFS.


Limite al divergere del periodo

Al limite, per periodo infinitamente grande il treno di impulsi si riduce ad un solo impulso ed i campioni discreti della trasformazione si dispongono su di una curva continua (da osservare che il procedimento euristico proposto ricalca quello usato nella lez. n. 10 per introdurre la Trasformata di Fourier nel continuo- si rimanda quindi alla demo proposta nella lez. 10 per la simulazione del procedimento di convergenza).

Diagramma del treno di impulsi quando N diventa grande.
I campioni discreti della DFS si confondono con una curva continua.

Diagramma del treno di impulsi quando N diventa grande. I campioni discreti della DFS si confondono con una curva continua.


Trasformata di Fourier a Tempo Discreto

Sulla base delle cose dette si può dunque motivare la coppia di trasformazioni:

TRASFORMATA DI FOURIER A TEMPO DISCRETO (DTFT Discrete Time Fourier Transform)

x[n]=\frac 1 {2\pi}\int_{2\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega

X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}

La somma infinita mediante cui si definisce la trasformata X(ω) va intesa come limite di somme parziali:

X(\omega)=lim_{M\rightarrow \infty}X_M(\omega)=lim_{M\rightarrow\infty}\sum_{n=-M}^{M}x[n]e^{-j\omega n}

La convergenza della formula di ricostruzione è garantita dal fatto che l’intervallo d’integrazione è limitato.
La funzione X(ω), che si chiama spettro della sequenza x[n], è periodica in ω di periodo perché sono
periodici tutti i termini e^{-j\omega n}.

Convergenza della DTFT

Si osservi che la formula di analisi richiede una somma discreta anche se con un numero di termini infinito. La formula di sintesi richiede invece un integrale.
In ambedue i casi quindi, fatta eccezione per segnali descritti da funzioni relativamente semplici i calcoli relativi possono essere fatti soltanto in modo approssimativo.
Vedremo in seguito che il calcolo di un numero finito di campioni della trasformata può essere fatto, per segnali di durata finita, in modo esatto.

Per la formula di analisi condizione sufficiente per la convergenza è che x[n] sia assolutamente sommabile \sum _{n=- \infty} ^ \infty |x[n]| < \infty

Questo requisito, abbiamo già visto, nel caso della risposta impulsiva di un sistema LTI è il criterio che garantisce la stabilità.
Quindi: ogni sistema LTI stabile possiede una risposta in frequenza che risulta anche continua.

Il requisito richiede in pratica che la risposta impulsiva di un sistema vada a 0, cioè si esaurisca nel tempo con legge sufficientemente rapida.
E’ questo nella grande maggioranza dei casi la situazione di reale interesse facendo riferimenti agli ordinari sistemi fisici.
In tal caso inoltre la convergenza della serie è uniforme e garantisce la continuità della trasformata.
Anche questo è un concetto relativamente complesso, ma significa in sostanza che, al limite, il segnale in esame ed il segnale ricostruito mediante la formula di sintesi, coincidono punto per punto.
E’ questo il concetto ordinario di convergenza (che non si verifica però in altre rappresentazioni in frequenza).

DTFT per segnali di energia

In alcuni casi però la sequenza ottenuta dall’ antitrasformata di una risposta in frequenza prefissata non soddisfa la condizione di assoluta sommabilità .  Se però una sequenza di questo tipo è sommabile in modulo quadro\sum _{n=- \infty} ^ \infty |x[n]|^2 < \infty (ha energia finita come abbiamo visto nella lezione n. 2) allora accade che la convergenza della DTFT di questi segnali è ancora garantita ma nel senso della media quadratica:

lim _{M \rightarrow \infty} \int _{- \pi} ^{\pi} {|X(e)^{j \omega}|}{^2}}} d \omega =0

Questo vuol die che la differenza (errore) tra la risposta in frequenza e la trasformata non converge a 0 per ogni ω mentre l’energia totale dell’errore va a 0. Le due risposte in frequenza dunque non sono coincidenti punto per punto come nel caso della convergenza uniforme ma differiscono per un termine di energia nulla, sono cioè indistinguibili da un punto di vista energetico. Questa mancata convergenza puntuale si verifica in linea di massima nel caso di funzioni discontinue. E’ questo il caso del filtro passa-basso ideale. La sequenza antitrasformata di questo è di durata infinita e non causale e la sua trasformata DTFT non converge al filtro PB ideale puntualmente: essa presenta delle oscillazioni la cui frequenza aumenta all’aumentare della approssimazione ma la cui ampiezza rimane costante: (fenomeno di Gibbs). Questo fenomeno, di cui si omettono i dettagli, è discusso nel sito Mathworl o Wikipedia . Si può comunque avere, utilizzando una estensione della teoria delle funzioni che si chiama teoria delle distribuzioni, una rappresentazione di Fourier anche per segnali che non sono ad energia finita, ad esempio segnali periodici. Ma questo approccio, anche se consente di sviluppare la teoria delle Trasformazioni di Fourier in modo molto compatto ed unitario, esula tuttavia dalle finalità del corso.

Esempi di DTFT: l’impulso ed il ritardo

Nelle prossime slide discuteremo alcuni risultati relativamente semplici della teoria della DTFT.
Le elaborazioni matematiche sono a volta complesse, e non sono strettamente necessarie per gli scopi di questo corso.
Vengono comunque presentati perché una scorsa anche superficiale dei ragionamenti dà idea dell’armamentario matematico coinvolto.

Sono invece importanti i risultati che mettono in luce il semplice funzionamento di certi sistemi e le loro caratteristiche spettrali.

Consideriamo come primo esempio l’impulso unitario δ[n]. La sua trasformata sarà per definizione:

\Delta(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta[n]e^{-j\omega n}=e^{-j\omega 0} =1

L’impulso unitario ha dunque uno spettro reale con eguale ampiezza per tutti i valori della pulsazione ω.
Nel caso del sistema ritardo con risposta impulsiva δ[n-n0] avremo che la trasformata

\Delta_{n_0}(\omega)=\sum_{n=-\infty}\delta[n-n_0]e^{-j\omega n}=e^{-j\omega n_0}

ha modulo unitario (sistema passatutto) e fase linearmente decrescente con ω (sfasamento).

Esempi DFT: la media

Consideriamo ora la risposta impulsiva della media tra due campioni che si può scrivere:

y[n]=\frac 1 2 x[n]+\frac 1 2 x[n-1]

La risposta impulsiva (come già visto) è naturalmente:

h[n]=\frac 1 2 (\delta[n]+\delta[n-1])

la trasformata, applicando la definizione è:

M(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac 1 2 (\delta[n]+(\delta[n-1]))e^{-j\omega n}=\frac 1 2 (1+e^{-j\omega})=

=e^{-j\frac \omega 2}\frac{e^{j\frac {\omega} {2}}-e^{-j\frac{\omega} {2}}}{2}=e^{-j\frac \omega 2}cos \biggl(\frac \omega 2\biggr)

La risposta in frequenza ha dunque la forma in modulo della funzione coseno, massima nell’origine; essa ha fase lineare con ω ed è riportata in figura nell’intervallo [0 π].

Il sistema media attenua dunque la alte frequenze, lascia passare la continua ed attenua poco le basse frequenze: si tratta quindi un filtro passa basso.

Spettro del sistema media ottenuto mediante:
%Spettro della media a due campioni
[h f]=freqz([1/2 1/2],1);
figure
subplot(211),plot(f,abs(h)),grid
subplot(212),plot(f,angle(h)),grid

Spettro del sistema media ottenuto mediante: %Spettro della media a due campioni [h f]=freqz([1/2 1/2],1); figure subplot(211),plot(f,abs(h)),grid subplot(212),plot(f,angle(h)),grid


Media ad M punti

Il risultato della media si può generalizzare al caso seguente dell’impulso rettangolare di durata arbitraria 2N che a parte un fattore di scala effettua una media su 2N campioni.

Dato l’impulso rettangolare non nullo nell’intervallo [–N,N] sarà per la definizione:

X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}=\sum_{n=-N}^{N}e^{-j\omega n}

visto che x(n)=1 nell’intervallo [-N N], zero negli altri punti.

Facendo il cambio di variabili m=n+N quindi n=m-N avremo:

X(\omega)=\sum_{n=-N}^{N}e^{-j\omega n}=\sum_{m=0}^{2N}e^{-j\omega (m-N)}=e^{j\omega N}\sum_{m=0}^{2N}e^{-j\omega m}

ricordando la formula della somma di una serie geometrica di ragione α:

\sum_{n=0}^{N-1}\alpha^n=~~~ \frac {1-\alpha^N}{1-\alpha}~~~~\forall \alpha ~\text{complesso}~\neq 1

=~~~~~N~~\text{se}~~\alpha=1

(per le serie geometriche vedi: matworld)

Media a più punti e suo spettro di ampiezza.
E’ evidente il suo comportamento passa-basso più accentuato che nel caso della media tra due punti. Comportamento atteso tenendo presente che la media a molti campioni attenua le differenza e tende ad uniformare i dati.

Media a più punti e suo spettro di ampiezza. E' evidente il suo comportamento passa-basso più accentuato che nel caso della media tra due punti. Comportamento atteso tenendo presente che la media a molti campioni attenua le differenza e tende ad uniformare i dati.


Media ad M punti (segue)

Nel caso \alpha=e^{-j\omega} sarà:

X(\omega)=e^{j\omega N}\frac{1-e^{-j\omega(2N+1)}}{1-e^{-j\omega}}=\frac{e^{j\omega N}-e^{-j\omega(N-1)}}{e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2})}

X(\omega)=e^{j\frac{\omega}{2}}\frac{e^{j\omega N}-e^{-j\omega(N+1)}}{e^{j\frac{\omega}2}-e^{-j\frac{\omega}2}}=\frac{e^{j\omega(N+1/2)}-e^{-j\omega(N+1/2)}}{e^{j\frac{\omega}2}-e^{-j\frac{\omega}2}}

e ricordando le formule di De moivre sarà:

X(\omega)=\frac{sin[\omega (n+1/2)]}{sin(\omega/2)}

Il periodo della funzione come atteso è di 2π, per ω=0 vale 1.

Impulso unitario e ritardo: spettro

In particolare per N=1 avremo l’impulso unitario, con spettro piatto:

\delta[n]\stackrel{DTFT}\longrightarrow X(\omega)=1

Questo si può ricavare anche per inversione della formula:

x[n]=\frac 1{2\pi}\int_{2\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega=\frac 1 {2\pi}\int_0^{2\pi}e^{j\omega n}d\omega=\frac 1 {2\pi}\int_0^{2\pi}[cos(\omega n)+j~sin(\omega n)]d\omega

x[n]=[sin(\omega n)]^{2\pi}_0-j[cos(\omega n)]^{2\pi}_0=0~~~\text{per}~ n\neq0

Di conseguenza sarà: x[n]=\delta[n]

Consideriamo l’impulso unitario ritardato

Vale la coppia:

\delta(n-k)\stackrel{DTFT}\longrightarrow e^{-j\omega k}

Infatti:

X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(n-k)e^{-j\omega n}=e^{-j\omega k}

Il ritardo

Inversamente

x[n]=\frac 1 {2\pi}\int_{2\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega=\frac 1{2\pi}  \int_{2\pi}e^{-j\omega k}e^{j\omega n}d\omega=\delta[n-k]

In particolare per k=0 si ha:

\delta(n)\stackrel{DTFT}\longrightarrow 1

Questo vuol dire che l’impulso unitario contiene tutte le frequenze dello spettro, in eguale misura; la fase è nulla dappertutto.
Segnale treno di impulsi periodico di periodo N si può dimostrare che vale la coppia

x[n]0\sum_K\delta[n-kN]\stackrel{DTFT}\longrightarrow\frac{2\pi}N\sum_k\delta(\omega2\pi\frac k N)

Quindi lo spettro di un treno di impulsi è costituito da un treno di impulsi: Al crescere della frequenza del treno di impulsi nel tempo cioè al decrescere del periodi N la distanza tra gli impulsi in frequenza diminuisce come 1/N e viceversa.
Al limite per N-> 0 x[n] = 1 funzione costante e X(ω)=δ(ω) come già visto.
Se invece passiamo al limite per N->inf sarà x[n]= δ[n] ed X(ω)=1; anche questo è stato già verificato in altro modo.

DTFT per Segnali periodici

Nelle relazioni riportate si è trascurato il fattore di normalizzazione (nel nostro caso)1/2π che in letteraturaè trattato in diversi modi.

Vale la coppia

x[n]=e^{-j\omega n_0}\stackrel{DTFT}\longrightarrow X(\omega)=\sum_l \delta(\omega-\omega_0-2\pi l)=\delta(\omega-\omega_0)~\text{per}~\omega \in[0,2\pi]

Infatti, in base alla definizione:

X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j\omega_0 n}e^{-j\omega n}=\sum_n e^{-j(\omega-\omega_0)n}=\sum_l \delta(\omega-\omega_0-2\pi l)

Questa relazione si può dimostrare anche antitrasformando il treno periodico di impulsi che compare al secondo membro:

x[n]=\frac 1 {2\pi}\int_{2\pi}X(\omega)e^{j\omega m}d\omega=\frac 1 {2\pi}\int_{2\pi}\sum_l \delta(\omega-\omega_0-2\pi l)e^{j\omega n}d\omega

Scelto come intervallo di integrazione di larghezza 2π l’intervallo -π π, in questo ricade, del treno di impulsi periodico soltanto l’impulso per l=0, quindi avremo:

x[n]=\frac 1{2\pi}\int_{2\pi}{\delta(\omega-\omega_0)e^{j\omega n}d\omega}=e^{j\omega_0 n}

Nel caso particolare ω0 =0 avremo la coppia

1 \stackrel{DTFT}\longrightarrow \delta(\omega)

I materiali di supporto della lezione

Una tabella di serie di Fourier

  • Contenuti protetti da Creative Commons
  • Feed RSS
  • Condividi su FriendFeed
  • Condividi su Facebook
  • Segnala su Twitter
  • Condividi su LinkedIn
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion