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Sergio Cavaliere » 19.Trasformate bidimensionali


Le immagini digitali

Le immagini sono rappresentate da strutture matematiche caratterizzate dalle due dimensioni x ed y, sia nel continuo che nel discreto; a differenza dei segnali bidimensionali, che sono funzioni del tempo o di una variabile discreta n, connessa al tempo, le variabili x ed y per le immagini sono le coordinate spaziali di un punto, nel caso di immagini continue, ovvero di un pixel nel caso di immagini discrete.

Una immagine dunque è rappresentata da una funzione nel continuo f(x,y) con (x,y)R2 oppure nel discreto f(n,m) con (n,m)Z2 che rappresenta l’intensità dei punti o pixel dell’immagine.

Nel caso di una immagine a colori abbiamo tre piani di colore e quindi tre funzioni intensità.

Naturalmente nel caso dei filmati, intesi come sequenze temporali, continue o discrete, ricompare la dimensione tempo, una quarta dimensione, che però non considereremo.
Il concetto di frequenza si estende quindi alle immagini, ma questa volta siamo in presenza di frequenze spaziali, nelle due dimensioni.

Immagine in toni di grigio.

Immagine in toni di grigio.


La Trasformata di Fourier per le immagini

Più importante ancora, nelle immagini, come vedremo è il concetto di fase. Intuitivamente la fase di un segnale unidimensionale contribuisce al suo fattore di forma; se ad esempio sfasiamo a caso le componenti di una forma d’onda rettangolare o di un attacco rapido di un suono percussivo, si perderà quello che si chiama fattore di forma, e cioè il fronte ripido della forma d’onda rettangolare o l’attacco rapido di tutte le componenti di frequenza di un suono percussivo. Per i suoni stazionari però la fase è molto meno importante. Nel caso delle immagini invece la fase è più importante: l’equivalente dei fronti di salita dei segnali saranno i contorni ovvero i rapidi cambiamenti di intensità, ma questo è l’aspetto che permette di percepire visivamente le figure, cioè contorni e superfici confinanti, diverse per colore o intensità, ed è quindi l’aspetto più rilevante dal punto di vista percettivo. Questo sarà verificato più avanti con esempi visivi. Si possono, anche per le immagini, definire delle trasformazioni dalle variabili x, y, (x,y)∈R2 alle variabili (ωx,ωy)∈R2,nel continuo ed analogamente nel discreto, con la premessa già fatta che si tratta di frequenze (o pulsazioni) spaziali, che tengono conto della velocità di cambiamento nelle due direzioni orizzontale e verticale. La Trasformata di Fourier per immagini continue sarà definita, in analogia alla definizione 1D come:

F(\omega_x,\omega_y)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j(\omega_x x+\omega_x x)}dxdy

Si tratta difatti, data l’indipendenza (separabilità) delle variabili x ed y, di due trasformazioni in cascata, una per la x ed una per la y:

F(\omega_x,\omega_y)=\int_{-\infty}^{\infty}\Biggl(\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j\omega_x x}dx\Biggr)e^{-j\omega_y y}dy …………………. F(\omega_x, \omega_y)=FT_x(FT_y(f(x,y))=FT_y(FT_x(f(x,y))

Trasformata di Fourier per immagini discrete

Difatti la trasformata di Fourier rispetto alla variabile y cioè FTy(f(x,y)) è funzione della variabile x; questa funzione può quindi essere ancora trasformata secondo Fourier rispetto alla variabile y; trattandosi di due trasformazioni di Fourier in cascata esse sono invertibili, ed è quindi invertibile la trasformazione complessiva.
Passando al discreto definiremo analogamente la seguente trasformazione:

F(\omega_n, \omega_m)=\sum_{-\infty}^{\infty}\sum_{-\infty}^{\infty}f[m,n]\cdot e^{-j(\omega_n n+\omega_m m)}

Si tratta come prima di due trasformazioni discrete di Fourier nelle due variabili discrete m ed n, che per l’indipendenza sono interscambiabili.
Nel caso tuttavia delle immagini la definizione generale data, relativa ad immagini di dimensione infinita, che si estendono a tutto il piano, si semplifica nei casi di utilità pratica; difatti se per segnali unidimensionali l’ipotesi di supporto finito è riduttiva, poiché occorre definire trasformazioni per segnali necessariamente di durata non limitata, nel caso delle immagini le variabili m ed n sono comprese in intervalli finiti, che dipendono dal numero (finito) di pixel delle immagini. Si può utilizzare l’approccio già usato per segnali di durata finita che tra l’altro si avvale anche qui degli algoritmi efficienti di Trasformata di Fourier Veloce (FFT).

Utilizzando la simbologia già usata per la Trasformata Discreta di Fourier (DFT), se l’immagine ha dimensione NxM, useremo le sequenze periodiche \varphi_k[n]=W_N^{nk} k=0…N-1 con W_N=e^{j\frac {2\pi}N}; queste sequenze \varphi_k[n] come già visto sono in numero finito, pari ad N-1, per ogni intero N poiché \varphi_N[n+=\varphi_0[n]~~ \text {e}~~ \varphi_{k+N}[n]=\varphi_k[n]

La coppia immagine/trasformata

L’immagine, come segnale bidimensionale, viene scomposta in queste sequenze attraverso una trasformazione della funzione f[n,m] di una coppia di interi n,m nel supporto finito NxM nella funzione complessa F[n,m] con lo stesso supporto. La relazione è lineare ed invertibile, come nel caso ad una dimensione:

F[k,l]=\sum_{n=0}^{n=N-1}\sum_{m=0}^{m=M-1}f[n,m]W_N^{km}W_M^{ln}~~\text{con}~~0\leq k\leq N~~\text{e}~~0\leq l\leq M

F[n,m]=\sum_{n=0}^{n=N-1}\sum_{m=0}^{m=M-1}f[k,l]W_N^{-km}W_M^{-ln}~~\text{con}~~o\leq k\leq N~~\text{e}~~0\leq l\leq M

Anche per questa coppie di trasformate, dal momento che le due dimensioni sono separabili, si può usare la versione bidimensionale dell’algoritmo della Trasformata Veloce di Fourier (FFT).

La visualizzazione della trasformata

Visualizzaziamo qui il modulo della risposta di un filtro passa basso. La risposta è come sappiamo periodica sia lungo x che lungo y, di periodo 2 π.
In figura mostriamo 2 periodi sia lungo x che lungo y. Possiamo naturalmente rappresentare un solo periodo e questo può essere [0 2 π]x [0 2 π] oppure [-π π] ]x [-π π].
Si preferisce, nel caso delle immagini l’intervallo piano
[-π π]x [-π π].
La componente continua sta in tal caso al centro della figura.
Si osserva inoltre che c’è una antisimmetria, nel caso reale, rispetto al valore π. Sarebbe dunque sufficiente rappresentare la trasformata in un intervallo di dimensione πxπ; si preferisce però la visualizzazione dell’intero periodo.

Periodicità della trasformata definita su tutto il piano e visualizzata nell’intervallo [-2π 2π] ]x [-2π 2π].
Rappresentazione della trasformata nell’intervallo 
[-π π]x [-π π].
Rappresentazione della trasformata nell’intervallo 
[0 2π] x [0 2π].

Una rassegna visuale di trasformate

La visualizzazione della trasformata di Fourier di immagini, sulla base di questa convenzione, viene fatta dopo che nella matrice trasformata vengono scambiati tra di loro il primo ed il terzo quadrante ed il secondo e quarto quadrante.
Nel caso di segnali unidimensionali si preferisce la rappresentazione nell’intervallo [0 2π]. Anche qui però, si potrebbe visualizzare, la trasformata nell’intervallo [-π π]; nel caso 1D inoltre si sfrutta la simmetria della trasformata (simmetria nel modulo antisimmetria nella fase) e si rappresenta la risposta din un sistema nell’intervallo [0 π].

A titolo ancora di esempio la seguente è la trasformata di una immagine costante di livello pari ad 1 (ad esempio immagine completamente nera, ovvero grigio costante).

Si osserva che esso è un impulso nell’origine degli assi x ed y, così come dopo l’operazione di inversione la componente continua nel caso unidirezionale compare sotto forma di un impulso nell’origine degli assi.

Rappresentazioni dello spettro 1D.

Rappresentazioni dello spettro 1D.

La trasformata di una costante (immagine costante) è un impulso nell’origine.

La trasformata di una costante (immagine costante) è un impulso nell'origine.


Frequenza spaziale lungo x e lungo y

Ad illustrazione del significato della frequenza orizzontale e verticale consideriamo le due immagini costituite da righe alternate di un solo pixel; dall’immagine inoltre è stata eliminata la componente continua. Nello spettro vediamo un solo impulso unitario centrato sulla frequenza centrale dello spettro, lungo la x o lungo la y a seconda della disposizione delle righe, verticali o orizzontali, che corrisponde alla metà della frequenza di Nyquist.


Immagine a due soli toni

La figura 1 dà lo spettro di una immagine con due soli toni, bianco e nero, nella disposizione in figura, prima simmetrica lungo le due direzioni e poi asimmetrica, in una sola direzione. In questo ultimo caso sono in chiara evidenza contributi soltanto lungo x o lungo y nei due casi orizzontale e verticale
Viene qui rappresentata la trasformata di Fourier della scacchiera già vista, che, mostra una forte componente continua, dovuta all’esistenza di zone ad intensità costante (i quadrati della scacchiera), priva cioè di variazioni; si rileva inoltre un treno di righe spettrali, dovuto all’andamento ad onda quadra delle intensità, con transizioni brusche bianco/nero ovvero 0/1.

Immagini ottenute con fft2drows.m.

Immagini ottenute con fft2drows.m.

Immagini ottenute con fft2drows.m.

Immagini ottenute con fft2drows.m.


Fase della trasformata

Si può verificare inoltre l’importanza della fase attraverso la risintesi mediante inversione della trasformata dopo avere annullato la fase.

La scacchiera.
Fase della trasformata.
Modulo della trasformata della scacchiera.

Alterazione della fase

La trasformazione FT è esatta ed invertibile; l’inversa quindi ricostruisce esattamente l’immagine.

Se viceversa alteriamo la fase, ad esempio annullandola, l’inversione produrrà una immagine diversa dall’originale; immagine che perde completamente l’informazione sui contorni.

 Immagine ricostruita.

Immagine ricostruita.

 Immagine ricostruita azzerando la fase.

Immagine ricostruita azzerando la fase.


Scambio delle fasi

In un ulterore esempio proviamo a scambiare le fasi di due immagini e poi ritrasformare: è evidente il ruolo della fase nel definire i contorni.

 Immagine e trasformate in modulo e fase.

Immagine e trasformate in modulo e fase.

 Risintesi dopo lo scambio delle due fasi.

Risintesi dopo lo scambio delle due fasi.


Immagine a simmetria centrale

La figura, seguente consistente in una scala di toni di grigio graduali, con simmetria centrale ha uno spettro complesso come nelle figure che seguono.

La figura, seguente consistente in una scala di toni di grigio graduali, con simmetria centrale ha uno spettro complesso come nelle figure che seguono.


Variazione in una sola direzione

Nel caso seguente la scala di grigi varia solo in una direzione, orizzontale , di conseguenza si osservano componenti in frequenza in una sola delle due direzioni.

Nel caso seguente la scala di grigi varia solo in una direzione, orizzontale , di conseguenza si osservano componenti in frequenza in una sola delle due direzioni.


Variazione periodica di intensità

Nell’immagine che segue l’intensità varia con una legge sinusoidale lungo la direzione verticale L’energia risulta concentrata in linee spettrali concentrate lungo una sola direzione.

Nell'immagine che segue l'intensità varia con una legge sinusoidale lungo la direzione verticale L'energia risulta concentrata in linee spettrali concentrate lungo una sola direzione.


Variazione periodica lungo x ed y

Nella seguente immagine la variazione sinusoidale dell’intensità ha simmetria centrale; la trasformata risente di questa simmetria.

Nella seguente immagine la variazione sinusoidale dell'intensità ha simmetria centrale; la trasformata risente di questa simmetria.


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