In questa terza lezione sulla struttura stellare:
La terza equazione della struttura stellare stabilisce la relazione fra la produzione di energia ed il flusso di energia, a un dato raggio .
Consideriamo ancora una stella a simmetria sferica (nella quale, quindi, il trasporto di energia avviene radialmente), assumendo variazioni temporali trascurabili.
Il flusso di energia attraverso la superficie di raggio è dato dalla quantità: .
Consideriamo un guscio sferico di raggio , volume , e massa .
Definiamo la quantità , ossia l’energia rilasciata per unità di massa (misurata in W/kg).
La quantità di energia rilasciata nel guscio sferico elementare è data da:
.
La conservazione dell’energia implica che:
.
Dividendo per e nel limite . si ottiene l’equazione della produzione di energia:
.
Abbiamo quindi scritto tre equazioni, con cinque incognite: . Per progredire abbiamo bisogno ora di considerare l’equazione che descrive il trasporto di energia.
Finora abbiamo considerato le proprietà dinamiche delle stelle, e le condizioni fisiche medie della materia stellare.
Consideriamo ora la produzione di energia, ossia la conversione di energia da una forma non immediatamente disponibile all’energia luminosa irradiata da una stella.
Innanzitutto, stabiliamo l’ordine di grandezza dell’energia prodotta. In altre parole, quanto energia deve produrre il Sole per mantenere la luminosità costante durante la sua vita?
Ricordiamo che il flusso solare è: , e che il Sole non ha cambiato luminosità nell’ultimo miliardo di anni (Domanda: come lo sappiamo?). In tale arco di tempo l’astro ha irradiato circa .
Dall’equazione possiamo calcolare l’equivalente in massa di tale quantità di energia:
,
ossia dell’ordine di una parte su diecimila della massa totale dell’astro.
Domanda: da dove ha preso tutta questa energia?
Quale sono le possibili fonti di energia delle stelle?
Abbiamo le seguenti possibilità:
Raffreddamento e contrazione sono processi collegati e li consideriamo quindi congiuntamente.
Ipotizziamo che l’energia irradiata sia dovuta al fatto che il Sole fosse molto più caldo quando si era formato, e che si stia progressivamente raffreddando. Questa ipotesi può essere immediatamente verificata.
Domanda: si ipotizzi che il Sole sia stato molto più grande all’epoca della sua formazione. Dimostrare che l’energia rilasciata finora deve essere circa .
Ipotesi alternativa: il Sole si contrae lentamente, con conseguente rilascio di energia potenziale gravitazionale che è convertita in radiazione.
Si ricordi che l’energia potenziale gravitazionale di un sistema composto di due masse e è:
.
Se i due corpi si avvicinano, l’energia potenziale diminuisce (si ricordi che in un sistema legato l’energia potenziale è negativa).
In un sistema di raggio a simmetria sferica, la massa è data da:
.
La sua energia potenziale gravitazionale è:
.
Possiamo verificare che per una sfera omogenea ():
,
mentre per una sfera con una distribuzione della densità data dalla funzione
.
In un gas ideale l’energia termica media di una particella è data da
.
Se è la densità numerica di particelle, l’energia termica nel volume elementare è quindi:
.
Assumendo un gas ideale, con pressione di radiazione trascurabile, la pressione totale è , e quindi il teorema del Viriale assume la forma:
,
Dove è l’energia termica totale della stella.
In conclusione, l’opposto dell’energia potenziale gravitazionale è pari a due volte l’energia termica della stella.
Il teorema del viriale applicato a una sfera di gas ideale ci dimostra che l’energia termica posseduta dal Sole può sostenere il flusso attuale per un tempo che è la metà di quello ricavabile spendendo l’energia potenziale di contrazione dell’astro a parità di flusso.
Stimiamo quindi il tempo per il quale la contrazione del Sole può produrre l’energia irradiata.
In prima approssimazione, possiamo scrivere:
.
L’energia irradiata dal Sole avviene con tasso dato dalla luminosità . Pertanto, la contrazione può contribuire all’irraggiamneto della stella per un tempo dato dalla relazione:
.
La quantità è detta tempo scala termico o di Kelvin-Helmotz. Per il Sole, questo vale circa , largamente insufficiente a sostenere l’irraggiamento del Sole nell’arco della sua vita (4 miliardi e mezzo di anni circa).
Attenzione: neppure la contrazione gravitazionale non può essere la fonte di energia principale per la vita di una stella; essa è tuttavia una risorsa importante che entra in gioco, come vedremo, in alcune fasi della vita dell’astro, giocando talvolta un ruolo primario.
Le reazioni chimiche sono basate sull’interazione fra gli elettroni orbitali degli atomi. L’esempio più classico è l’ossidazione delle sostanze, che noi chiamiamo combustione.
Nella combustione di carburanti fossili, le reazioni chimiche rilasciano in energia una frazione pari a circa della massa del combustibile.
Esercizio: dimostrare la precedente affermazione, sapendo che la combustione del metano rilascia circa .
Possiamo facilmente escludere le reazioni chimiche come fonti di energia nel Sole. Infatti, le differenze di energia negli orbitali atomici sono dell’ordine degli elettron Volt (eV).
Assumendo che il Sole sia costituito di solo idrogeno, il numero di atomi di cui è composto è circa:
.
Se ogni atomo rilascia 10 eV, l’energia rilasciata dal Sole tramite reazioni chimiche è circa
.
Questo valore è circa 100 volte minore dell’energia potenziale disponibile, e basterebbe per mantenere il flusso attuale del Sole per un arco di tempo di circa , alla presente luminosità solare.
Le reazioni nucleari forniscono un modo per produrre la grande quantità di energia richiesta dalla luminosità delle stelle.
Esistono due tipi di reazioni nucleari: la fissione e la fusione.
Nella fissione nucleare viene rilasciata un’energia pari a circa della massa a riposo dei nuclei pesanti degli elementi chimici coinvolti (ad esempio: uranio).
Esercizio: l’idrogeno e l’elio hanno massa atomica rispettivamente e ; dimostrare che la fusione di 4 atomi di idrogeno in uno di elio può essere sufficiente a spiegare il bilancio energetico del Sole. Assumere che tutta la differenza di massa sia convertita in energia (si ignori la conversione di due protoni in neutroni).
Corollario: la massa dei nuclei è di solito espressa in unità di massa atomica, definita come della massa del .
Domanda #1: è possibile mostrare che, almeno in linea di principio, anche la fissione nucleare potrebbe spiegare l’irraggiamento del Sole. Quali dei due processi nucleari è più probabile che abbia luogo nelle stelle?
Domanda #2: dati i limiti ottenuti da noi sulla pressione e la temperatura nell’interno del Sole, ci sono al centro delle stelle le condizioni fisiche per la fusione nucleare?
Come vedremo ora, in accordo con la fisica classica, la fusione nucleare dovrebbe essere un processo molto raro.
Infatti la forza di repulsione fra particelle con carica elettrica di egual segno cresce vertiginosamente a piccole distanze, in accordo con il potenziale di Coulomb:
.
I nuclidi possono stare insieme perché a scale di lunghezza dell’ordine di la forza nucleare forte, che è attrattiva, diventa dominante. Il problema, nella fusione, è che bisogna superare la barriera coulombiana prima di poter raggiungere queste minuscole distanze (noto come problema di Eddington).
Cominciamo allora con il calcolare quanta energia cinetica (ossia, quale temperatura del gas) sia necessaria per superare la barriera determinata dal potenziale di Coulomb.
Esercizio: dimostrare che il superamento della barriera richiede una temperatura pari a:
.
Se un gas è all’equilibrio termico, alla temperatura , i moduli delle velocità degli atomi sono distribuiti secondo la funzione di distribuzione di Maxwell-Boltzmann: il numero di particelle del gas con velocità fra e è:
.
La velocità più probabile è , corrispondente al picco della funzione di distribuzione.
L’energia cinetica media è data da:
.
La risposta al problema posto da sir Arthur Eddington (come due protoni possono superare la repulsione della barriera di Coulomb) viene dalla meccanica quantistica.
Il principio di indeterminazione di Heisenberg afferma che e posizione e momento di una particella non possono essere definiti simultaneamente con precisione assoluta:
.
L’incertezza nella posizione implica che, se due protoni sono vicini abbastanza, allora c’è qualche probabilità che essi siano localizzati entro la barriera di Coulomb: questo fenomeno è noto come effetto tunnel.
L’efficacia del fenomeno dipende dal momento delle particelle.
In prima approssimazione, si può mostrare che l’effetto tunnel è possibile quando la separazione di due protoni è dell’ordine della lunghezza d’onda di De Broglie:
.
Quale temperatura è richiesta affinché due protoni si avvicinino entro una lunghezza d’onda di de Broglie? ?
Deve essere soddisfatta la seguente condizione:
dove è proprio la lunghezza di de Broglie.
La fusione è quindi posibile se la temperatura verifica la condizione:
Per due protoni, questa è circa .
Pertanto non è necessario che la separazione di due protoni sia dell’ordine di .
Esercizio: valutare per i protoni alla tipica temperatura interna del Sole.
Nota: la probabilità che 4 atomi di idrogeno si trovino entro una piccola separazione per fondersi in un atomo di elio è bassa. La fusione nucleare deve avvenire necessariamente attraverso una catena di reazioni più semplici e probabili.
Il tasso di produzione di energia nucleare è legato al tasso delle collisioni fra nuclei.
In generale, si approssima l’equazione del tasso di reazioni nucleari con una legge di potenza su un dato intervallo di temperature:
.
dove ed sono le frazioni di massa delle particelle coinvolte.
Il parametro vale circa 1 per interazioni fra due particelle; il parametro può assumere un ampio intervallo di valori.
Se ogni reazione nucleare rilascia un’energia , allora la quantità di energia rilasciata dalla stella per unità di massa è:
.
Sommando su tutte le reazioni possibili, otteniamo il contributo dei processi di fusione nucleare alla grandezza nella quinta equazione della struttura stellare:
.
Ci sono tre modalità di trasporto dell’energia nelle stelle:
Conduzione e irraggiamento sono processi fondamentalmente simili: entrambi coinvolgono scambi energetici attraverso l’interazione diretta fra particelle o fra particelle e fotoni.
La domanda che ci poniamo è: quali di questi processi è quello dominante nelle stelle?
Possiamo verificare che l’energia trasportata dai fotoni è paragonabile all’energia cinetica degli elettroni liberi.
Esercizio: mostrare che nel Sole la densità di particelle è superiore a quella dei fotoni (suggerimento: si considerino sia particelle che fotoni medi).
Il risultato dell’esercizio parrebbe implicare che la conduzione sia un processo più efficace rispetto all’irraggiamento, per via del numero dei portatori.
Ma le particelle hanno un range di azione molto minore di quello dei fotoni come dimostra la valutazione dei diversi cammini liberi medi:
Pertanto i fotoni forniscono un mezzo di trasporto dell’energia fra regioni a diversa temperatura più efficiente delle particelle.
In conclusione: la conduzione è trascurabile rispetto all’irraggiamento.
La luminosità del Sole, ossia l’energia rilasciata dal sole nell’unità di tempo, è: .
Definizione di costante solare: per simmetria sferica, la densità di energia alla distanza dell’orbita della Terra è pari a .
Il 40% dell’energia solare è emessa nella regione visibile dello spettro elettromagnetico.
L’energia tipica di un fotone nel visibile è pari .
Il flusso del Sole nel visibile è pari a .
Il 70% della luce visibile del Sole passa attraverso l’atmosfera (allo zenith).
Dettagli della superficie solare. Risoluzione: 100 km. Grandezze dei granuli: 1000 km. Crediti: Swedish Solar Telescope.
La convezione è il moto ascensionale/discensionale della materia all’interno di un gas, e avviene quando il gradiente di temperatura supera un valore critico.
Consideriamo un elemento convettivo a distanza dal centro della stella, in equilibrio con le regioni circostanti. Lo chiameremo “bolla”.
Supponiamo che la bolla si muova verso l’alto e raggiunga la posizione dove le condizioni fisiche sono diverse da quelle di partenza. La bolla si espande: la sua pressione diventa e la sua densità .
Questi nuovi valori di densità e pressione possono essere differenti da quelli propri della regione circostante il luogo raggiunto dalla bolla (diventerebbero se medesime se ci fosse tempo sufficiente per scambiare energia tra bolla e ambiente).
Se la bolla è più densa, essa tornerà in basso, se meno densa continuerà salire: diremo allora che è convettivamente instabile.
La condizione di instabilità convettiva è:
.
Due sono i fattori per cui essa può essere soddisfatta:
Facciamo due ipotesi:
La seconda ipotesi implica che, durante il moto, le onde sonore hanno tempo di annullare le differenze di pressione tra la bolla e l’ambiente circostante. Pertanto .
La prima implica che l’elemento di massa obbedisca alla relazione adiabatica fra pressione e volume: . Ricordiamoci che il parametro è il rapporto fra il calore specifico a pressione costante ed il calore specifico a volume costante.
Dato che la densità varia in modo inversamente proporzionale al volume, ne segue che:
.
Eguagliando le quantità al raggio , si ottiene:
.
Dato che è piccolo, possiamo espandere usando il teorema binomiale:
.
Combinando le ultime due espressioni, otteniamo:
.
Dobbiamo ora valutare la variazione di densità nell’ambiente, .
Per una salita infinitesima risulta:
.
2. Grandezze osservabili: luminosità e distanza delle stelle
3. Grandezze osservabili: gli spettri
6. La struttura delle stelle - Parte Prima
7. Struttura delle stelle - Parte Seconda
8. Struttura delle stelle - Parte terza
9. Profondità ottica e trasferimento radiativo
10. I processi nucleari nelle stelle
12. Il Sole
15. Evoluzione stellare post-sequenza principale
16. Evoluzione post Sequenza Principale - Parte Seconda
18. Il destino delle stelle massive: le supernovae
19. Le nane bianche
21. I buchi neri