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Massimo Capaccioli » 21.I buchi neri

Contenuto della lezione

In questa lezione finale, presenteremo un’introduzione allo studio dei buchi neri. In particolare, partiremo dall’evoluzione storica del concetto di buco nero e ricapitoleremo i principi fisici alla base della Relatività Generale.

Inoltre:

esamineremo le proprietà di una singolarità del campo gravitazionale e il comportamento di un buco nero di Schwarzschild in prossimità del suo orizzonte;
discuteremo brevemente le diverse classi di buchi neri in astrofisica;
vedremo le caratteristiche di un buco nero rotante;
Introdurremo la radiazione di Hawking e l’evaporazione dei buchi neri;
studieremo la possible origine dei cosiddetti “lampi gamma” (Gamma Ray Bursts, GRB).

L’origine del concetto di buco nero

Nel 1795, Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827) dimostrò che una conseguenza della teoria della gravitazione universale di Newton e della teoria corpuscolare della luce (promossa dallo stesso Newton) era il fatto che dovessero esistere corpi cosí massivi (o cosí densi) da non permettere alla luce di sfuggire alla loro attrazione gravitazionale.

La velocità di fuga è:

$v_c = \sqrt{ \frac{2 G M }{R}} = R \, \sqrt{ \frac{8 \, \pi}{\pi} \, G \, {\bar \rho}}$

Da queste espressioni si ricava facilmente la massa ed il raggio o la densità media di un corpo sferico la cui la velocità di fuga sia uguale alla velocità della luce.

L’origine del concetto di buco nero

Nel 1915, Albert Einstein pubblica la teoria della Relatività Generale.

Nel 1916, Karl Schwarzschild deriva una soluzione relativista generale per il campo gravitazionale di un corpo sferico, non rotante: il buco nero di Schwarzschild.

Nel 1968, John Archibald Wheeler studia il problema del collasso gravitazionale e conia il termine “black hole” (buco nero).

Un preconcetto sbagliato

“La stella apparentemente deve continuare ad irraggiare e a contrarsi fino a che, suppongo, non arriva ad un raggio di pochi chilometri quando la gravità diventa abbastanza forte per trattenere la radiazione e la stella può finalmente trovare quiete. Mi sono sentito spinto alla conclusione che questo era quasi una reductio ad absurdum della formula della degenerazione relativistica. Vari accidenti possono intervenire per salvare la stella, ma voglio una protezione maggiore di questo. Penso che ci dovrebbe essere una legge di natura che impedisca alla stella di comportarsi in questo modo assurdo.”

Eddington, 1935, in The Observatory, 58, pp. 33-41.

“La suprema autorità di Eddington in quegli anni ha effettivamente ritardato lo sviluppo di idee fruttuose lungo queste linee di ricerca per una trentina d’anni.”

Chandrasekhar, 1980 in Highlights of Astronomy, vol. 5, P.A. Wayman ed., Reidel, Dordrecht.

Il concetto di massa

La Relatività Speciale si fonda sul postulato che la velocità della luce sia la stessa in tutti i sistemi di rifermento inerziale.

Questo fatto rende la velocità della luce un limite superiore per la velocità delle particelle e conduce alla famosa relazione fra massa ed energia: $E \, = \, m \, c^2 \, .$ La dimostrazione esula dallo scopo di queste lezione.

La teoria della Relatività Generale si basa sul Principio di Equivalenza. Questo principio afferma l’equivalenza fra la massa inerziale (ossia, la misura della resistenza di un corpo a cambiare il proprio stato di moto) e la massa gravitazionale (ossia, la capacità di un corpo di attrarre gravitazionalmente un altro corpo massivo).

È proprio la coincidenza di queste due nozioni di massa la ragione per cui tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla loro massa, come osservato per la prima volta da Galileo Galilei.

La gravitazione nella Relatività Generale

Mentre Galilei e Newton accettavano l’equivalenza fra le due nozioni di massa come una fortunata coincidenza, Einstein la eleva a principio fisico fondamentale.

Un enunciato equivalente del Principio di Equivalenza è: l’accelerazione di gravità è indistinguibile da tutte le altre forme di accelerazione. Di conseguenza, una persona in una stanza chiusa non può distinguere fra l’accelerazione di gravità dovuta all’attrazione della Terra sulla sua superficie ed il moto uniformemente accelerato della stanza nello spazio vuoto.

Parimenti, non è possibile distinguere fra la situazione di caduta libera in un campo gravitazionale e l’assenza di peso nello spazio lontano da sorgenti di campo gravitazionale.

Il secondo principio fondamentale della Relatività Generale è l’idea che la materia curvi lo spazio-tempo. In questa prospettiva, la gravitazione non è una forza, ma una manifestazione della geometria dello spazio-tempo, e gli oggetti rispondono alla gravitazione seguendo semplicemente le geodetiche dello spazio curvo determinato dalla presenza di materia.

Alcune predizioni della Relatività Generale

Deflessione della luce da parte della gravità: Questo origina la varietà di fenomeni astrofisici noti come lensing gravitazionale.
Redshift gravitazionale: La luce perde energia mentre esce da un campo gravitazionale, e la sua frequenza si sposta verso il rosso, secondo la seguente relazione:

$\frac{\lambda}{\lambda_0} \, = \, \sqrt{1 - \frac{2 \, G M}{c^2 r} }$

Dilatazione temporale: Il tempo scorre più lentamente in un campo gravitazionale rispetto a regioni dove il campo è nullo.
Precessione del perielio di Mercurio.
Radiazione gravitazionale: Una massa accelerata produce “increspature” nello spazio-tempo, ossia onde gravitazionali.

Il raggio di Schwarzschild

Il raggio di Schwarzschild è definito come il raggio di un corpo sferico la cui velocità di fuga è pari a quella della luce. È immediato dimostrare che esso è dato da:

$R_s = \frac{2 G M}{c^2}$

Esercizio. Calcolare il raggio di Schwarzschild del Sole e della Terra.

L’orizzonte degli eventi è una superficie sferica che circonda la singolarità posta nell’origine, ad R=0.

Karl Schwarzschild (October 9, 1873 – May 11, 1916). Fonte: wikipedia.

Raggio di Schwarzschild (diagramma)

Rappresentazione schematica di un buco nero. Fonte: Massimo Capaccioli

Orizzonte degli eventi

Cosa succede in prossimità del raggio di Schwarzschild?

Se osservato da lontano dall’orizzonte degli eventi, un orologio ad R=R_s appare fermo. In altre parole, questa regione è “congelata nel tempo”.

Consideriamo qualitativamente il moto di una particella mentre si avvicina all’orizzonte degli eventi (vedi figura). Lontano dal buco nero una particella può muoversi in qualsiasi direzione. Il suo moto è limitato solo dalla velocità della luce. In prossimità del buco nero, lo spazio-tempo inizia a deformarsi. Ci sono più percorsi che vanno verso il buco nero di quanti se ne allontanano.

All’interno dell’orizzonte degli eventi, tutti le traiettorie possibili portano la particella più vicino al centro del buco nero. Non è più possibile per la particella sfuggire all’attrazione gravitazionale.

Moto di una prticella presso l'orizzonte degli eventi. Fonte: wikipedia

Un viaggio in un buco nero…

Che cosa succede a chi si avvicina al raggio di Schwarzschild?

Le forze mareali sono molto forti, allungando e comprimendo i corpi in caduta libera verso il buco nero.

Una volta attraversato l’orizzonte degli eventi, un corpo è attratto verso la singolarità in 10^-5 s.

Consideriamo eventuali impulsi luminosi emessi in modo costante dalla sorgente ed osservati a grande distanza:

essi sono ricevuti sempre più distanziati nel tempo;
sono sempre più deboli;
sono spostati in frequenza verso il rosso (redshift gravitazionale).

Rappresentazione artistica dell'effetto delle forze mareali nei pressi di un buco nero. Fonte: M. Capaccioli.

La sfera fotonica

Dato un corpo massivo centrale, è sempre possibile porre una particella in orbita intorno ad esso, scegliendo opportunamente la velocità: minore la distanza, maggiore deve essere la velocità.

Intorno ad un buco nero, esiste una regione sferica dove la velocità orbitale è uguale a quella luce: questa è nota come sfera fotonica.

Pertanto, la sfera fotonica è una regione sferica intorno la singolarità gravitazionale dove la gravità è abbastanza forte da costringere i fotoni a muoversi in orbite limitate a questa regione dello spazio.

Il raggio della sfera fotonica, che è anche il limite inferiore per ogni orbita stabile, è:

$R = \, \frac{3\, G \, M }{c^2}$

In questa regione, le orbite sono estremamente instabili.

Dalla stella di neutroni al buco nero

Una stella di neutroni che supera il limite di 3 masse solari diventa necessariamente un buco nero.

Quando una stella collassa e diviene un buco nero, tutte le informazioni riguardo la sua precedente struttura (composizione chimica, geometria) sono perdute.

I seguenti parametri sono sufficienti a descrivere un buco nero:

massa,
momento angolare,
carica elettrica.

Buchi neri di massa intermedia

L’esistenza di buchi neri di massa intermedia è desunta dalla presenza di sorgenti di raggi X ultraluminose.

Il meccanismo della formazione di tali buchi neri è tuttavia ancora non ben compreso.

Un esempio notevole di questa classe di buchi neri è l’oggetto al centro della galassia a spirale NGC 1313.

Immagine con il telescopio spaziale Hubble della galassia a spirale NGC 1313. Fonte: ESA/NASA.

Buchi neri supermassivi

C’è una forte evidenza osservativa che al centro della maggior parte delle galassie (e probabilmente al centro di tutte) ci sia un buco nero supermassivo, di massa fra 10⁶ e 10¹⁰ masse solari.

Anche per i buchi neri supermassivi non è ben noto il meccanismo di formazione.

Il getto osservato nel centro di M87, evidenza di un buco nero supermassivo. Fonte: NASA.

Buchi neri primordiali

I buchi neri di una vasta gamma di masse possono essersi formati nei primi istanti dopo il Big Bang.

Alcuni di questi avrebbe potuto essere piccoli in massa fino a circa 10^-8 chilogrammi.

Buchi neri rotanti

Un buco nero rotante (detto anche buco nero di Kerr) trascina lo spazio-tempo intorno a se. Esso deriva dal collasso di una stella in rotazione (dotata quindi di momento angolare).

È possibile mostrare (ma esula dallo scopo di questo breve corso) che la singolarità non è più un punto, ma assume la forma di un anello a causa della rotazione. Inoltre, si formano non uno ma due distinti orizzonti degli eventi.

La rotazione del buco nero fa sì che si formi la cosiddetta ergosfera: gli oggetti all’interno ergosfera sono costretti a muoversi nella direzione di rotazione.

All’esterno del limite statico, è possibile per le particelle rimanere costantemente ad una data posizione.

L’esperimento Gravity Probe B

Gravity Probe B è un satellite lanciato nel 2004, con a bordo un esperimento per misurare le piccole variazioni nella direzione di rotazione di quattro giroscopi, dovute al campo gravitazionale della Terra.

In un articolo pubblicato sulla rivista Physical Review Letters nel 2011, gli autori hanno riportato l’analisi dei dati provenienti da tutti e quattro i giroscopi risultati in un tasso di deriva geodetico di -6,601.8 ± 18,3 millesimi di arcosecondo per anno (mas/anno), in accordo con le previsioni della Relatività Generale.

Il satellite Gravity Probe B. Fonte: NASA

La radiazione di Hawking

La meccanica quantistica prevede la formazione di particelle ed antiparicelle nel vuoto, che esistono per brevi istanti di tempo prima di annichilarsi.

In prossimità di un orizzonte degli eventi, una delle due particelle può sfuggire prima di annichilarsi, causando la perdita di energia (e, quindi, di massa) da parte del buco nero. L’esito finale potrebbe essere l’evaporazione stessa del buco nero.

Il tempo di vita atteso per un buco nero è

$t = \, 2650 \, \pi^2 \, \left( \frac{2 \, G M}{c^2} \right)^2 \, \left(\frac{M}{h} \right) \, \simeq \, 2 \times 10^7 \, \left(\frac{M}{M_{\odot}} \right) {\rm anni} \, .$

Osservazioni di buchi neri: Cygnus X-1

Non è possibile osservare i buchi neri direttamente. Tuttavia è possibile osservare la radiazione emessa dal materiale che spiraleggia intorno al buco nero.

Cygnus X-1 è uno dei migliori candidati per un buco nero nella nostra galassia.

Cygnus X-1 è una sorgente galattica di raggi X, nella costellazione del Cigno. Scoperta nel 1964, è una delle più forti sorgenti di raggi X osservati dalla Terra, producendo un picco di raggi X densità di flusso di 2.3 × 10^-23 W m^-2 Hz^-1 (pari a 2.3 × 10³ Jansky) .

Secondo il modello più accreditato (modello binario di stella ed un buco nero), la radiazione X osservata è spiegata come prodotto dal gas della stella compagna mentre viene attratto dal buco nero.

Rappresentazione artistica del sistema binario con buco nero Cygnus x-1. Fonte: ESA/NASA.

Osservazioni di buchi neri: Sagittarius A

Il centro della nostra galassia ospita uno dei migliori candidati di buco nero supermassivo.

L’evidenza è fornita dalle misurazioni del moto proprio delle stelle vicino al centro della Galassia, permettendo di misurare accuratamente la massa del misterioso oggetto situato nella sorgete nota come Sagittarius A.

Il buco nero dista circa 26000 anni luce dal sistema solare e la sua massa è circa M ~ 3.6 x10⁶ masse solari.

Sistemi binari compatti

Come si forma un sistema binario contenente una stella di neutroni o un buco nero?

Se meno della metà della massa di un sistema binario esistente viene espulsa in una supernova, le stelle resteranno legate al sistema.

In alternativa, un singolo residuo compatto potrebbe “catturare” una stella vicina.

Quando la massa cade su una stella di neutroni o un buco nero, rilascia una grande frazione della sua energia di massa a riposo. Questi sistemi binari sono fra le sorgenti più luminose di raggi X nel cielo.

Un candidato buco nero: V404 Cygni

La sorgente V404 Cygni è probabilmente il miglior candidato di un buco nero di massa stellare.

Si tratta si un sistema binario in cui una stella di tipo G o K ruota, ogni 6.47 giorni, intorno ad un compagno compatto con una massa di 12 ± 3 masse solari. il sistema fu scoperto nel 1989 tramite l’osservazione di un luminoso impulso X.

Il buco nero nel sistema V404 Cygni è il primo buco nero per il quale si è ottenuta una misurazione accurata di distanza tramite parallasse. La distanza è 2.39 ± 0.14 kiloparsec.

Osservazioni di buchi neri: i quasar

I quasar sono sorgenti estremamente lontane, luminose e puntiformi (ossia: non risolte spazialmente con la strumentazione attualmente usata).

Si ritiene siano alimentati da buchi neri supermassicci (con masse fino ~ 10¹⁰ masse solari), situati nei centri delle galassie, con accrescimento continuo di gas da un disco circostante (disco di accrescimento).

Galassie con al centro un quasar. Fonte: HST/NASA

Lampi di raggi gamma

I lampi di raggi gamma (gamma ray bursts, GRB) sono lampi di raggi gamma associati a esplosioni estremamente energetiche che sono state osservate in galassie lontane.

I lampi possono durare da dieci millisecondi ad alcuni minuti. L’esplosione iniziale è di solito seguita da un “afterglow” più longevo, emesso a lunghezze d’onda maggiori (raggi X, ultravioletti, ottici, infrarossi, microonde e radio).

Essi sono distribuiti isotropicamente in cielo, coerentemente con l’ipotesi di sorgenti poste a distanze cosmologiche.

Esercizio: giustificare la precedente affermazione.

Dal momento che sono oggetti lontani, essi devono essere i fenomeni più energetici che conosciamo.

Sono classificati in lampi gammi lunghi e lampi gamma brevi.

Galassie in cui sono stati ossrvati eventi di lampi gamma. Fonte: NASA.

Lampi gamma lunghi e brevi

Lampi gamma lunghi

Una collapsar è una stella di Wolf-Rayet in rapida rotazione, con massa superiore a circa 30 masse solari. Collassando, essa può generare un buco nero in rotazione. Si ipotizza che le collapsar siano associate ai lampi gamma lunghi (con durata superiore ai 2 secondi), dal momento che lungo l’asse di rotazione del buco nero sono creati violenti getti di energia che sono la causa di intensi lampi di radiazione (osservabili solo se ci si trova lungo la direzione del getto).

Lampi gamma brevi

Eventi meno energetici, probabilmente derivano dalla fusione di oggetti compatti.