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Sergio Cavaliere » 17.La trasformata Z


Autofunzioni: richiami

Per introdurre la trasformata Z è utile verificare che le sequenze zn con z complesso sono autofunzioni dei sistemi LTI . Gli autovalori ci permetteranno di definire la trasformata.

Riprendiamo a tale scopo alcuni concetti e definizioni già introdottinella lezione 11 quando abbiamo abbiamo verificato che le sequenze ejnω sono autovalori dei sistemi LTI.

Nell’algebra delle trasformazioni tra spazi 3D reali si dice autovettore un vettore che nella trasformazione non cambia direzione ma soltanto ampiezza: il vettore risultato della trasformazione di u sarà ku: k si dirà autovalore associato all’autovettore nella trasformazione data.

In analogia a questo concetto nella più generale teoria degli spazi vettoriali si dice autovettore un vettore che nella trasformazione viene mutato soltanto per una costante moltiplicativa e quindi trasformato dal sistema in modo particolarmente semplice. Nel nostro caso i vettori sono le sequenze e gli auto vettori sono quelle sequenza che nel passaggio attraverso il sistema sono modificate soltanto per una costante moltiplicativa, eventualmente complessa, che si chiama autovalore.

Autofunzioni dei sistemi LTI

Ripercorrendo la verifica fatta per gli esponenziali complessi, consideriamo l’operazione di convoluzione:

y[n]=x[n]\otimes h[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]

Mettiamo in ingresso al sistema una sequenza: x[n]=z^n=(re^{j\omega})^n

Sostituendo nella formula della convoluzione si ha:

y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]x[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]z^{n-k}=z^n\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]z^{-k}

che si può riscrivere come: y[n]=z^n H(z)=x[n]H(z)

dopo aver definito la funzione di z: H(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]z^{-k}

Abbiamo dunque dimostrato la relazione di proporzionalità tra ingresso ed uscita:

y[n]=x[n]H(z)

Una autofunzione di sistema LTI: sequenza potenza di complesso

Una autofunzione di sistema LTI: sequenza potenza di complesso


Combinazioni lineari di autofunzioni

La relazione verificata y[n]=x[n]H(z) valida per sequenze del tipo: x[n]=z^n con z complesso, ci dice che le sequenze potenza di complesso passano in qualche modo indisturbate nella trasformazione indotta dalla convoluzione; esse conservano in uscita la natura di partenza cioè:

  • sono sequenze esponenziali complesse
    hanno la stessa pulsazione del segnale in ingresso
    sono alterate semplicemente da una costante moltiplicativa H(ω) che ne modifica fase ed ampiezza.

Come abbiamo già visto si può stabilire una analogia con la nomenclatura delle trasformazioni dello spazio 3D reale in cui si definiscono autovettori di una trasformazione i vettori che in questa traformazione conservano la loro direzione e sono modificati soltanto in modulo di una costante che si chiama autovalore; con questa analogia queste sequenze potenza di esponenziale complesso ejωn si dicono autofunzioni della trasformazione ed il valore della costante H(ω) si dice autovalore.

Naturalmente, vista la linearità dei sistemi LTI il risultato si può estendere ad una combinazione arbitraria di potenze di esponenziali:

\sum_{k}a_kz_k^n\stackrel{LTI}\longrightarrow \sum_k a_kH(z_k)z_k^n

Se dunque siamo in grado di esprimere il nostro segnale come combinazione lineare di potenze di complessi zk ebbene conoscendo la funzione H(z) definita nel piano complesso, possiamo semplicemente ottenere la risposta del sistema.

La trasformata Z

Da quanto detto resta quindi definita, nelle zone del piano complesso in cui la serie diverge, la funzione di z: H[z]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]z^{-k}

che si dice trasformata Z di h[n] nelle regioni del piano complesso in cui la serie converge. Si osservi che questa trasformata Z, ristretta al cerchio unitario, coincide con la DTFT (sempre che converga). Infatti: ZT(x[n])=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}=DTFT(x[n]\cdot r^{-n})

e, nel caso del cerchio unitario, r=1, coincide con la definizione della DTFT: X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}

Convergenza

La convergenza richiede che la DTFT di converga. La regione di convergenza si chiama ROC, acronimo di Region Of Convergence. Se la ROC contiene il cerchio unitario anche la DTFT converge. Per discutere la convergenza richiamiamo la definizione di poli e zeri di una funzione f definita nel campo C dei complessi. Si intende per zero un valore della variabile complessa in cui la funzione vale 0: f (z0)=0

Si intende per polo un valore della variabile complessa in cui la funzione va all’infinito: f (z0)=0. Nel caso semplice delle funzioni di trasferimento razionali sono zeri e poli semplicemente gli zeri del numeratore e quelli del denominatore della funzione di trasferimento. Per una definizione più formale vedi il sito Web Mathworld.

Trasformata Z e DTFT

La trasformata Z è caratterizzata dai suoi zeri e poli (se è razionale come avviene praticamente sempre) e dalla sua regione di convergenza. Con gli stessi poli/zeri ma diversa ROC si hanno sequenze diverse. La ROC gode di alcune proprietà utili; tra le altre si osserva che la ROC consiste in un anello del piano C centrato nell’origine e che essa non contiene poli, in corrispondenza dei quali infatti il modulo della funzione di trasferimento va all’infinito. Infatti dato il polo z0 la funzione H(z)= \frac 1 {1-z^{-1} \cdot z_0} che appunto ammette questo polo ha un modulo infinito se z= z0 perchè per questo valore di z il denominatore si annulla ed il rapporto va all’infinito. La definizione della trasformata Z è la definizione di una serie di potenze (serie di Laurent).

La trasformata Z è una generalizzazione della DTFT perché segnali che non ammettono DTFT possono ammettere trasformata Z; questo da un punto di vista intuitivo accade per la presenza del termine r-n che, avendo un andamento rapidamente convergente a 0 per r>1, permette alla serie x[n]= r-ne-jωn di diventare sommabile anche dove la serie x[n] e-jωn , caratteristica della trasformata di Fourier, non converge. Viceversa pero’ accade anche che segnali che non ammettono trasformata Z possono ammettere DTFT. Ma i dettagli della teoria matematica si possono a questo livello trascurare.

Di seguito riportiamo alcuni esempi di trasformata che costituiscono la base per trovare, mediante opportune regole, la trasformata di funzioni anche molto complesse. Inoltre dall’inversione della trasformata Z si ricava la sequenza che rappresenta la risposta nel tempo della trasformata in esame. La teoria estesa della caratterizzazione della regione di convergenza di una trasformata Z e la teoria estesa dell’antitrasformazione può essere omessa senza pregiudicare la comprensione dell’argomento; Possono essere sempre approfondite nel caso se ne presenti l’esigenza.

Un esempio di trasformata Z

Abbiamo ricavato nella lezione 5 la risposta impulsiva del sistema retto dall’equazione ricorsiva del primo ordine:y[n]-ay[n-1]=x[n]~~~~~h[n]=a^nu[n] risposta che è stabile nell’ipotesi |a|<1

Abbiamo anche verificato che in tale ipotesi la sua risposta in frequenza è H(e^{-j\omega})=\frac 1 {1-ae^{-j\omega}}

Valutiamo ora la trasformata Z. Si può verificare che vale la coppia: a^nu[n]\stackrel {ZT}\longleftrightarrow \frac 1 {1-az^{-1}}

Infatti dalla definizione si ricava:

ZT(x[n])=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a^n u[n]z^{-n}0\sum_{n=0}^{\infty}a^n z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}(az^{-1})^n=\frac z{z-a}

Si osservi che la convergenza della serie geometrica si ha solo per ragione |az-1|<1 [Per verificare questa formula è sufficiente scrivere l'espressione della somma parziale con un numero finito di termini, N e poi passare al limite per N->∞]. Per la serie vedi il sito Web Mathworld.

Poiché la trasformata di Fourier non è altro che la restrizione della trasformata Z al cerchio unitario allora
dall’osservazione fatta che la funzione converge per |z|>a si può concludere che se |a|<1 esiste la Trasformata di Fourier poiché il cerchio unitario è contenuto nel dominio di convergenza. Se viceversa |a|>1 non esiste Trasformata di Fourier (la serie di Fourier non converge).

Poli

La situazione descritta si verifica nelle figure a lato.

Caso |a|<1 il polo è interno al cerchio unitario. La regione di convergenza ROC è la porzione di piano per cui |z|>|a|, quindi esterna al cerchio di raggio |a| (regione in colore azzurro). Questa regione di convergenza include il cerchio unitario e questo ci porta a concludere che il sistema ammette Trasformata di Fourier.

Caso |a|>1 il polo è esterno al cerchio unitario. La regione di convergenza ROC è la porzione di piano per cui |z|>|a|, e contiene il cerchio di raggio |a| (regione in colore azzurro). Il cerchio unitario non è incluso nella ROC e questo ci porta a concludere che il sistema non ammette Trasformata di Fourier.

Caso |a|

Caso |a|<1

Caso |a|>1

Caso |a|>1


Inversione della Trasformata Z

Si può ottenere in vari modi:

  • Metodo diretto, che richiede approfondimenti matematici qui evitati.
  • Espansioni in fratti parziali che in pratica sfruttano l’inversione della sezione del primo ordine \frac 1 {1-az^{-1}} vista nella slide precedente.
  • Espansione mediante serie di potenze. Anche qui si preferisce evitare approfondimenti matematici eccessivamente complessi.

In varii testi esistono tabelle di trasformate ed anti trasformate Z a cui si può attingere per risolvere problemi specifici. Ad esempio su Wikipedia oppure sul Mathworld di Wolfram

Proprietà della trasformata Z

Sono in generale semplici le verifiche delle proprietà della trasformata Z, che del resto replicano analoghe proprietà, valide in forme simili, delle altre trasformazioni di Fourier già studiate. Anche le dimostrazioni sono simili, basate per di più sulle proprietà delle potenze e degli esponenziali. Le dimostrazioni più semplici sono del resto riportate per esteso nella sezione materiali di questa lezione.

Proprietà di Linearità

x[n]\stackrel{z}\longrightarrow X(z)

y[n]\stackrel{z}\longrightarrow Y(z)

ax[n]+by[n+\stackrel{z}\longrightarrow aX(z) + bY(z)

Proprietà di Traslazione nel tempo (time shift)

x[n]\stackrel{z}\longrightarrow X(z)

x[n-n_0]\stackrel{z}\longrightarrow X(z)z^{-n_0}

Proprietà di Traslazione in frequenza (frequency shift)

e^{j\omega_0 n}x[n]\stackrel {z}\longrightarrow X(e^{-j\omega_0}z)

La convoluzione

Proprietà dell’inversione dell’asse dei tempi (time reversal)

x[-n]\stackrel{z}\longrightarrow x\Biggl(\frac 1 z\Biggr)

Proprietà della convoluzione

x[n]\stackrel{z}\longrightarrow X(z)

h[n]\stackrel{z}\longrightarrow H(z)

x[n]^* h[n]\stackrel{z}\longrightarrow X(z)\cdot H(z)

La regione di convergenza della trasformata Z: immagini

La trasformata Z abbiamo visto ha una sua regione di convergenza ed in questa regione coincide con la sua forma analitica.
Torniamo al caso del sistema ricorsivo del primo ordine ed alla sua trasformata Z:

y[n]-ay[n-1]=x[n]

H[z]= \sum ^{\infty} _{k=- \infty} h[k]z^{-k}

L’andamento della somma della serie che definisce la trasformata Z, diverge evidentemente su tutta la circonferenze d’equazione z=|a ed anche al suo interno.

Osserviamo in figura l’andamento del modulo della funzione G[z]= \frac 1 {1-az^{-1}} è evidente che la funzione diverge soltanto per a=z quando cioè il denominatore va a 0.

E’ chiaro che convergenza significa che dove la somma della serie converge essa converge proprio alla funzione G(z) dunque H(z) = G(z) nella regione di convergenza.

Si osserva inoltre che in questo caso |a|<0 il cerchio unitario (in bleu) è interno alla zona di convergenza e la sequenza possiede anche Trasformata di Fourier che, sul cerchio unitario, coincide con la trasformata Z .

La somma della serie di Fourier per il filtro del primo ordine.

La somma della serie di Fourier per il filtro del primo ordine.

La funzione 1/(1-az-1) (modulo).

La funzione 1/(1-az-1) (modulo).


Immagini: trasformata Z

Nell’immagine a fianco è riportato la posizione del polo e la zona di convergenza scura. Il cerchio unitario in bleu è interno alla zona di convergenza.
Queste posizioni relative di polo, zona di convergenza e cerchio unitario si possono seguire anche nella rappresentazione 3D della risposta e della funzione G(z) con una vista dal basso che permette di apprezzare la posizione del polo e le zone di convergenza.

La regione ROC il polo ed il cerchio unitario (bleu).
La funzione G(z) vista del basso.
La serie in z in modulo.

Equazione alle differenze SDE e trasformata Z

I motivi per l’uso della trasformata Z sono:

  • permette di passare facilmente dalla funzione di trasferimento razionale di un sistema alla sua descrizione in frequenza (analisi)
  • viceversa permette di ricavare l’equazione alle differenza di un sistema, a partire da una forma desiderata della funzione di trasferimento in frequenza, cioè la sua descrizione in frequenza.

Data l’equazione alle differenze

\sum_{k=0}^Na_ky[n-k]=\sum_{k=0}^M b_k x[n-k]

si possono trasformare entrambi i termini e, ricordando la proprietà del ritardo otterremo:

\sum_{k=0}^N a_k Y(z)z^{-k}=\sum_{k=0}^M b_kX(z)z^{-k}~~~~~~~~~~Y(z)\sum_{k=0}^Na_k z^{-k} =X(z)\sum_{k=0}^M b_kz^{-k}

Possiamo allora ricavare il seguente rapporto detto funzione di trasferimento \frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^M b_kz^{-z}}{\sum_{k=0}^Na_kz^{-k}}

che è un rapporto tra polinomi in z-1.

La funzione di trasferimento nella variabile z

Questa formula ci dice che, per qualsiasi coppia ingresso/uscita il rapporto tra le trasformate è un rapporto di polinomi come nella formula, dipendenti esclusivamente dai coefficienti ak e bk della equazione alle differenze finite. Questa funzione razionale, dunque caratterizza completamente il sistema. Se ora in ingresso mettiamo l’impulso unitario x[n]=δ[n] poiché esso ha trasformata Z pari ad 1, avremo che l’uscita sarà la risposta all’impulso unitario e sarà in tal caso Y(z)=H(z) .

Dunque si può dire che:

H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^M b_kz^{-k}}{\sum_{k=0}^Na_kz^{-k}}

Abbiamo verificato che un’equazione alla differenze caratterizza la risposta impulsiva del sistema come una funzione razionale in z-1. E’ vero naturalmente l’inverso, in quanto dalla funzione di trasferimento razionale di sopra è possibile scrivere direttamente l’equazione alle differenze corrispondente, ricavando poi la struttura implementativa corrispondente.

Come già visto la restrizione al cerchio unitario della trasformata Z di h[n]~~~~~H(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]z^{-k} calcolata cioè per z=e coincide con la DTFT dello stesso segnale (sempre naturalmente che converga)

H(z)_{z=e^{j\omega}}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}=DTFT (x[n])=H(\omega)

(con un abuso di notazione abbiamo indicato le due funzioni con lo stesso simbolo).

Le caratteristiche dei filtri digitali

Per la proprietà del ritardo dall’equazione alle differenze standard è possibile semplicemente ricavare la trasformata Z del sistema in esame; viceversa, altrettanto semplicemente, dalla trasformata Z razionale si può ricavare l’ equazione alle differenze corrispondente e dunque l’implementazione corrispondente, come vedremo in alcuni casi tipici

Si può osservare che tutte le operazioni necessarie a caratterizzare il sistema e ad implementarlo sono operazioni algebriche, quindi essenzialmente molto semplici, come vedremo con gli esempi seguenti di sistemi del primo e del secondo ordine; operazioni che possono essere implementate mediante i sistemi digitali già visti costruiti con somme, moltiplicazioni e ritardi.

Si tratta dunque di sistemi che possono essere implementati in modo esatto (a parte naturalmente la precisione di parola dovuta alla rappresentazione finita dei numeri in un sistema digitale).

Questa situazione è singolare in quanto in genere la soluzione di problemi fisici nel mondo digitale, che oggi è in pratica l’unica utilizzata, fa in genere ricorso all’approssimazione algebrica di operazioni di calcolo (integrazione, derivazione, somme infinite).

Nel caso dei cosiddetti filtri digitali le operazioni per implementare un sistema arbitrario sono in loro natura finite e discrete e possono di conseguenza essere implementate in maniera esatta.

Sistemi ricorsivi del primo ordine

y[n]-ay[n-1]=x[n]

Trasformando in z:

Y(z)-az^{-1}Y(z)=X(z)

H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac 1 {1-az^{-1}}

Richiedendo il requisito di stabilità il cerchio unitario dovrà essere compreso nella ROC. Quindi per garantire la convergenza occorre supporre che sia . La risposta impulsiva sarà data dalla sequenza è:

h[n]=a^nu[n]

La trasformata di Fourier è:

H(e^{j\omega})=\frac 1 {1-ae^{-j\omega}}

Il modulo della risposta in frequenza si può ottenere, come già visto come rapporto tra i vettori numeratore e denominatore. Si ricava, come già visto, che, se a>0 la risposta in frequenza è passa basso, altrimenti è passa alto.

Sistemi ricorsivi del 2° ordine

y[n]-2r~cos\theta y [n-1]+r^2 y [n-2]=x[n]~~~~~\text{con}~~~0</p><br />
<p style="text-align: center;">[tex]H(z)=\frac 1 {1-2r~cos \vartheta z^{-1}+r^2z^{-2}}

dividendo in fratti semplici:

H(z)=\frac A {1-re^{j\vartheta}z^{-1}}+\frac B{1-re^{-j\vartheta}z^{-1}}

con

A=\frac{e^{j\vartheta}}{2jsin\vartheta}~~~,~~~B=\frac{-e^{-j\vartheta}}{2jsin\vartheta}

Nel caso di sequenze causali la stabilità richiede che i due poli (complessi coniugati) siano interni al cerchio unitario cioè r<1.

La risposta impulsiva è:

h[n]=\Biggl[A(re^{j\vartheta})^n+ B(re^{-j\vartheta})_|\Biggr]u[n]=r^n\frac{sin(n+1)\vartheta}{sin\vartheta}u[n]

Funzione di trasferimento IIR di ordine 2

Nel caso θ=0 il polo è unico con molteplicità 2 (il polinomio a denominatore ha due zeri coincidenti)

H(z)=\frac 1 {(1-rz^{-1})^2}

h[n]=(n+1)r^nu[n]

Nel caso θ = π il polo è ancora unico con molteplicità 2:

H(z)=\frac 1 {(1-rz^{-1})^2}

h[n]=(n+1)(-r)^nu[n]

Un ultimo caso è quello con due poli reali:

H(z)=\frac 1{(1-r_1z^{-1})}\frac 1 {(1-r_2z^{-1})}

y[n]-(r_1+r_2)y[n-1]+r_1r_2y[n-2]=x[n]

H(z)=\frac A {1-r_1z^{-1}}+\frac B {1-r_2z^{-1}}

A=\frac{d_1}{d_1-d_2}~~~~~~B=\frac{d_2}{d_2-d_1}

h[n]=\lfloor Ad_1^n+Bd_2^n\rfloor u[n]

Caso di coppia di poli complessi

Caso di coppia di poli complessi coniugati in condizioni di stabilità e causalità

La risposta in frequenza è:

H(e^{j\omega})=\frac 1 {(1-re^{j(\vartheta -\omega)}){(1-re^{-j(\vartheta - \omega)}})}

|H(e^{j\omega})|^2=\frac 1 {(1-2r\cos(\vartheta -\omega))(1-2rcos(\vartheta + \omega))}

\varphi(\omega)=atan \Biggl[\frac{r sin(\vartheta +\omega)}{1-r cos (\vartheta +\omega)}\Biggr]-atan\Biggl[\frac{rsin(\vartheta -\omega)}{1-rcos(\vartheta -\omega)}\Biggr]

Massimi e minimi di |H(e^{j\omega})|^2 sono le radici dell’equazione ricavata annullando la derivata. Le soluzioni sono: ω=0, ω=π e la soluzione dell’equazione cos \omega =\frac{r^2+1}{2r}cos\theta che ammette soluzioni se cos \theta < \frac {2r}{r^2+1} e sono soluzioni dell’equazione: cos \omega_0=\frac{r^2+1}{2r}cos \theta che, nell’ipotesi r≅1ω0≅ϑ.

Il valore massimo poi vale:H_{max}=\frac 1 {1-r(1+r)sin \vartheta^'} , cioè e’ inversamente proporzionale alla distanza dal polo al

cerchio unitario ed ha il massimo per r=1.
Quanto più il polo è vicino al cerchio unitario tanto più il sistema è risonante.

Sistemi di ordine superiore: fattorizzazione

Lo studio della sezione del primo ordine e del secondo ordine esauriscono tutte le possibili tipologie, sulla base del teorema fondamentale dell’algebra in base al quale un polinomio di grado arbitrario può essere scomposto in sezioni del primo ordine a coefficienti reali e sezioni del secondo ordine sempre a coefficienti reali.

Possiamo quindi, data una funzione di trasferimento consistente in un polinomio di grado arbitrario, scomporre questo polinomio in fattori ed ottenere la risposta in frequenza come prodotto delle risposte delle sezioni studiate separatamente, passa basso o passa alto o accordate.

Per quanto riguarda poi l’implementazione possiamo a scelta utilizzare una sola sezione di ordine pari all’ordine del sistema, oppure possiamo scomporre il polinomi numeratore e denominatore in sezioni del primo ordine a coefficienti reali, o sezioni del secondo ordine per gli zeri complessi coniugati. La cascata di queste sezioni, in ordine arbitrario (commutatività della convoluzione) ci permetterà di implementare il sistema digitale con la risposta desiderata.

Sistema di partenza, di ordine arbitrario
Sistema sintetizzato come cascata di sistemi del primo e del secondo ordine, a coefficienti reali.

Sistema di partenza, di ordine arbitrario Sistema sintetizzato come cascata di sistemi del primo e del secondo ordine, a coefficienti reali.


I materiali di supporto della lezione

Trasformata Z

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