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Massimo Capaccioli » 5.La massa delle stelle


Contenuto della lezione

Questa lezione è principalmente dedicata allo studio delle masse delle stelle.

Lo studente vedrà:

  • una ricapitolazione delle leggi di Keplero e la discussione del problema dei due corpi in meccanica classica;
  • come le masse stellari sono misurate in sistemi binari visuali e spettroscopici;
  • come de-proiettare le orbite ellittiche apparenti;
  • come le binarie ad eclisse sono utilizzate per le misurare masse e raggi delle stelle;
  • come questi risultati sono estesi all’intero diagramma HR.

Concetto di massa

Nel 1907 Albert Einstein affermava «l’equivalenza fisica completa di un campo gravitazionale e una corrispondente accelerazione del sistema di riferimento». Di conseguenza tutte le masse sono misurate osservando le accelerazioni che inducono su particelle di prova. Questo è il caso per la massa del Sole, dedotta con un elevato livello di precisione misurando l’accelerazione che la stella impone alla Terra, cioè utilizzando la soluzione del problema a due corpi data da Newton nel Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687).

Questa soluzione è pienamente compatibile con le famose tre leggi empiriche di Keplero, la terza delle quali è particolarmente utile per trovare rapidamente le masse di sistemi orbitanti.

Concetto di massa

Le tre leggi di Keplero

  1. L’orbita di ogni pianeta è un’ellisse di cui il Sole occupa uno dei fuochi (Astronomia Nova, 1609).
  2. La linea congiungente il pianeta al Sole spazza aree uguali in uguali intervalli di tempo (Astronomia Nova, 1609).
  3. P^2 \propto a^3, dove P è il periodo di rivoluzione e a il semiasse maggiore dell’orbita (Armonices Mundi, 1619).

Esercizio: dimostrare che la seconda legge di Keplero è una conseguenza della conservazione del momento angolare.

 

Masse di corpi in sistemi binari

Le masse delle stelle possono essere misurate osservando sistemi binari fisici, ossia sistemi di due stelle legate gravitazionalmente. Questi sistemi non sono affatto rari. Circa il 50% di tutte le stelle della Via Lattea sono parte di sistemi multipli: binari, tripli o più numerosi.

Stelle binarie furono sistematicamente osservate da William Herschel a cavallo del 1800.

L’astronomo inglese di origine tedesca stava seguendo il suggerimento di Galilei. Il pisano aveva proposto di usare le stelle doppie (cioè stelle che appaiono molto vicine angolarmente sulla sfera celeste) per rivelare finalmente la parallasse: experimentum crucis per validare il modello copernicano del cosmo (Domanda: qual era l’idea portante dell’osservazione della parallasse?).

Herschel non riuscì a “vedere” la parallasse (che venne misurata per la prima volta da Friedrich Wilhelm Bessel nel 1836).

Scoprì invece che molte coppie di stelle costituivano sistemi legati in moto kepleriano e fu così il primo a dimostrare l’universalità della meccanica e della teoria della gravitazione di Newton.

 

Classificazione dei sistemi stellari binari

Le stelle doppie possono essere fisiche o semplicemente prospettiche.

Un sistema stellare binario fisico è costituito da due stelle che orbitano attorno al comune centro di massa seguendo le leggi di Keplero (solo approssimativamente se le distanze tra i due astri sono piccole: perché?). Si distinguono tre tipi di binarie.

Visuali: quando le due stelle del sistema sono entrambe visibili attraverso il telescopio (sistema risolto). Spettroscopiche: sistemi non risolti, nei quali le due stelle rivelano la loro duplicità attraverso la modulazione della velocità radiale misurata tramite l’effetto Doppler. Si distinguono binarie spettroscopiche a singola o doppia riga secondo che lo spettro mostri le righe di un solo componente o di entrambi. Ad eclisse: quando il piano orbitale contiene quasi esattamente la linea di vista, in modo che ogni stella passi direttamente di fronte all’altra, causando un’eclisse (per lo più parziale). La variazione della luminosità dell’insieme delle due stelle (di solito il sistema non è risolto) è detta curva di luce. Le binarie a eclisse possono anche essere visuali (raro) e/o spettroscopiche.

Esercizio: Provare a stabilire le condizioni (distanze e semiasse) per cui un sistema binario appaia visuale o spettroscopico.

Sistemi binari stretti

In alcuni sistemi binari le stelle sono così prossime l’una all’altra che avviene un trasferimento di materia in conseguenza delle forze mareali. Questi sistemi sono detti binari compatti o a contatto.

Domanda: cosa sono le forze mareali? Perché dipendono dalla terza potenza della distanza?

Un’interessante variazione su questo tema utilizza la trattazione del problema chiamato ristretto a tre corpi per via del fatto che due corpi sono di massa finita e uno di massa nulla.

Sebbene la soluzione del problema non esista neppure in queste ipotesi, si individuano comunque 5 punti di stazionarietà, detti lagrangiani, e le superfici che inviluppano ciascuna delle due masse finite, detti lobi di Roche, che comunicano soltanto tramite il punto L2. Il punto di massa finita è intrappolato entro un lobo di Roche e può transitare nell’altro solo a certe condizioni e attraverso L2.

Questi concetti sono fondamentali per lo studio dei sistemi binari stretti e interagenti (novae ricorrenti, supernovae di tipo I, ecc.).

Rappresentazione artistica di una binaria stretta (cataclismica), con la caratteristica deformazione della stella donatrice che riempie il proprio lobo di Roche. E’ visibile lo stream di materia che, passando attraverso il punto lagrangiano L2, alimenta il disco di accrescimento: Fonte: Wikipedia.

Rappresentazione artistica di una binaria stretta (cataclismica), con la caratteristica deformazione della stella donatrice che riempie il proprio lobo di Roche. E' visibile lo stream di materia che, passando attraverso il punto lagrangiano L2, alimenta il disco di accrescimento: Fonte: Wikipedia.


Il limite di Roche

Si consideri un corpo sferico B, di raggio r a distanza d da un corpo massiccio A (il perturbatore) di massa M e raggio R.

Paragoniamo l’effetto gravitazionale di A su B alla forza di legame che tiene insieme B.

Semplificando, riduciamo B a due soli punti, P_1 e P_2, posti lungo la congiungente AB a distanza r/2 dal centro di B, attribuendo loro metà della massa di B, ossia m/2 (vedi figura).

Schema utile per valutare la distanza minima che garantisce dalla rottura (limite di Roche).

Schema utile per valutare la distanza minima che garantisce dalla rottura (limite di Roche).

Schema utile per valutare la distanza minima che garantisce dalla rottura (limite di Roche).


Il limite di Roche

L’attrazione gravitazionale fra questi due punti è:

F_B = G \, \frac{m^2}{4} \, \frac{1}{r^2} \,.

La forza mareale è data invece da:

F_t = G \, \frac{m}{2} M \frac{r}{d^3} \,.

Si dimostri che all’equilibrio F_t = F_B, la distanza fra i due corpi deve essere:

d = R \, \left[ \frac{2 \rho_B}{\rho_A}\right]^{1/3} \,,

dove \rho_A e \rho_B sono le densità dei due corpi.

Problema: si assumi che Saturno sia una sfera di raggio R = 55700 {\rm km} e densità pari a 0.7 volte quella dell’acqua. Calcolare la densità che dovrebbe avere un satellite per resistere, senza rompersi, alla base degli anelli, d = 66000 {\rm km}\,, e al bordo esterno.

Determinazione della massa in binarie visuali

Una buona stima delle masse delle due stelle è possibile se:

  • entrambe le stelle sono visibili;
  • il loro periodo non è troppo lungo da impedire di tracciare una frazione ragionevole dell’orbita (perché?);
  • la distanza del sistema è nota (ad esempio tramite parallasse);
  • il piano orbitale è perpendicolare alla linea di vista.

Qual è la probabilità che tutte queste condizioni siano verificate?

Applicazione: il sistema binario di Sirio

Sirio è un sistema stellare binario visuale (Sirio A e Sirio B). La parallasse è p= 0.377 {\rm arcsec}\,, il periodo P=49.9 {\rm anni}\,. L’estensione dei semiassi maggiori \alpha_A + \alpha_B = 5.52 {\rm arcsec}\, e rapporto \alpha_A / \alpha_B = 0.47\,.

Esercizio: assumendo che il piano dell’orbita sia nel piano del cielo, calcolare la masse delle due componenti del sistema binario.

Binarie visuali: effetti dell’inclinazione

In generale, il piano dell’orbita non è contenuto nel piano del cielo. Consideriamo l’angolo di inclinazione i fra i due piani. come in figura. In questo caso l’osservatore misura un semiasse maggiore pari a a \times {\rm cos} i.

In generale, però, la proiezione ortogonale trasforma l’ellisse orbitale in un’altra che ha alcune peculiarità: il centro di massa non è più nel fuoco dell’ellisse osservata, e l’eccentricità osservata è differente da quella dell’orbita vera.

Questo rende possibile determinare l’inclinazione se l’orbita osservata è campionata con sufficiente precisione.

Come esercizio, è facilmente dimostrabile che il rapporto delle masse in un sistema binario non dipende dall’angolo di inclinazione, mentre ne dipende la somma delle masse.

Caso in cui il grand’asse dell’orbita vera è perpendicolare all’intersezione del piano orbitale con quello tangente alla sfera celeste (linea dei nodi). Fonte: M. Capaccioli.

Caso in cui il grand'asse dell'orbita vera è perpendicolare all'intersezione del piano orbitale con quello tangente alla sfera celeste (linea dei nodi). Fonte: M. Capaccioli.


Proprietà delle proiezioni ortogonali

Nello studio delle binarie visuali è importante ricordare le seguenti proprietà della proiezione ortogonale di una generica figura piana:

  • le tangenti sono conservate;
  • le linee parallele sono proiettate in linee parallele;
  • il rapporto tra segmenti di linee parallele è conservato, in quanto corrisponde al rapporto fra aree.
  • ogni triangolo può essere posizionato in modo tale che la relativa ombra sotto una proiezione ortogonale sia un triangolo equilatero. Inoltre, le mediane si proiettano in mediane;
  • le ellissi si proiettano in ellissi, e ogni ellisse può essere proiettata in un cerchio;
  • il centro di un’ellisse si proietta nel centro dell’ellisse proiettata;
  • la proiezione dell’asse maggiore di un’ellisse non coincide con l’asse maggiore dell’ellisse proiettata, a meno che uno degli assi principali della conica sia parallelo all’intersezione tra il piano dove giace la figura originale e quello dove avviene la proiezione (linea dei nodi);
  • il centro di massa di un triangolo si proietta in quello dell’immagine proiettata.

Sferoidi ed ellissoidi sono proiettati in ellissi. Tuttavia per gli ellissoidi il significato degli assi principali della figura proiettata non è semplice: dipende dall’orientazione della figura rispetto alla linea dei nodi e dall’andamento dei rapporti assiali delle ellissi intercettate dai piani principali.

Le orbite delle binarie visuali

Dato un sistema binario visuale, si misurino a epoche diverse t_i la separazione angolare \rho (t_i) tra i due astri e l’angolo \theta(t_i) che la congiungente le due stelle forma con la direzione del Nord.

Per evitare ambiguità, si scelga come riferimento uno degli astri, per esempio il più brillante (che chiameremo S), e si contino gli angoli da Nord verso Est (come è consuetudine tra gli astronomi).

Domanda: che succederebbe se invece di scegliere come riferimento la stella più brillante, si fosse scelta l’altra?

Domanda: Che effetto ha su queste misure un eventuale moto proprio del sistema?

Misura della separazione e dell’angolo di posizione di un sistema binario visuale. Classicamente veniva effettuato con un micrometro oculare. Fonte: M. Capaccioli.

Misura della separazione e dell'angolo di posizione di un sistema binario visuale. Classicamente veniva effettuato con un micrometro oculare. Fonte: M. Capaccioli.


L’ellisse apparente

 

Riportando in grafico le coppie di misure \rho (t_i) e l’angolo \theta(t_i) \,, si costruisca l’orbita osservata dell’astro mobile attorno a quello scelto come riferimento fisso. Nell’ipotesi di moto kepleriano (la si discuta), una qualche tecnica di ottimizzazione (Esercizio: si provi ad applicare a questo caso il metodo dei Minimi Quadrati di Gauss) ci consentirà di ricavare i parametri dell’orbita ellittica apparente: centro, semiasse maggiore e suo angolo di posizione, ed eccentricità.

Mostreremo ora come da questi dati si possano ricavare i parametri dell’orbita vera.

Osservazioni della binaria visuale 70 Ophiuchi con periodo di 88.38 anni. Il succedersi del tempo (decenni indicati in figura) palesa l’effetto (proiettato) della legge delle aree. Fonte: adattata da Eggenberger et al, 2008, A&A, 492, 631.

Osservazioni della binaria visuale 70 Ophiuchi con periodo di 88.38 anni. Il succedersi del tempo (decenni indicati in figura) palesa l'effetto (proiettato) della legge delle aree. Fonte: adattata da Eggenberger et al, 2008, A&A, 492, 631.


Deproiezione dell’orbita ellittica osservata

In questo passaggio si trova l’eccentricità e dell’orbita. Fonte: M. Capaccioli.

In questo passaggio si trova l'eccentricità e dell'orbita. Fonte: M. Capaccioli.


Deproiezione dell’orbita ellittica osservata

Fonte: M. Capaccioli

Fonte: M. Capaccioli


Deproiezione dell’orbita ellittica osservata

Fonte: M. Capaccioli.

Fonte: M. Capaccioli.


Deproiezione dell’orbita ellittica osservata

Fonte: M. Capaccioli.

Fonte: M. Capaccioli.


Deproiezione dell’orbita ellittica osservata

Fonte: M. Capaccioli.

Fonte: M. Capaccioli.


Deproiezione dell’orbita: ellitticità e

Misura della ellitticità dalla deproiezione dell’orbita. Fonte: M. Capaccioli.

Misura della ellitticità dalla deproiezione dell'orbita. Fonte: M. Capaccioli.


Deproiezione dellìorbita: asse minore

Misura dell’asse minore. Fonte: M. Capaccioli.

Misura dell'asse minore. Fonte: M. Capaccioli.


Deproiezione dell’orbita: asse minore

Fonte: M. Capaccioli.

Fonte: M. Capaccioli.


Deproiezione dell’orbita: circolo podario

Fonte: M. Capaccioli.

Fonte: M. Capaccioli.


Deproiezione dell’orbita: a ed i

Fonte: M. Capaccioli.

Fonte: M. Capaccioli.


Binarie spettroscopiche

Ricordiamo la formula dell’effetto Doppler classico. La velocità radiale v_r\, della sorgente relativa all’osservatore produce uno shift rispetto della lunghezza d’onda a riposo \lambda_{\rm rest} pari a:

z = \frac{\lambda_{\rm obs} - \lambda_{\rm rest}}{\lambda_{\rm rest}} = \frac{v_r}{c}\,.

Binarie spettroscopiche a riga singola: le righe dello spettro dell’unica componente visibile sono spostate verso il rosso o verso il blu mentre la stella segue la sua orbita.

Binarie spettroscopiche a doppia riga: due insiemi distinti di righe (in spettri non necessariamente identici) sono visibili. Esse oscillano grosso modo in opposizione di fase (perché?).

Mizar, \zeta Ursae Maioris Fu la prima binaria spettroscopia ad essere scoperta, nel 1889 dall’americano Charles Pickering. Fa parte del primo sistema binario risolto nel 1650 circa da Giovanni Battista Riccioli a Bologna.

Rappresentazione dell’oscillazione delle righe spettrali di un astro in un sistema binario spettroscopico. Fonte: M. Capaccioli.

Rappresentazione dell'oscillazione delle righe spettrali di un astro in un sistema binario spettroscopico. Fonte: M. Capaccioli.

Curve di velocità radiale delle componenti una binaria spettroscopica.

Curve di velocità radiale delle componenti una binaria spettroscopica.


Binarie ad eclisse

Una stima dell’angolo di inclinazione si può ottenere per le binarie a eclisse separate da una distanza D\,.

Dalla geometria del sistema, vedi figura: {\rm cos} I = \frac{R_1 + R_2}{D} \,.

In questo sistema l’eclisse è solo parziale. Nel caso in cui la distanza D sia molto maggiore della somma dei raggi, allora l’inclinazione deve essere prossima a 90 gradi (perché?).

Geometria di una binaria ad eclisse. Fonte: M. Capaccioli.

Geometria di una binaria ad eclisse. Fonte: M. Capaccioli.

Geometria di una binaria ad eclisse. Fonte: M. Capaccioli.

Geometria di una binaria ad eclisse. Fonte: M. Capaccioli.


Binarie ad eclisse

Nel caso di binarie ad eclisse totale, è possibile determinare sia i raggi delle due stelle che il rapporto fra le loro temperature effettive. Assumendo un’inclinazione prossima a 90 gradi e orbite circolari di raggio molto maggiore dei raggi stellari, si può dimostrare che il raggio della stella minore è:

R_s = {v}{2} \, (t_b - t_a) \,,

mentre di quella maggiore è:

R_l = {v}{2} \, (t_c - t_a) \,,

dove v è la velocità relativa delle stelle.

Geometria e curva di luce di una binaria ad eclisse totale. Fonte: M. Capaccioli.

Geometria e curva di luce di una binaria ad eclisse totale. Fonte: M. Capaccioli.


Binarie ad eclisse

Per determinare il rapporto fra le temperature effettive, si considerino le luminosità al massimo e nei due minimi:

L_{\rm tot} \propto \pi R_s^2 T_s^4 + \pi R_l^2 T_l^4 \,,

L_{1} \propto \pi R_l^2 T_l^4 \,,

L_{2} \propto \pi (R_l^2 - R_s^2) T_l^4 + \pi R_s^2 T_s^4 \,.

Si noti che spesso il minimo assoluto può aversi quando la stella minore è eclissata, dato che image e le stelle più grandi sono spesso supergiganti fredde.

Fonte: Massimo Capaccioli.

Fonte: Massimo Capaccioli.


Considerazioni sulla Sequenza Principale

La Sequenza Principale è una sequenza in massa. Infatti, le stelle più massive sono in alto a sinistra (stelle calde e brillanti, vedi figura); quelle di più piccola massa in basso a destra.

Inoltre la Sequenza Principale è una sequenza evolutiva. Infatti le stelle più massive sono quelle che (come abbiamo visto) hanno una vita più breve, e dunque sono soggette ad abbandonare prima la Sequenza Principale (in una popolazione coeva, cioè di stelle nate tutte al medesimo tempo).

Diagramma Luminosità-Temperatura. Fonte: Massimo Capaccioli.

Diagramma Luminosità-Temperatura. Fonte: Massimo Capaccioli.

Varizioen dell’età lungo la sequenza principale. Fonte: Massimo Capaccioli.

Varizioen dell'età lungo la sequenza principale. Fonte: Massimo Capaccioli.


Relazione massa-luminosità

Abbiamo visto che per alcune classi di stelle è possibile misurare direttamente la massa.

Si osserva che la massa è strettamente correlata con la luminosità stellare. Questo fatto implica che la produzione di energia è legata alla massa stellare.

Domanda: se l’energia disponibile è proporzionale alla massa, come dipende la durata della vita dalla posizione sulla Sequenza Principale?

La relazione massa-luminosità in unità della massa e della luminosità  del Sole. Fonte: M. Capaccioli.

La relazione massa-luminosità in unità della massa e della luminosità del Sole. Fonte: M. Capaccioli.


Relazione massa-luminosità

La relazione empirica:

L= k M^{\alpha}\,,

dove l’esponente < 2.5 \alpha < 5, implica un fatto importante: la vita delle stelle t è fortemente anti-correlata con la massa.

Infatti, assumendo che l’energia totale disponibile per sostenere la luminosità della stella durante la sua vita sia una frazione \beta < 1 della sua massa totale:

E = \beta M c ^2 \,,

dato che t= E / L, segue che:

t = \frac{\beta}{k} M^{1-\alpha} \,.

Per \alpha=4\,, segue che:

t \propto M^{-3}\,,

ossia stelle 10 volte meno massive vivono circa 1000 volte più a lungo.

Raggi delle stelle

Se escludiamo alcune stelle vicine che posso essere risolte con le moderne tecniche osservative, la misura diretta dei raggi stellari è possibile solo per le binarie fotometriche.

Una misura indiretta è basata sulla possibilità di misurare sia la luminosità assoluta L (il che implica la conoscenza della distanza, come per la misura del raggio R), sia la temperatura T della stella (dalla spettroscopia).

Esercizio: dalla legge di Stefan-Boltzmann si può facilmente ricavare a relazione:

\frac{R}{R_e} = \left( \frac{L}{L_e} \right)^{1/2} \, / \left( \frac{T}{T_e} \right)^{2} \,.

I valori del raggio stellare vanno da una decina di km per le stelle di neutroni a circa mille raggi solari per giganti come Betelgeuse.

Densità

Come esercizio, lo studente può ora calcolare la densità del Sole, di Betelgeuse e di una nana bianca, usando i valori citati in questa lezione.

Confrontare con le densità dell’acqua e dell’aria.

I materiali di supporto della lezione

Binarie spettroscopiche

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