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Massimo Capaccioli » 19.Le nane bianche

Contenuto della lezione

In questa lezione studieremo in dettaglio la fisica delle nane bianche.

In particolare:

riassumeremo i principi fisici necessari per descrivere una sfera di gas degenere:
ricaveremo l’equazione di stato di una stella composta di gas degenere;
troveremo il valore della massa limite delle nane bianche, la massa di Chandrasekhar;
descriveremo la struttura delle nane bianche;
studieremo la fenomenologia delle Supernovae di Tipo Ia.

Ricapitoliamo…

Quali principi fisici di base diventeranno importanti quando la densità e la pressione di un gas altamente ionizzato aumentano?

Prima di tutto il Principio di Esclusione di Pauli, il quale afferma che non più di due elettroni (di spin opposto) possono occupare la stessa cella quantistica.

Consideriamo la cella quantistica di un elettrone nello spazio delle fasi: essa è un elemento di volume dato dalle coordinate $x , y, z, v_x, v_y, v_z\,$ , di dimensioni $\Delta x \Delta y \Delta z \Delta v_x \Delta v_y \Delta v_z = h^3\,$ .

Il numero massimo di elettroni permessi in una singola cella è 2 (se di spin opposto).

Equazione di stato del gas degenere

Consideriamo il centro di una stella, all’aumentare della densità. Quando due elettroni occupano la stessa posizione (ossia, la stessa cella quantistica), possiamo dire che il corrispondente volume dello spazio delle fasi è pieno: nessun elettrone può occupare questo spazio a meno che non abbia un $\Delta p$ molto differente.

Consideriamo ora un insieme di elettroni che occupino il volume spaziale $V\,$ , con momento nell’intervallo $p, p+\delta p\,$ . Il volume nello spazio dei momenti occupato dagli elettroni è dato dal volume di una cella sferica, di raggio $\text p$ , e spessore $\delta p \,$ :

$V_{\rm ph} = 4 \pi p^2 V \, \delta p \,$ .

Il numero di stati quantici in questo volume $V_{\rm ph} \,$ , diviso per il volume dello stato quantico, $h^3 \,$ , è pari a :

$\frac{4 \pi p^2 \, \delta V}{h^3} \,$ .

Sia $N_p$ il numero di elettroni nell’intervallo $p, p+\delta p\,$ . Dal Principio di Pauli segue che:

$N_p \delta p \leq \frac{8 \pi p^2 \, \delta V}{h^3} \, \delta p \,$ .

Se tutti gli stati di momento fino al valore $p_0$ sono occupati, il numero di particelle è:

$N= \frac{8 \pi p^2 \, \delta V}{h^3} \, \int_0^{p_0} p^2 dp = \frac{8 \pi p_0^3 V}{3 h^3}\,$ .

Equazione di stato del gas degenere

La pressione P può essere definita come la quantità media di momento trasferita per unità di tempo attraverso una superficie unitaria:

$P = \frac{1}{3} \int_0^{\infty} \frac{N_p}{V} p v_p d[}\,$ , dove $v_p$ è la velocità delle particelle.

Nel caso di un gas di elettroni relativistici è facile dimostrare (utilizzando le note espressioni del momento e della velocità relativistiche di una particella di data massa) che la pressione degli elettroni è: $P = \frac{8 \pi}{3 h^3 m_e} \int_0^{p_0} \frac{p^4}{\sqrt{1 + p^2 / m_e c^2}} dp\,$ .

Se gli elettroni sono non relativistici (quindi $p_0 = m_e c\,$ ), la pressione del gas degenere diviene:

$P = \frac{8 \pi p_0^5}{15 h^3 m_3} \,$ .

Definendo la densità di elettroni $n_e = N/V$ , possiamo ottenere la pressione di degenerazione per un gas di elettroni nel caso non relativistico:

$P = \frac{1}{20} \, \left( \frac{3}{\pi} \right)^{2/3} \, \frac{h^2 n_e^{5/3}}{m_e} \,$ .

La pressione nel caso relativistico si ottiene nel limite $p_0 \gg m_e c \,$ : $P = \frac{1}{8} \, \left( \frac{3}{\pi} \right)^{1/3} \, h c n_e^{4/3} \,$ .

La materia degenere: energia di Fermi

In meccanica quantistica, l’energia di Fermi è definita come il livello energetico che divide stati totalmente occupati da quelli liberi alla temperatura dello zero assoluto:

$\epsilon_F = \frac{h^2}{2 m_e} \, \left[ 3 \pi^2 \left( \frac{Z}{A} \right) \, \frac{\rho}{\mu m_H} \right]^{2/3} \,$ .

A temperature superiori a 0 K, la degenerazione non è completa. Pertanto, definiremo come gas degenere un gas in cui l’energia cinetica media è minore dell’energia di Fermi.

Domanda: come è possibile che la temperatura di un gas totalmente degenere sia pari allo zero e l’energia delle particella tanto grande da raggiungere il limite di Fermi?

Per rispondere ci si riferisca al concetto di temperatura come misura dell’energia che può essere scambiata con il mondo esterno al sistema.

Variazione della distribuzione degli elettroni fra diversi livelli energetici al variare della temperatura. Fonte: M. Capaccioli.

Equazione di stato

Il nostro scopo è ottenere un’equazione di stato per la materia degenere. È necessario quindi trasformare la densità elettronica in densità della materia. Notiamo che c’è un elettrone per ogni atomo di idrogeno, e un elettrone per ogni due protoni quando si considerino elementi dall’elio in su. Pertanto:

$n_e = \frac{\rho X}{m_H} + \frac{\rho (1-X)}{2 m_H} = \frac{\rho (1+X)}{2 m_H} \,$ ,

e le due equazioni di stato per un gas degenere sono:

gas non relativistico: $P_{\rm gas} = K_1 \, \rho^{5/3}\,$ ,

gas relativistico: $P_{\rm gas}= K_2 \, \rho^{4/3} \,$ .

I coefficienti sono:

$K_1 = \frac{h^2}{20 m_e} \, \left( \frac{3}{\pi} \right)^{2/3} \, \left( \frac{1+X}{2 m_H} \right)^{5/3}\,$ ,

$K_2 = \frac{h c}{8} \, \left( \frac{3}{\pi} \right)^{2/3} \, \left( \frac{1+X}{2 m_H} \right)^{4/3} \,$ .

In conclusione, in un gas completamente degenere la pressione dipende solo dalla densità e dalla composizione chimica, ed è completamente indipendente dalla temperatura.

Una stella degenere

Modelliamo una stella come una sfera di idrogeno in equilibrio idrostatico nella quale la pressione è $P = n k T \,$ .

L’equilibrio richiede che l’energia totale del sistema sia minima. Questa è semplicemente:

$\text{[math]}$ ,

dove $\text{[math]}$ è l’energia cinetica media delle particelle. L’energia potenziale della stella è $\Omega \simeq - G \frac{M^2}{R} \,$ .

Quando i processi di fusione nucleare sono terminati, la stella si raffredda e si contrae. Mentre la temperatura $T$ diminuisce, la densità $\rho$ aumenta. Entra quindi in gioco la pressione di degenerazione.

Si osservi che gli elettroni, avendo una massa 2000 volte minore dei protoni, formano per primi un sistema degenere.

Una stella degenere non relativistica

Ricordiamo che la degenerazione entra in gioco quando la separazione fra le particelle, $\Delta x \sim n^{-1/3}\,$ , è confrontabile con la lunghezza di De Broglie:

$N^{-1/3} \sim \frac{h}{p_e} \,$ ,

dove $p_e$ è il momento medio degli elettroni.

Esercizio: dimostrare che in un gas di elettroni non relativistici l’energia totale $E$ in funzione del raggio vale $E = \left[ \frac{h^2}{m_e} \left( \frac{M}{m_p} \right)^{5/3} \right] \frac{1}{R^2} - \frac{G M^2}{R} \,$ .

Esercizio: dimostrare inoltre che il valore minimo dell’energia $E$ si ottiene al raggio: $R_{\rm min} = \frac{2 h^2 M^{-1/3}}{G m_e m_p^{5/3}}\,$ .

Energia totale E in funzione del raggio in un gas di elettroni non relativistici. Fonte: M. Capaccioli.

Un paradosso per le stelle degeneri

Per una stella di massa $M$ , il raggio all’equilibrio è dato da:

$R= \frac{2 h^2 M^{-1/3}}{G m_e m_p^{5/3}} \propto M^{-1/3}\,$ .

Il volume di una stella sostenuta dalla pressione di gas degenere, proporzionale a $R^3$ , è inversamente proporzionale alla massa, dato che $M V = {\rm cost} \,$ . Segue che la densità media è proporzionale a $R^{-6}\,$ .

In altre parole, quando la massa aumenta, il raggio disunisce e la densità aumenta. Questo risultato porta ad una conseguenza chiaramente assurda: nel limite di massa molto grande, il volume tende a zero.

Il paradosso si risolve notando che, a masse elevate, la densità del gas di elettroni è così elevata da non potersi più trascurare gli effetti relativistici. Questo fatto fu notato per la prima volta dal fisico indiano Chandrasekhar.

La massa di Chandrasekhar

Per masse sufficientemente alte, gli elettroni diventano relativistici (perché?). Pertanto, l’energia cinetica media è pari a $\text{[math]}$ . Da questa segue, con alcuni semplici passaggi, che l’energia cinetica totale $K$ è :

$K = h c \left( \frac{M}{m_p} \right)^{4/3} \frac{1}{R}\,$ .

Imponendo che l’energia totale abbia valore minimo, si può infine dimostrare che, affinché il raggio resti positivo, la massa non può valere più di:

$M_{Ch}= \frac{1}{m_p^2} \, \left( \frac{hc}{G} \right)^{3/2} \,$ .

Questo limite viene detto massa di Chandrasekhar e vale circa 1.4 volte la massa del Sole.

Il giovane Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995).

Massa di Chandrasekhar

Massa di Chandrasekhar per gas di Fermi relativistico e non relativistico. Fonte: M. Capaccioli.

Parametri delle due componenti il sistema di Sirio

La stella Sirio è in effetti un sistema stellare binario. Questo fatto venne dedotta nel 1844 dal tedesco Friedrich Bessel sulla base delle osservazioni di oscillazioni astrometriche della stella attorno al moto proprio.

Per spiegare il fenomeno Bessel postulò la presenza, attorno a quella che chiamò Sirio A, di un compagno invisibile. L’osservazione diretta di Sirio B, una nana banca, avvenne diciotto anni dopo.

Le masse delle due componenti A e B del sistema sono rispettivamente 2.3 e 1.05 masse solari, mentre le luminosità sono circa 23.5 e 0.03 volte i valori solari.

Le osservazioni del moto proprio di Sirio raccolte da Bessel. Fonte: Wikipedia

La nana bianca Sirio B

Dallo spettro di Sirio B si ricava una temperatura di circa $27.000 {\rm K}\,$ , quasi tre volte maggiore di quella di Sirio A. Sorprendentemente calda! Data la sua bassa luminosità, la stella deve essere molto piccola dato che sussiste la relazione (da dove viene?):

$L/L_e = (r/R_e)^2 \, (T/T_e)^4 \,$ .

Quindi, Sirio B ha la massa del Sole entro un volume più piccolo della Terra, un fatto che implica densità enormi e una spaventosa forza di gravità.

Esercizio: Stimare la temperatura centrale e pressione. Chiaramente la bassa luminosità non deriva dalla fusione dell’idrogeno.

Immagine del sistema Sirio ottenuta con il telescopio spaziale Hubble. Fonte: NASA.

Sul colore delle nane bianche

Una domanda non banale è: le nane bianche appaiono effettivamente di colore bianco?

Come è evidente dal diagramma in questa pagina, le nane bianche mostrano una grande varietà di valori della temperatura effettiva e, quindi, di colori.

Composizione

Le nane bianche (White Dawrfs in inglese) sono stelle intersecamene deboli e calde.

La masse tipiche vanno da 0.1 a $1.4\, M_\odot\,$ .

In queste stelle i nuclei pesanti sono spinti sotto la superficie, mentre l’idrogeno sale verso l’alto, formando strati sopra l’elio.

Struttura interna delle nane bianche. Fonte: M. Capaccioli.

Il raffreddamento delle nane bianche

Nelle nane bianche la conduzione dell’energia da parte degli elettroni è molto efficiente (perché?); pertanto l’interno di queste stelle è praticamente isotermo.

La luminosità, la massa, e la temperatura interna sono legate tra loro:

$\frac{L}{0.03 \, L_{\odot}} \sim \frac{M}{M_{\odot}} \left( \frac{T_c}{2.8 \times 10^ K} \right)^{(7/2)} \,$ .

Il tempo di raffreddamento può essere calcolato conoscendo l’energia termica e la luminosità della nana bianca:

$\frac{T}{T_0} = \left[ 1 + 1.2 \left( \frac{A}{12} \right) \, \left( \frac{T_0}{10^7 K} \right)^{2.5} \frac{t}{10^9 \, {\rm yr}} \right]^{-2/5} \,$ ,

$\frac{L}{L_0} = \left[ 1 + 1.2 \left( \frac{A}{12} \right) \, \left( \frac{T_0}{10^7 K} \right)^{2.5} \frac{t}{10^9 \, {\rm yr}} \right]^{-7/5} \,$ .

Mentre la nana bianca si raffredda, carbonio e ossigeno cristallizzano, formando qualcosa di simile a un enorme diamante nel cosmo.

Profilo radiale della temperatura. Fonte: M. Capaccioli.

Variazione nel tempo di temperatura e luminositā. Fonte: M. Capaccioli.

Storia della formazione stellare

L’osservazione del numero di nane bianche in funzione della loro luminosità fornisce importanti informazioni per ricostruire la storia della formazione stellare nella Galassia.

Nel diagramma in questa pagina, le osservazioni sono confrontate con le previsioni dei modelli teorici, caratterizzati da diverse epoche iniziali di formazione stellare.

Osservazioni e previsioni teoriche della distribuzione di nane bianche nella Galassia. Fonte: ESO.

Dischi di accrescimento e novae

L’evoluzione di una delle componenti un sistema binario stretto (dove cioè il semiasse orbitale sia confrontabile ai raggi stellari) può comportare un trasferimento di materia attraverso il punto lagrangiano L2.

Particolarmente interessante è il caso in cui una nana bianca sia associata a una gigante rossa. Quest’ultima si gonfia riempiendo il proprio lobo di Roche. La materia trasferita nel lobo di Roche della stella degenere, per via della conservazione del momento angolare orbitale va a formare un disco di accrescimento di idrogeno. Da qui, per via della dissipazione del momento, cade materia sull’astro.

L’accrescimento di nuovo idrogeno continua fino a quando viene raggiunta la massa critica (di Chandrasekhar). Si innesca allora la fusione dell’idrogeno in un guscio sferico (ciclo CNO) che risolve il problema dell’eccesso di massa e consente al processo di trasferimento di continuare. L’improvviso cambiamento di luminosità corrispondente alla (ciclica) esplosione è conosciuto come una nova (ossia “stella nuova”, come apparsa dal nulla improvvisamente).

Rappresentazione artistica di un sistema binario con disco di accrescimento. Fonte: NASA

Curva di luce in tre bande della nova SS Cyg.

Supernovae di tipo Ia

Le supernovae (SN) di tipo Ia nascono da una nana bianca accrescimento in un sistema binario stretto. Quando la massa totale dell’astro degenere supera il limite di Chandrasekhar, il nucleo collassa e la stella esplode diventando visibile per qualche tempo.

Le SN Tipo Ia sono importanti perché sembrano avere tutte la stessa luminosità di picco

( $M_B = -19.6 \pm 0.2\,$ ).

Domanda: come si spiega questo fatto? Essendo così luminose, la SN Ia sono ottimi indicatori per costruire la scala cosmica delle distanze.

In figura, la tipica curva di luce di un Supernova di tipo Ia. La radiazione luminosa al picco è dovuto in gran parte al decadimento del nichel (Ni); nella fase successiva è maggiore il contributo del decadimento del cobalto (Co).

La caratteristica curva di luce di una supernova di tipo Ia. Fonte: Wikipedia

Un esercizio sulle SN di tipo Ia

Eserczio: sino a quale distanza può essere osservata una supernova con un telescopio la cui magnitudine è $m \sim 25$ ?

In questa stima si considerino, qualitativamente, gli effetti dell’assorbimento interstellare e interno alla galassia cui appartiene la SN e si provi a immaginare se, nelle banda fotometrica adotta per l’osservazione, ci possano essere effetti dovuti al redshift.

Ci si chieda poi se questi effetti possano dipendere dall’evoluzione nel tempo del fenomeno di SN.

Una supernova osservata nel'Hubble Deep Field. Fonte: NASA.

Stelle degeneri

Non è possibile tracciare una separazione netta fra gas degeneri relativistici e non relativistici. Allo stesso modo, non esiste una distinzione marcata fra gas ideali e gas completamente degeneri.

Situazioni fisiche con degenerazione parziale richiedono soluzioni molto complesse.

Nane biance nell'ammasso globulare Messier 4. Fonte: NASA.

La massa di Chandrasekhar: approccio alternativo

Discuteremo ora un approccio alternativo per ricavare la massa di Chandrasekhar. Abbiamo visto in precedenza che per un gas degenere la pressione è:

caso non relativistico: $P = K_1 \, \rho^{5/3}\,$ ,
caso relativistico: $P = K_1 \, \rho^{5/3}\,$ .

Se ricordiamo che la pressione per un politropo è data da $P = K \, \rho^{\frac{n+1}{n}} \,$ , un politropo di indice $n=1.5$ con $K=K_1$ descrive il caso non relativistico, mentre con indice $n=3$ e $K=K_2$ quello relativistico. Ricordiamo inoltre che la massa di una stella politropica è data da:

$M = - 4 \pi \alpha^3 \rho_c \xi_R^2 \, \left[ \frac{d \theta}{d \xi} \right] \,$ .

La massa di Chandrasekhar: approccio alternativo

Eliminando $\rho_c$ ed $\alpha$ otteniamo la seguente relazione tra massa stellare e raggio:

$\left( \frac{G M}{M_n} \right)^{n-1} \, \left( \frac{R}{R_n} \right)^{3-n}= \frac{[ (n+1) K]^{n}}{4 \pi G} \,$

dove $M_n$ e $R_n$ 4 sono due costanti che dipendono dall’indice politropico (si veda a proposito la discussione dell’equazione di Lane-Emden nella lezione n. 10).

Consideriamo ora il caso descritto con l’indice politropico $n=1.5$ . Le relazioni massa-raggio e densità raggio diventano:

$R = A M^{-1/3} \,$ , ${\bar \rho} \propto M R^{-3} \propto M^2\,$ .

Domanda: cosa succede per sfere di gas degenere con masse sempre maggiori?

La massa di Chandrasekhar

Al crescere della massa, la densità cresce così tanto che il gas degenere diventa relativistico. La sfera di gas degenere è ancora descritta da un politropo, ma ora di indice $n=3\,$ . È immediato derivare come esercizio che in questo caso la massa è data da:

$M = 4 \pi M_3 \left( \frac{K}{\pi G} \right)^{3/2} \,$ .

Da questa possiamo ottenere la massa limite sostituendovi $K_2$ .

Il valore limite (massa di Chandrasekhar) fu trovato per la prima volta dall’indiano Chandrasekhar nel 1931 mentre navigava alla volta dell’Inghilterra per compiere i sui studi di dottorato:

$M_{\rm Ch} = \frac{M_3 \sqrt{3/2}}{4 \pi} \, \left( \frac{h c}{G m_H^{4/3}} \right)^{3/2} \, \left( \frac{1+X}{2} \right)^{1/2} \,$ .