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Massimo Capaccioli » 7.Struttura delle stelle - Parte Seconda


Contenuto della lezione

In questa seconda lezione sulla struttura delle stelle,

  • discuteremo il peso molecolare medio;
  • considereremo lo stato fisico della materia stellare;
  • conosceremo forme di pressione diversa da quella termica.

Peso molecolare minimo

Il peso molecolare medio \mu è definito come

\mu = {\bar m}/ m_H, dove {\bar m_n} = \frac{\Sigma_j N_j m_j}{\Sigma N_j} \,.

Il peso molecolare medio è una grandezza molto importante nello studio della struttura delle stelle. Infatti vedremo che la pressione interna in una stella dipende in modo critico dal numero di particelle libere.

Una variazione improvvisa nello stato di ionizzazione o nella composizione chimica di una stella conduce in generale a una forte variazione della pressione.

In generale, è necessario risolvere l’equazione di Saha per calcolare lo stato di ionizzazione di ogni atomo. Tuttavia, per i due casi estremi di un gas totalmente neutro e totalmente ionizzato, possiamo determinare due utili espressioni.

Per ogni specie atomica possiamo scrivere A_j = m_j / m_H \,. Quindi, per un gas neutro e uno totalmente ionizzato abbiamo:

{\bar \mu_n} = \frac{\Sigma_j N_j A_j}{\Sigma N_j} \,,

{\bar \mu_i} = \frac{\Sigma_j N_j A_j}{\Sigma N_j \, (1 + z_j)} \,.

Peso molecolare minimo

Definiamo con X,Y,Z le frazioni in massa di idrogeno, elio e dei restanti elementi (indicati collettivamente, ed impropriamente, come metalli nella letteratura astronomica):

X = \frac{\text{ massa\, totale \, di \, idrogeno}}{\text {massa \, totale}} \, ,

e in modo simile per Y \, e Z \,.

Per un gas neutro, image

Per un gas completamente ionizzato, \frac{1}{\mu_i} \simeq 2 X + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} Z \,.

Per abbondanze solari, image

Applicazione

Di quanto aumenta la pressione a seguito della completa ionizzazione?

Consideriamo il caso di una stella con la seguente composizione chimica (tipica di una stella giovane):

X = 0.70 \,, Y = 0.28 \,, Z = 0.02 \,, image

Dalle equazioni appena scritte (vedi pagina precedente), segue:

\frac{1}{\mu_n} = 0.77 \,,

\frac{1}{\mu_i} = 1.62 \,.

Pertanto la variazione di pressione è data da:

\frac{P_i}{P_n} = \frac{\mu_n}{\mu_i} = 2.10 \,.

Stato fisico della materia nelle stelle

La densità media del Sole si calcola immediatamente:

\rho_{\odot} = \frac{3 M_{\odot} }{4 \pi R_{\odot}^3} = 1.4 \, 10^3 \, {\rm kg \, m}^{-3} \,

Quindi il Sole è appena più denso dell’acqua e di altri liquidi ordinari.

Tuttavia sappiamo che a temperatura ben più basse di quella media all’interno del Sole, tali liquidi sono allo stato gassoso.

Inoltre, l’energia cinetica delle particelle a tale temperatura è molto più alta del potenziale di ionizzazione dell’idrogeno.

Pertanto, la materia all’interno del Sole deve essere in uno stato altamente ionizzato (detto plasma).

Stato fisico della materia nelle stelle

Il plasma stellare può essere sottoposto a forti pressioni, senza che il suo comportamento devi da quello dei gas ideali.

Si ricordi infatti che un gas ideale pretende che le distanze medie fra le particelle siano almeno dello stesso ordine di grandezza delle particele stesse. Mentre gli atomi hanno dimensioni tipiche di circa 10^{-10} {\rm m}\,, i nuclei di atomi ionizzati hanno dimensioni tipiche di circa 10^{-15} {\rm m} \,.

Ridiscutiamo ora il confronto fra la pressione di radiazione e la pressione del gas di cui si è detto nella lezione precedente. Ricordiamo che finora abbiamo considerato trascurabile la pressione di radiazione.

La pressione di radiazione sulle particelle di un gas è

P_{\rm rad} = \frac{a \, T^4}{3}\,,

dove la grandezza a è la costante di radiazione dei gas:

a = 7.55 \times 10^{16 \, {\rm J m}^{-3} \, {\rm K}{-4} \,.

 

Stato fisico della materia nelle stelle

Confrontiamo i due valori della pressione all’interno del Sole:

\frac{P_r}{P_g} = \frac{a \, T^4}{3} / \frac{k T \rho}{m} = \frac{am T^3}{3 k \rho} \hspace{3cm}(1)\,.

Ricordando i valori tipici delle grandezze in questione per il Sole, si ottiene:

\frac{P_r}{P_g} \sim 10^{-4} \,.

Quindi, in un generico punto all’interno del Sole la pressione di radiazione è certamente trascurabile.

Riassumendo: senza alcuna conoscenza del processo di produzione di energia all’interno del Sole, siamo stati in grado di calcolare la sua temperatura interna, di dedurre che è composto (con ottima approssimazione) di un gas ideale di plasma e che la pressione di radiazione al suo interno è trascurabile.

 

Pressione di radiazione in funzione della massa

Attenti però che quel che vale per il Sole non è vero per tutte le stelle!

Vedremo subito che la pressione di radiazione è significativa nelle stelle di grande massa (image).

Nell’espressione del rapporto P_r / P_g data dalla equazione (1), sostituiamo la definizione della densità \rho in termini di massa e volume. Otteniamo immediatamente:

\frac{P_r}{P_g} = \frac{4 \pi m a }{9 k}\,\frac{R_{\odot}^3 \, T^3}{M_{\odot}} \,.

Dal teorema del Viriale, sappiamo che T \sim M_{\odot} / R_{\odot}\,, da cui ricaviamo che il rapporto fra la pressione di radiazione e la pressione del gas è proporzionale alla massa al quadrato.

Quindi, ci attendiamo che in stelle di grande massa la pressione di radiazione giochi un ruolo molto importante.

Sui gas non ideali: la distribuzione di Fermi-Dirac

Non sempre il materiale stellare è assimilabile a un gas perfetto.

Un modello di gas ideale non comprende la relatività speciale e la meccanica quantistica. Pertanto ci attendiamo che esso non sia più adeguato sia nel caso di alte velocità (alte temperature) che di alte densità.

La distribuzione di Fermi-Dirac:

f(E) = \frac{1}{A\exp^{E/kT}+1}\,,

dove E è l’energia, è una modificazione della distribuzione di Maxwell-Boltzmann:

f(E) = \frac{1}{A\exp^{E/kT}}\,,

coerentemente con l’assunzione del Principio di indeterminazione di Heisenberg e del Principio di esclusione di Pauli.

Quest’ultimo afferma che due fermioni (ad esempio: elettroni, protoni) non possono occupare il medesimo stato quantico. Una restrizione che dà origine ad un ulteriore termine di pressione, nel regime ad alta densità.

Confronto fra la distribuzione di Fermi-Dirac e la distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Fonte: M. Capaccioli.

Confronto fra la distribuzione di Fermi-Dirac e la distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Fonte: M. Capaccioli.


La distribuzione di Bose-Einstein:

La distribuzione di Bose-Einstein

f(E) = \frac{1}{A\exp^{E/kT}-1}\,,

si applica ai bosoni (ad esempio: fotoni).

In questo caso la presenza di una particella in uno stato quantico accresce la probabilità di trovare un’altra particella nello stesso stato.

Sia la distribuzione di Fermi-Dirac che quella di Bose-Einstein approssimano la funzione di Maxwell-Boltzmann ad alte energie.

Confronto fra la distribuzione di Bose-Enstein e le distribuzioni di Maxwell-Boltzmann e Fermi-Dirac. Fonte: M. Capaccioli.

Confronto fra la distribuzione di Bose-Enstein e le distribuzioni di Maxwell-Boltzmann e Fermi-Dirac. Fonte: M. Capaccioli.


Degenerazione elettronica

La degenerazione degli elettroni è una conseguenza del principio di esclusione di Pauli e del principio di indeterminazione di Heisenberg.

Consideriamo un gas di elettroni, e consideriamo (per iniziare) il caso non realistico in cui tutte le particelle abbiano lo stesso momento lineare.

Dall’integrale della pressione,

P = \frac{1}{3} \, \int_0^{\infty} v p n(p) dp \,,

dove v è la velocità delle particelle, \text p il momento e n(p) dp è il numero di particelle per unità di volume con momento nell’intervallo (p,p+dp\,).

In prima approssimazione, otteniamo
P \sim \frac{1}{3} n_e pv \,,

dove n_e è la densità di elettroni.

Degenerazione elettronica

In un sistema completamente ionizzato, gli elettroni formano un gas ad alta densità, con separazione media fra le particelle dell’ordine di \Delta x \sim n_e^{-1/3} \,.

Il principio di Heisenberg implica p \sim \delta p \sim \frac{h}{\Delta x} \sim h \, n_e^{1/3} \,.

Nel caso di ionizzazione completa, il numero di elettroni liberi è dato dal numero di protoni per il numero di elettroni per atomo. Quindi:

n_e = \left ( \frac{Z}{A} \right) \, \frac{\rho}{m_H} \,.

Il momento è dato quindi da:

p \simeq h \left[= \left ( \frac{Z}{A} \right) \, \frac{\rho}{m_H} \right]^{1/3} \,.

Per elettroni non relativistici (ossia, p = m v \,), abbiamo:

v = \frac{p}{m_e} = \frac{h}{m_e} \, n_e^{1/3} = \frac{h}{m_e} \left[ \left ( \frac{Z}{A} \right) \, \frac{\rho}{m_H} \right]^{1/3} \,.

Degenerazione elettronica

Sostituendo ora nell’espressione dell’integrale di pressione i vari termini che abbiamo calcolato, otteniamo l’espressione esplicita approssimata:

P \sim \frac{1}{3} n_e pv = \frac{1}{3}\, \frac{h^2}{m_e} \left[\left ( \frac{Z}{A} \right) \, \frac{\rho}{m_H} \right]^{5/3} \,.

L’espressione esatta è data da:

P = \frac{(3 \pi^2)^{2/3}}{5} \frac{1}{3}\, \frac{h^2}{m_e} \left[\left ( \frac{Z}{A} \right) \, \frac{\rho}{m_H} \right]^{5/3} \,.

Quindi la pressione di un gas degenere di elettroni dipende dalla densità, ma non dalla temperatura.

Domande: Perché gli elettroni hanno grandi momenti lineari mentre la temperatura è così bassa? (Suggerimento: si pensi ad una lauta eredità lasciata a un barbone con la clausola che nulla possa essere speso).

Perché i protoni sono degeneri ad alta temperatura?

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