Home

Federica EU

1/22

Massimo Capaccioli » 14.L'evoluzione delle stelle

Contenuto della lezione

In questa lezione, studieremo in dettaglio alcune fasi dell’evoluzione delle stelle.

In particolare:

la formazione della protostella;
l’ingresso sulla sequenza principale in funzione della massa stellare;
la dipendenza della vita d una stella in funzione della massa;
il limite di Eddington sulle stelle massive;
le fasi finali della vita di una stella.

Contributi italiani all’astrofisica stellare

I maggiori protagonisti italiani nello studio dell'astrofisica stellare. Fonte: M. Capaccioli

Valore minimo della massa di Jeans

Esercizio: stimare l’ordine di grandezza del valore minimo per la massa di Jeans, ossia il limite inferiore per la frammentazione di una nube. Si utilizzi l’espressione:

$M_J = 0.5\left( \frac{5k}{Gm_H}\right)\left( \frac{T^3}{\mu^3\rho}\right) = 4\times10^{-9}\left(\frac{T^3}{\mu^3\rho[{\rm gr\, cm}^{-3}]}\right)^{1/2} M_\odot\,$ .

La nostra stima ( $M_J\simeq 0.25 M_\odot\,$ ) è rozza, ma dà un’idea dei principi di base coinvolti.

Abbiamo trascurato i seguenti effetti:

l’energia iniziale del collasso – in base al criterio Jeans stiamo assumendo una nuvola statica;
i dettagli del trasporto radiativo, la vaporizzazione di grani di polvere, la dissociazione delle molecole, lo stato di ionizzazione degli atomi;
la rotazione – questo porterà alla formazione di un disco;
discostamenti dalla simmetria sferica;
i campi magnetici.

Un calcolo per via numerica può migliorare la precisione includendo questi ed altri complicati effetti fisici; cfr: Low, C. & Lynden-Bell, D., The minimum Jeans mass or when fragmentation must stop, Monthly Notices, 1976, vol. 176, p. 367-390.

Evoluzione di una protostella di massa solare

L’evoluzione di una protostella di massa solare segue schematicamente le seguenti fasi:

inizia il collasso isotermo
il collasso diventa adiabatico, e la nuvola si riscalda. La presenza di momento angolare porta alla formazione di un disco in rotazione
si forma una protostella quasi-stabile, che irradia energia potenziale gravitazionale
il materiale che collassa continua ad accrescere sul disco
il collasso del nucleo continua quando la polvere vaporizza e l’idrogeno molecolare si dissocia
la fusione nucleare inizia, e un getto di energia espelle materiale e momento angolare dal sistema

Schema di un disco protostellare. Fonte: NASA

Gli oggetti Herbig-Haro

Gli oggetti Herbig-Haro sono piccoli sistemi nebulari associati ai getti generati da stelle in formazione.

I getti, che muovono a una velocità di diverse centinaia di chilometri al secondo, interagiscono con il mezzo interstellare circostante, eccitando il gas e formando questi particolari oggetti.

Sono caratterizzati da forti righe emissione nello spettro.

Il nome deriva da quelli di due astronomi, uno statunitense e un messicano, che per primi misero in evidenza questa fenomenologia.

Schema degli oggetti Herbig-Haro. Fonte: wikidepia

Gli oggetti HH 47, HH 34 e HH 2, osservati con il telescopio spaziale Hubble. Fonte NASA.

L’oggetto HH 30

Le immagini mostrano l'evoluzione della struttura del disco (intorno alla protostella centrale oscurata) e del getto del sistema HH 30. Fonte: NASA

Dischi stellari

Stelle giovani di sequenza principale presentano ancora dei dischi, anche dopo che la nube molecolare è stata dispersa.

L’immagine mostra il disco di polvere osservato con il telescopio infrarosso Spitzer intorno alla stella Vega.

È noto almeno un pianeta massivo nella struttura del disco.

L’immagine mostra il disco prima e dopo la sottrazione del contributo dovuto alla stella centrale.

Disco stellare di polvere intorno alla stella Vega. Immagine modificata da Marsh et al. (2006, ApJ).

Collasso quasi-stabile

L’evoluzione quasi-statica di una protostella dipende dal tempo scala necessario per liberare l’energia potenziale gravitazionale e dal tempo scala dato dalla caduta libera.

Ricordiamo che il tempo scala di Kelvin-Helmotz è:

$T_{KH} = \frac{E{\rm grav}}{L} \simeq \frac{3}{10} \, \frac{GM_e^2}{L_e R_e} \simeq 10^7 \, {\rm yr} \,$ .

Domanda: si consideri la relazione fra luminosità e temperatura nella figura. Se la protostella è riscaldata fino a 3000 K, dove si trova la protostella nel diagramma HR, rispetto alla sua futura posizione sulla Sequenza Principale?

Relazione attesa fra temperatura e luminosità sulla sequenza principale. Fonte: M. Capaccioli.

La traccia di Hayashi

La cosiddetta traccia di Hayashi rappresenta il percorso che una protostella compie sul diagramma H-R dopo aver raggiunto un equilibrio idrostatico approssimativo.

Il giapponese Hayashi (1961) mostrò che esiste un limite inferiore alla temperatura efficace, $T \sim 4000 {\rm K} \,$ , al di sotto del quale l’equilibrio idrostatico non può essere mantenuto.

Infatti, le stelle più fredde sono instabili perché l’energia non può essere trasportata in modo sufficientemente rapido.

La traccia di Hayashi nel diagramma H-R. Fonte: M. Capaccioli.

La traccia di Hayashi

Il limite di Hayashi è equivalente a un confine verticale nel diagramma HR. Le nubi più fredde si contraggono e si riscaldano fino a raggiungere il limite di Hayashi.

Una volta sulla traccia, una protostella continua a contrarsi per un tempo pari al tempo scala di Kelvin-Helmholtz senza aumentare la propria temperatura effettiva. Stelle sulla traccia di Hayashi sono completamente convettive. Sono fredde e opache; il trasporto di energia radiativa è inefficiente, e di conseguenza si sviluppano forti gradienti di temperatura interni.

Per una stella di una data massa, la luminosità minima raggiunta sulla traccia di Hayashi è quindi il limite al quale l’astro è ancora completamente convettivo. La convezione sulla traccia di Hayashi comporta che le stelle raggiungono la Sequenza Principale con una composizione piuttosto omogenea.

La zona proibita di Hayashi nel digramma H-R. Fonte: M. Capaccioli.

Sequenza Principale di Età Zero

La Sequenza Principale di Età Zero (Zero Age Main Sequence, ZAMS) è il luogo dei punti (funzione della massa stellare) in cui le stelle, stabilito l’equilibrio, cessano di migrare (per un certo tempo che dipende dalla massa) sul diagramma H-R.

Infatti, quando la fusione nucleare si innesca e diviene il processo principale di produzione dell’energia, e l’energia ricavata dalla contrazione gravitazionale si è dispersa, la stella si arresta in un punto della Sequenza Principale nel diagramma H-R, dipendente essenzialmente dalla sua massa (e un po’ dalla composizione chimica; perché?).

Il tempo $t_H$ impiegato per raggiungere la ZAMS è inversamente proporzionale alla massa stellare: $M\times t_H = {\rm cost}\,$ .

Le stelle più massicce sono abbastanza calde per avviare la fusione del carbonio. Queste lasciano quindi la traccia di Hayashi a luminosità più elevate ed evolvono molto rapidamente. Esse nascono (ossia, appaiono sulla ZAMS) e muoiono (ossia, esplodono) prima che le coeve stelle di massa solare giungano sulla Sequenza Principale di Età Zero.

La struttura stellare sulla Sequenza Principale

Le tre regioni della struttura interna di una stella sono:

il nucleo dove avviene la fusione nucleare,
la zona convettiva, e
la zona radiativa.

Energia, sotto forma di raggi gamma, viene generata esclusivamente nel nucleo, dove avviene la fusione. L’energia viene trasferita verso la superficie in modo radiativo o per convezione. Come mostrato in figura, le stelle di più piccola massa sono interamente convettive, quelle di grande massa per lo più radiative, salvo nel nucleo. Le stelle di massa intermedia, com’è il Sole, hanno un core radiativo e un inviluppo convettivo che si manifesta anche sulla fotosfera (Domanda: come?).

Le curve chiuse rappresentano la convezione, le linee spezzate il trasporto radiativo.Fonte: Wikipedia

La fine della Sequenza Principale: massa solare

La fase della Sequenza Principale termina con l’esaurimento dell’idrogeno nel nucleo. Consideriamo quello che avviene in una stella come il Sole.

Ciò che resta è un nucleo isotermo composto in gran parte di elio (prodotto della fusione dell’idrogeno), mentre l’idrogeno continua la fusione in un guscio sferico intorno al nucleo di elio.

Nella fase di fusione dell’idrogeno nel guscio sferico (shell), viene prodotta ancora più energia rispetto alla fase di fusione nel nucleo (il termostato stellare diventa via via sempre meno efficiente: perché?). Questo si traduce in un aumento del raggio e della luminosità della stella, mentre la temperatura diminuisce. La stella si trova ora nel ramo delle subgiganti.

Quando il nucleo isotermo diviene abbastanza massiccio, non ce la fa più sostenere il guscio e collassa (sui tempi scala di Kelvin-Helmholtz).

Nuclei degeneri

Quando la densità del gas diventa sufficientemente elevata, entra in gioco il Principio di Pauli: due fermioni (e.g., elettroni) non possono occupare lo stesso stato fisico.

La pressione non è più data dal moto termico degli elettroni, e diventa indipendente dalla temperatura:

$P \propto \rho^{5/3} \" data-mce-src=$ , (caso non relativistico).

Il nucleo di una stella di massa solare collasserà quando raggiunge circa il 13% della massa stellare totale.

Stelle di massa minore hanno regioni centrali più degeneri (perché?): pertanto i nuclei possono anche non collassare prima che inizi la fase successiva delle fusione nucleare.

Stelle con massa maggiore

Consideriamo ora stelle di massa un po’ maggiore di quella solare.

Le regioni nucleari sono convettive, quindi la loro composizione è omogenea. Quando la frazione di idrogeno diminuisce abbastanza, l’intera stella si contrae, rilasciando una certa quantità di energia potenziale gravitazionale.

Di conseguenza, la luminosità aumenta leggermente e la temperatura aumenta (dato che il raggio diminuisce). Questo segna la fine dell’evoluzione sulla Sequenza Principale.

La luminosità di Eddington

Stelle molto massive sono instabili, a causa sia delle pulsazioni nucleari sia della loro elevata luminosità.

Esiste una luminosità massima alla quale è ancora possibile l’equilibrio idrostatico. Questo valore è noto come luminosità di Eddington:

$L_{\rm Ed} = \frac{4 \pi G c}{{\bar \kappa}} \, M \,$ ,

dove ${\bar \kappa}\,$ è l’opacità media.

Se la luminosità eccede questo limite, avviene una perdita di massa, perché la pressione di radiazione vince sulla gravità.

La luminosità di Eddington

Dimostrazione.

Un elettrone libero è legato alla stella quando la pressione di radiazione è minore della forza gravitazionale. Il flusso di energia alla distanza $r$ dal centro della stella è:

$F_{\nu} = \frac{L_{\nu}}{4 \pi r^2}\ ,$

dove $L= \int L_{\nu} d \nu$ è la luminosità della stella.

Il momento $\text p$ di un fotone è $p=E/c\,$ . Pertanto, è immediato dimostrare che il flusso di quantità di moto è:

$\frac{d p}{dt} = n_{\rm ph} p = \frac{F_{\nu}}{h \nu} \, \frac{h \nu}{c} = \frac{L_{\nu}}{4 \pi r^2 c} \,$ .

Integrando sulle frequenze, si ottiene il trasferimento netto di quantità di moto, $f \,$ .

La forza di radiazione su una carica elettrica è: $f_{\rm rad} = \sigma_T F = \sigma_T \frac{L}{4 \pi r^2 c} \,$ , dove abbiamo introdotto la sezione d’urto Thompson.

La forza $f_{\rm rad}$ deve essere minore della forza di attrazione gravitazionale.

La luminosità di Eddington

Esercizio: mostrare che questa condizione comporta la seguente equazione:

$L \leq \frac{4 \pi G m_p c}{\sigma_T} M = \frac{4 \pi G c}{{\bar \kappa}} \, M \equiv L_{\rm Ed} \,$

dove abbiamo introdotto la cosiddetta luminosità di Eddington.

Esercizio. Usando la relazione empirica fra massa e luminosità per le stelle sulla Sequenza Principale, valutare la massa limite corrispondente alla luminosità di Eddington. Calcoli (incerti a causa dell’incertezza su ${\bar \kappa}\,$ ) danno $M_{ed} \simeq 64 M_\odot\,$ . Questo è dunque il limite superiore alla massa stellare.

Ricordiamoci che il limite inferiore è dato dalla incapacità di raggiungere temperature sufficienti a innescare le reazioni di fusione nucleare nel centro dell’astro. Esercizio: mostrare che questo limite dipende dalla massa.

Evoluzione stellare

Le stelle rimangono sulla Sequenza Principale hanno una durata limitata. Giganti rosse, supergiganti rosse e le nane bianche sono tutti esempi di stelle che si sono evolute fuori della Sequenza Principale. La luminosità e la temperatura effettiva sono i principali osservabili per falsificare i modelli di stellari.

Un altro osservabile importante è la densità di punti sulla ZAMS e sui Rami Gigante e Orizzontale quando si considerino popolazione di stelle coeve (come negli Ammassi Globulari). Serve a verificare l’effetto differenziale della massa sull’evoluzione di sistemi che hanno la medesima composizione chimica e lo stesso tempo di vita.

Le giganti rosse

Durante i primi milioni di anni dopo aver lasciato la Sequenza Principale, i cambiamenti nel nucleo delle stelle di massa intermedia causano una rapida espansione dell’atmosfera, portando a una stella molto più grande, e quindi più fredda.

Infatti, poiché nel nucleo della stella la pressione diminuisce, questo collassa e si riscalda (su una scala temporale di circa 2 milioni di anni). Nuove fonti di energia portano all’espansione dell’inviluppo esterno e a un incremento di luminosità, producendo le stelle giganti rosse (su una scala temporale di 20 milioni di anni).

Beltegeuse (nella costellazione di Orione, distanza circa 600 anni luce) è uno degli esempi più noti di gigante rossa.

Le giganti rosse perdono gran parte del loro inviluppo che viene espulso sotto forma di un guscio di gas a bassa densità in lenta espansione. Il risultato è la spettacolare fenomenologia delle nebulose planetarie (~10 mila anni). Il nucleo che rimane si raffredda e diminuisce in luminosità, diventano una nana bianca (la quale vive per alcuni miliardi di anni).

Immagine di Betelgeuse, e confronto con le dimensioni dell'orbita di Terra e Giove. Fonte: NASA

Il diagramma HR

Il diagramma HR, con la posizione delle stelle evolute fuori dalla sequenza principale. Fonte: ESO

Le nebulose planetarie

Alcuni esempi di nebulose planetarie ossevate con il telescopio spaziale. Fonte: NASA

I materiali di supporto della lezione

Articolo fondamentale: Low, C. & Lynden-Bell, D. The minimum Jeans mass or when fragmentation must stop, Monthly Notices, 1976, vol. 176, p. 367-390.

Per approfondimenti sugli argomenti discussi in questa lezione, rimandiamo al corso

The minimum Jeans mass or when fragmentation must stop. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, vol. 176, Aug. 1976, p. 367-390.