Home

Federica EU

1/25

Massimo Capaccioli » 9.Profondità ottica e trasferimento radiativo

Contenuto della lezione

In questa lezione discuteremo dei seguenti argomenti:

il legame tra la profondità ottica e il percorso libero medio;
il random walk;
le diverse fonti di opacità in una stella;
la forma generale per l’opacità;
l’equazione di trasferimento radiativo e le sue soluzioni approssimate;
alcune proprietà del Sole.

Profondità ottica e cammino libero medio

Ricordiamo l’espressione della profondità ottica (vedi Lezione 5):

$\tau_{\lambda} = \int_0^s \, \kappa_{\lambda} \, \rho \, d s \,$ .

Se la densità $\rho$ e l’opacità $\kappa$ sono all’incirca costanti lungo il percorso ottico, allora possiamo scrivere: $\tau_{\lambda} \simeq \, \kappa_{\lambda} \, \rho \, s = s / l_{\lambda} \,$ ,

dove abbiamo introdotto il cosiddetto cammino libero medio,

$l_{\lambda} \equiv \frac{1}{\kappa_{\lambda}}{ \rho }$

Quindi, la profondità ottica può essere considerata come il numero di cammini liberi medi che il fotone compie per attraversare il mezzo (ad esempio, per raggiungere la superficie di una stella).

Equilibrio termodinamico locale

Un sistema è all’equilibrio termodinamico locale (Local Thermodynamic Equilibrium, LTE) se le grandezze termodinamiche intensive (quelle che non dipendono dalla qualità e quantità di materia) possono variare nello spazio e nel tempo, ma così lentamente che in ogni in un piccolo volume si può supporre l’equilibrio termodinamico.

È immediato verificare che l’equilibrio termodinamico locale sussiste se la distanza su cui materia e radiazione possono muoversi tra due interazioni è molto minore della distanza su cui la temperatura cambia.

Esercizio: confrontare il libero cammino medio di un atomo di idrogeno nella fotosfera solare (dove il gradiente medio di temperatura è circa $9 \, {\rm K/km}$ e la densità è $1.5 \times 10^{23}\,$ particelle per metro cubo) con la scala di lunghezza tipica su cui varia la temperatura (“temperature scale height”).

Il random walk

Un fotone che si muove in un gas denso interagisce con gli atomi del mezzo, venendo diffuso, assorbito e riemesso. Se ogni evento di diffusione è casuale (random walk), quale distanza percorre in media il fotone?

$s = \sqrt{N} \times l \Rightarrow N = \left( \frac{s}{l} \right)^2 \,$ .

Ricordando l’espressione della profondità ottica, possiamo scrivere che il numero $N$ di interazioni è:

$N = \tau_{\lambda}^2 \,$ :

quindi un fotone raggiunge la superficie quando $\tau_{\lambda} \sim 1 \,$

Tra beve, mostreremo che un calcolo più accurato porta al risultato?

$\tau_{\lambda} \sim 2/3 \,$ .

Esempio di otto “random walks” in una dimensione. Il grafico mostra la posizione corrente sulla (asse verticale) in funzione del tempo (asse orizzontale). Fonte: Wikipedia

Esempio: l’atmosfera del Sole

Nella fotosfera del Sole la densità è $1.5 \times 10^{23}$ particelle per metro cubo. Assumendo che sia composta totalmente di idrogeno, la densità di massa risulta:

$\rho = 2.5 \times 10^{-4} {\rm kg m}^{-3} \,$ .

L’opacità in questa regione dell’atmosfera solare, alla lunghezza d’onda di $5000 \AA$ , è pari a $\kappa_\lambda = 0.0264 \, {\rm m}^2 \, {\rm kg}^{-1}\,$ .

Il risultante cammino libero medio di un fotone è di circa $150\, {\rm km}\,$ . Pertanto, i fotoni possono viaggiare per un lungo tratto prima che l’intensità decresca apprezzabilmente.

Nota bene: l’atmosfera del Sole non è all’equilibrio termodinamico locale: i fotoni in un dato punto sono originati da regioni con temperatura differente.

Esercizio: data la densità dell’atmosfera della Terra, $1.2 \, {\rm kg/m}^3\,$ , calcolare il libero cammino medio se l’atmosfera avesse la stessa opacità del Sole.

Immagine della superficie solare. Fonte: G. Scharmer (ISP, RSAS) et al., Lockheed-Martin Solar & Astrophysics Lab.

Esempio di random walk in 3D

Random walk a tre dimensioni: tre diversi percorsi. Fonte: Wikipedia

Sorgenti di opacità

L’opacità è determinata dai processi fisici che possono rimuovere fotoni da un fascio di radiazione. In generale, questo include i processi di assorbimento e di diffusione.

In particolare:

transizioni tra stati legati (bound-bound);
transizioni tra stati legati e liberi (bound-free);
assorbimento fra stati liberi (free-free);
diffusione di elettroni (Domanda: perché questo non riguarda anche i protoni?).

Sintesi delle interazioni elettrone-fotone

Livelli energetici degli elettroni ed interazioni elettrone-fotone. Fonte: M. Capaccioli.

Il salto di Balmer

L’energia di un elettrone al livello energetico n=2 in un atomo di idrogeno è:

$E = \frac{13.6}{2^2} \, {\rm eV} = -3.40 \, {\rm eV}\,$ .

Esercizio Mostrare che quest’atomo potrebbe essere ionizzato da un fotone di lunghezza d’onda minore di $\lambda = 364.6 \, {\rm nm} \,$ .

Il processo dà origine al salto di Balmer negli spettri stellari.

Domanda: perché questo salto non è presente nello spettro delle stelle più calde?

Confronto fra spettri di stelle a diversa temperatura efficace. Notare l'assenza del Balmer jump (nello spettro della stella calda). Fonte: M.Capaccioli

Il salto di Balmer

Nello spettro dell’idrogeno si osserva un’improvvisa diminuzione dell’intensità del continuo al limite della serie di Balmer, per lunghezze d’onda inferiori a $3646 \AA\,$ .

Questo decremento dà conto dell’energia assorbita per ionizzare gli atomi che si trovano nel secondo livello di energia, ossia per strappare loro l’elettrone.

Spettro di una stella di tipo G. Si distingue la serie di Balmer a partire da Hβ, oltre alla banda G (cos'è?). E' altresì evidente il brusco calo di intensità in corrispondenza della testa della serie di Balmer. Fonte: adattata da M. Richmond.

Il limite di Lyman

In modo simile a quanto visto con il salto di Balmer, consideriamo l’energia di un elettrone nello stato fondamentale, $n=1\,$ :

$E = -13.6 \, {\rm eV} \,$ .

L’atomo può essere ionizzato da fotoni di lunghezza d’onda minore di $\lambda = 91.2 \, {\rm nm}$ .

Questo processo è molto efficiente: occorre una piccola quantità di idrogeno per assorbire tutti i fotoni di questa energia.

Per stelle più distanti anche di pochi parsec dal Sole, esiste sufficiente idrogeno neutro lungo la linea di vista da assorbire tutta la radiazione UV. Conosciamo infatti molto poco del flusso nel cosiddetto lontano UV delle stelle.

La serie di Lyman, interamente contenuta nell'UV. Diventa preziosa quando un elevato redshift porta le sue righe nel visibile. Fonte: adattata da Wikipedia

Sorgenti tipiche di opacità

Nella maggior parte delle atmosfere stellari, la fonte primaria di opacità nel continuo degli spettri è la fotoionizzazione di ioni di idrogeno. Nel stelle fredde, si possono formare molecole. Queste complesse strutture di atomi possono dare origine a transizioni bound-bound e bound-free che aumentano notevolmente l’opacità.

L’opacità totale è data ovviamente dal contributo di tutte le possibili sorgenti di opacità. Questa dipende dalla lunghezza d’onda della luce assorbita, e anche dalla composizione, densità e temperatura del gas.

Una media pesata su tutte le lunhezze d’onda fornisce la opacità media di Rosseland, ${\bar \kappa}\,$ :

$\frac{1}{{\bar \kappa}} = \frac{1}{l} \, \int k_{\nu}^{-1} \, I_{\nu} d \nu \,$ .

Contributi all'opacità cumulativa. Si noti la forte dipendenza dalla temperatura dei processi bound-free e free-free, e viceversa l'indipendenza dello scattering di Thomson, che diventa dominante ad alte temperature. Fonte: M. Capaccioli

Opacità media di Rosseland

Consideriamo i fattori che influenzano l’opacità media di Rosseland.

Analizziamo le curve nella figura a lato, che rappresentano l’andamento della opacità media in funzione della temperatura in un gas con X=0.7 e Z=0.02, per diversi valori della densità.

Osserviamo che:

l’opacità cresce con la densità a fissata $T$ (freccia azzurra nella figura);

a fissata densità e basse temperature, l’opacità aumenta fortemente con la temperatura (freccia rossa);
dopo il massimo, l’opacità decresce con la temperatura;
il picco a $\sim 40,000\, {\rm K}$ è dovuto alla seconda ionizzazione dell’elio;

Notiamo poi che a temperature maggiori l’opacità è dovuta alle interazioni con gli elettroni (diffusione).

L'opacità media in funzione della temperatura, per diversi valori della densità. Fonte: A. Braccesi, Dalle stelle all'universo, Zanichelli (2000).

Righe di assorbimento e le leggi di Kirchoff

I fotoni che osserviamo provengono (in media) da una regione a profondità ottica di circa 2/3.

Se a una data lunghezza d’onda l’opacità è molto maggiore, allora i fotoni sono quelli originati negli strati più esterni del mezzo attraversato. La situazione è opposta nel caso di opacità molto minore: allora i fotoni vengono da strati più interni della stella.

Se la temperatura del gas è uniforme, la luminosità irraggiata da tutti i punti del gas è la stessa, quindi l’origine dei fotoni non è importante e le eventuali variazioni di opacità non hanno effetto.

Ma, se la temperatura è più bassa presso la superficie, la luminosità sarà di gran lunga inferiore, dato che $L \prop T^4 \,$ . Quindi, nella stessa posizione la luminosità sarà minore dove l’opacità è maggiore.

L’effetto sullo spettro è la formazione di righe di assorbimento in corrispondenza alle lunghezze d’onda dove l’opacità è maggiore.

Righe di emissione

Quale sarebbe il risultato se la temperatura della stella aumentasse procedendo verso l’esterno? La luce dalle regioni di alta opacità verrebbe originata in regioni nell’atmosfera più esterne, dove la temperatura (e quindi luminosità) è più alta. In questo caso si produrrebbero righe di emissione.

Consideriamo il caso dell’atmosfera solare.

Questa si estende per migliaia di km al di sopra della fotosfera (da cui la radiazione ottica viene emessa). La temperatura sale al di sopra della fotosfera (nella cromosfera e della corona). Possiamo quindi vedere le linee di emissione provenienti da queste regioni.

Profili di righe spettrali

Consideriamo una riga di assorbimento.

La regione vicina alla lunghezza d’onda centrale è il nucleo.

I lati che si ricongiungono con il continuo spettrale sono le ali. L’area della riga (misurata relativamente all’altezza del continuo) è correlata alla quantità di assorbimento.

Le regioni centrali della riga devono essersi formate in regioni più alte (e fredde) dell’atmosfera. Le ali della riga permettono di sondare regioni più profonde dell’atmosfera.

Struttura di una generica riga di assorbimento. Fonte: adattata da M. Capaccioli.

Profilo di Voight

Nella Lezione 3 abbiamo discusso i vari meccanismi che portano a un allargamento delle righe spettrali: allargamento naturale, collisionale e Doppler.

Gli allargamenti naturale e collisionale vengono globalmente indicati in letteratura con il termine damping.

Il profilo risultante di una riga di assorbimento è noto come profilo di Voigt.

La figura a fianco confronta lo spettro di due stelle di tipo spettrale molto simile: Cor Caroli (α Canum Venanticorum), che è una stella magnetica (da cui il suffisso “p”) e dunque un rotatore lento, e Altair (α Aquilae), che è invece un rotatore rapido: compie una rotazione in 8 ore e mezzo, contro il mese circa del Sole (Esercizio: si valuti l’effetto della forza centrifuga sulla forma dell’astro). Di conseguenza le righe di Altair sono allargate dall’effetto Doppler.

Il confronto tra due stelle di tipo A con diversa velocità angolare mostra l'effetto dell'allargamento Doppler. Fonte: adattata da sito web Osservatorio Astronomico Schiaparelli, Varese.

Coefficiente di emissione

Il coefficiente di emissione $j_{\lambda}$ è l’opposto dell’opacità: questa quantità misura i processi che aumentano l’intensità della radiazione:

$d I_{\lambda} = \, j_{\lambda} \, \rho \, ds \,$ .

Viene misurato in unità di ${\rm W } \, {\rm m}^{-1} \, {\rm str} \, {\rm kg}^{-1} \,$ :

Quindi, tenendo in considerazione oltre ai processi di assorbimento anche quelli di emissione, possiamo scrivere: $d I_{\lambda} = \, -\kappa_{\lambda} \, \rhp ds + \, j_{\lambda} \, \rho \, ds \,$ .

Trasferimento radiativo

Il trasferimento radiativo è il fenomeno fisico del trasferimento di energia sotto forma di radiazione elettromagnetica. La propagazione di radiazione attraverso un mezzo è influenzata da processi di assorbimento, di emissione e di diffusione.

L’equazione del trasferimento radiativo stazionario descrive queste interazioni matematicamente:

$- \frac{1}{\kappa_\lambda \rho} \, \frac{dI_{\lambda}}{ds} \, = \frac{dI_{\lambda}}{d \tau_\lambda} = \, I_{\lambda} - S_{\lambda} \,$

Per un sistema all’equilibrio termodinamico (come un corpo nero), ogni processo di assorbimento è bilanciato da un processo di emissione.

Dato che l’intensità $I_{\lambda}$ è uguale alla funzione $B_\lamba$ del corpo nero, e quindi è costante in tutto lo spazio, segue: $\frac{d I_\lambda}{ds} = 0$ , da cui:

$S_\lambda = B_\lambda = I_\lambda \,$ .

La soluzione dell’equazione del trasferimento radiativo stazionario è:

$I_\lambda = I_{\lambda , 0} \, e^{-\tau_{\lambda , 0} } + \, \int_0^{-\tau_{\lambda , 0}} \, S_\lambda \, e^{-\tau_{\lambda}} \, d \tau_\lambda \,$ .

Ossia l’intensità finale è data dall’intensità iniziale, ridotta per l’assorbimento, più l’emissione lungo il percorso, a sua volta diminuita dell’assorbimento.

In Appendice, discutiamo la soluzione per un mezzo omogeneo e le soluzioni approssimate nel caso generale.

Radiazione di pressione (photon wind)

Dall’appendice, la soluzione approssimata per una stella leggermente opaca è:

${\rm cos} \theta \, \frac{d I_\lambda}{d \tau_\nu} = I - S \,$ .

Inoltre, per una stella simmetrica, possiamo scrivere la seguente equazione:

$\frac{d P_{\rm rad}}{d r} = - \frac{{\bar \kappa} \rho}{c} \, F_{\rm rad} \,$ .

Quindi, il flusso netto di radiazione (ossia, il movimento netto di fotoni attraverso la stella) è determinato dal gradiente della pressione di radiazione.

Il “limb darkening”

Il disco solare è più scuro al bordo (limb) rispetto al centro. I raggi di luce che vediamo dal bordo del Sole provengono dalle regioni superiori dell’atmosfera; altrimenti avrebbero dovuto viaggiare attraverso una maggiore profondità ottica per raggiungerci.

Il limb darkeningsi verifica come il risultato di due effetti:

la densità della stella diminuisce all’aumentare della distanza dal centro aumenta;
la temperatura della stella diminuisce all’aumentare della distanza dal centro aumenta.

L’intensità in funzione dell’angolo $theta$ (vedi schema in figura), derivata in Appendice, è:

$I_\lambda = I_{\lambda , 0} \, e^{-\tau_{\lambda , 0} \, {\rm sec} \theta } + \, \int_0^{-\tau_{\lambda , 0} \, {\rm sec} \theta} \, S_\lambda \, {\rm sec} \theta \, e^{-\tau_{\lambda} \, {\rm sec} \theta} \, d \tau_\lambda \,$ .

L'oscuramento al bordo del Sole sul cui disco transita Venere (anno 2012; in alto). Fonte: Wikipedia.

Il “limb darkening”

Possiamo confrontare la soluzione espressa sopra con le osservazioni: l’accordo è abbastanza buono. Questo non prova che le nostre numerose ipotesi siano corrette, ma solo che non producono un risultato che è in forte contrasto con i dati.

Profilo di luminosità relativa in funzione del raggio normalizzato (limb darkening). Fonte: Wikipedia.

Il Sole

Il Sole è una sfera luminosa di gas tenuti insieme dalla propria gravità e alimentata dalla fusione termonucleare dell’idrogeno nel suo nucleo.

E’ una tipica stella “nana” che fa parte dei cento miliardi di stelle della Galassia, di media massa ( $M_\odot \simeq 3.3\times 10^5$ masse terrestri),

dimensioni ( $R_\odot \simeq 10^9$ raggi terrestri) e temperatura ( $T_e \simeq 5800 {\rm K}$ ).

Si trova alla periferia della Via Lattea, a una distanza di circa 26000 anni luce dal Centro Galattico, attorno a cui ruota con un periodo di 225-250 milioni di anni (paria a un sessantesimo della vita dell’Universo). Il Sole si è formato circa 4.5 miliardi di anni fa. La sua vita sarà di circa 10 miliardi di anni (tempo necessario perché l’idrogeno nel suo nucleo venga esaurito dai processi di fusione). Il Sole evolverà poi in una gigante rossa, inglobando Mercurio, Venere e la Terra nel suo involucro in espansione.

Il Sole

La produzione totale di energia per unità di tempo (potenza) del Sole è pari a $3.99 \times 10^{33} \, {\rm erg \, s}^{-1}$ . Di questa solo una parte su $3.43 \times 10^{28}$ attraversa ogni secondo di tempo la superficie di un ${\rm cm}^2$ posta fuori dall’atmosfera della Terra parallelamente al fronte d’onda. L’equivalente in energia si chiama costante solare, ma non è troppo costante (varia stagionalmente) per effetto della eccentricità dell’orbita terrestre. In media vale $1.37\times 10^6\, {\rm erg\, cm}^{-2}\, {\rm s}^{-1}\,$ .

Nel complesso $1.8 \, \tiimes \, 10^{24} \, {\rm erg \, s}^{-1}$ colpiscono la Terra (data la piccola sezione d’urto del pianeta); ma la quantità di energia che raggiunge il suolo del pianeta in 30 minuti è maggiore di tutta la potenza generata da tutta la civiltà umana. Questa energia è ciò che alimenta l’atmosfera e gli oceani (tempeste, vento, correnti, pioggia, ecc.). L’energia emessa dal Sole è così suddivisa: 40% luce visibile, 50% infrarosso, 9% ultravioletto e circa 1% raggi x, radio. La luce che vediamo è emessa dalla “superficie” del Sole, la fotosfera.

Il Sole sotto la fotosfera è opaco e nascosto all’osservazione diretta tramite radiazione elettromagnetica.

La struttura del Sole

Possiamo dividere il Sole in sei regioni in base alle caratteristiche fisiche. I confini non sono certamente netti.

Nucleo: regione di generazione di energia.
Guscio radiativo: regione dove il trasporto di energia è dato dal flusso di radiazione.
Guscio convettivo: regione dove il trasporto di energia è dato da celle di convezione.
Fotosfera: superficie da cui vengono emessi fotoni.
Cromosfera: atmosfera del Sole.
Corona: regione calda da cui ha origine il vento solare.

I raggi e le temperature di tali regioni sono elencati nella tabella a fianco. Il Sole, in quanto fluido, ruota in modo differenziale. L’equatore solare compie una rotazione in 25.38 giorni, i poli in 36 giorni.La velocità angolare dipende dalla latitudine:

$\omega = 14.71 - 2.40\sin^2 \phi -1.79\sin^4\phi \,$ .