Vai alla Home Page About me Courseware Federica Living Library Federica Federica Podstudio Virtual Campus 3D Le Miniguide all'orientamento Gli eBook di Federica La Corte in Rete
 
 
Il Corso Le lezioni del Corso La Cattedra
 
Materiali di approfondimento Risorse Web Il Podcast di questa lezione

Massimo Capaccioli » 8.Struttura delle stelle - Parte terza


Contenuto della lezione

In questa terza lezione sulla struttura stellare:

  • studieremo l’equazione della produzione di energia;
  • esamineremo le diverse fonti di energia e verificheremo quali di queste sono all’opera nel centro delle stelle;
  • concluderemo che solo l’energia nucleare soddisfa i requisiti posti;
  • discuteremo il trasporto dell’energia;
  • discuteremo sotto quali condizioni la convezione è dominante rispetto al trasposto radiativo.

Equazione della produzione di energia

La terza equazione della struttura stellare stabilisce la relazione fra la produzione di energia ed il flusso di energia, a un dato raggio r.

Consideriamo ancora una stella a simmetria sferica (nella quale, quindi, il trasporto di energia avviene radialmente), assumendo variazioni temporali trascurabili.

Il flusso di energia attraverso la superficie di raggio r è dato dalla quantità: L(r) \,.

Consideriamo un guscio sferico di raggio \delta r \,, volume \delta V = 4 \pi r^2 \delta r \,, e massa \delta m = 4 \pi r^2 \rho (r) \, \delta r \,.

Produzione di energia nel guscio sferico al raggio  r. Fonte M. Capaccioli

Produzione di energia nel guscio sferico al raggio r. Fonte M. Capaccioli


Equazione della produzione di energia

Definiamo la quantità \epsilon (r) \,, ossia l’energia rilasciata per unità di massa (misurata in W/kg).

La quantità di energia rilasciata nel guscio sferico elementare è data da:

4 \pi r^2 \rho (r) \, \epsilon (r) \, \delta r \,.

La conservazione dell’energia implica che:

L(r + \delta r) - L(r) = 4 \pi r^2 \rho (r) \, \epsilon (r) \, \delta r \,.

Dividendo per \delta r e nel limite \delta r \rightarrow 0\,. si ottiene l’equazione della produzione di energia:

\frac{d L(r)}{d r} = = 4 \pi r^2 \rho (r) \, \epsilon (r) \, \delta r \,.

Abbiamo quindi scritto tre equazioni, con cinque incognite: P(r), M(r), L(r), \rho (r), \epsilon(r)\, \,. Per progredire abbiamo bisogno ora di considerare l’equazione che descrive il trasporto di energia.

Produzione di energia nelle stelle

Finora abbiamo considerato le proprietà dinamiche delle stelle, e le condizioni fisiche medie della materia stellare.

Consideriamo ora la produzione di energia, ossia la conversione di energia da una forma non immediatamente disponibile all’energia luminosa irradiata da una stella.

Innanzitutto, stabiliamo l’ordine di grandezza dell’energia prodotta. In altre parole, quanto energia deve produrre il Sole per mantenere la luminosità costante durante la sua vita?

Ricordiamo che il flusso solare è: L_{\odot} = 4 \times 10^{26} \, {\rm W} \,, e che il Sole non ha cambiato luminosità nell’ultimo miliardo di anni (Domanda: come lo sappiamo?). In tale arco di tempo l’astro ha irradiato circa 1.2 \times 10^{43} {\rm erg} \, {\rm J} \,.

Dall’equazione E = M \, c^2 possiamo calcolare l’equivalente in massa di tale quantità di energia:

M_{\rm lost} = 10^{26} \, kg \simeq 10^{-4} \, M_{\odot} \,,

ossia dell’ordine di una parte su diecimila della massa totale dell’astro.

Domanda: da dove ha preso tutta questa energia?

Fonti di energia

Quale sono le possibili fonti di energia delle stelle?

Abbiamo le seguenti possibilità:

  1. energia potenziale gravitazionale, rilasciata quando la stella si contrae;
  2. energia chimica, rilasciata da reazioni chimiche in cui gli atomi si combinano a formare composti;
  3. energia nucleare, rilasciata in conseguenza di reazioni in cui i nuclei si fondono per dar vita a forme più complesse.

Raffreddamento e contrazione

Raffreddamento e contrazione sono processi collegati e li consideriamo quindi congiuntamente.

Ipotizziamo che l’energia irradiata sia dovuta al fatto che il Sole fosse molto più caldo quando si era formato, e che si stia progressivamente raffreddando. Questa ipotesi può essere immediatamente verificata.

Domanda: si ipotizzi che il Sole sia stato molto più grande all’epoca della sua formazione. Dimostrare che l’energia rilasciata finora deve essere circa \Delta U \sim 2 \times 10^{41} {\rm J} \,.

Ipotesi alternativa: il Sole si contrae lentamente, con conseguente rilascio di energia potenziale gravitazionale che è convertita in radiazione.

Si ricordi che l’energia potenziale gravitazionale di un sistema composto di due masse M e m è:

U = - G \frac{M m}{r} \,.

Se i due corpi si avvicinano, l’energia potenziale diminuisce (si ricordi che in un sistema legato l’energia potenziale è negativa).

Energia potenziale per una sfera simmetrica

In un sistema di raggio r a simmetria sferica, la massa è data da:

M(r) = 4 \pi \, \int_0^r \rho(s) s^2 ds \,.

La sua energia potenziale gravitazionale è:

U = - G \, \int_0^R \frac{M(r) \, 4 \pi r^2 \rho(r) }{r} dr = -G (4 \pi)^2 \, \int_0^R \, \frac{\left( \int_0^r s^2 \rho(s) ds \right) \, \left( r^2 \rho(r) dr \right)}{r} \,.

Possiamo verificare che per una sfera omogenea (\rho(r ) = \rho_0):

U = - \frac{3}{5}G{M^2}{R} \,,

mentre per una sfera con una distribuzione della densità data dalla funzione  \rho(r ) = \rho_0 r^{-\alpha}:

U = - \frac{9G}{(3-\alpha)(5 - 2 \alpha)} \, \frac{M^2}{R^{1+2 \alpha}} \,.

Sistema a simmetria sferica. Fonte M. Capaccioli.

Sistema a simmetria sferica. Fonte M. Capaccioli.


Raffreddamento e contrazione in un gas ideale

In un gas ideale l’energia termica media di una particella è data da

\frac{3}{2} k T \,.

Se n è la densità numerica di particelle, l’energia termica nel volume elementare dV è quindi:

d U = \frac{3}{2} n \, k T dV \,.

Assumendo un gas ideale, con pressione di radiazione trascurabile, la pressione totale è P = n k T, e quindi il teorema del Viriale assume la forma:

3 \int_0^{V_s} n k T dV + \Omega = 0 \Rightarrow \, 2U + \Omega = 0 \,,

Dove U è l’energia termica totale della stella.

In conclusione, l’opposto dell’energia potenziale gravitazionale è pari a due volte l’energia termica della stella.

Raffreddamento e contrazione in un gas ideale

Il teorema del viriale applicato a una sfera di gas ideale ci dimostra che l’energia termica posseduta dal Sole può sostenere il flusso attuale per un tempo che è la metà di quello ricavabile spendendo l’energia potenziale di contrazione dell’astro a parità di flusso.

Stimiamo quindi il tempo per il quale la contrazione del Sole può produrre l’energia irradiata.

In prima approssimazione, possiamo scrivere:

- \Omega \sim \frac{G M_{\odot}}{2 R_{\odot}}\,.

L’energia irradiata dal Sole avviene con tasso dato dalla luminosità L_{\odot} \,. Pertanto, la contrazione può contribuire all’irraggiamneto della stella per un tempo dato dalla relazione:

t_{\rm th} \sim \frac{G M_{\odot}}{R_{\odot} L_{\odot}} \,.

La quantità t_{\rm th} è detta tempo scala termico o di Kelvin-Helmotz. Per il Sole, questo vale circa t_{\rm th} \sim 3 \times 10^7 {\rm anni} \,, largamente insufficiente a sostenere l’irraggiamento del Sole nell’arco della sua vita (4 miliardi e mezzo di anni circa).

Attenzione: neppure la contrazione gravitazionale non può essere la fonte di energia principale per la vita di una stella; essa è tuttavia una risorsa importante che entra in gioco, come vedremo, in alcune fasi della vita dell’astro, giocando talvolta un ruolo primario.

Energia chimica

Le reazioni chimiche sono basate sull’interazione fra gli elettroni orbitali degli atomi. L’esempio più classico è l’ossidazione delle sostanze, che noi chiamiamo combustione.

Nella combustione di carburanti fossili, le reazioni chimiche rilasciano in energia una frazione pari a circa 5 \times 10^{-10} \, della massa del combustibile.

Esercizio: dimostrare la precedente affermazione, sapendo che la combustione del metano rilascia circa 5 \times 10^7 {\rm J\, Kg}^{-1}\,.

Possiamo facilmente escludere le reazioni chimiche come fonti di energia nel Sole. Infatti, le differenze di energia negli orbitali atomici sono dell’ordine degli elettron Volt (eV).

Assumendo che il Sole sia costituito di solo idrogeno, il numero di atomi di cui è composto è circa:

n = \frac{M_{\odot}}{m_H} = 1.2 \times 10^{57} \,.

Se ogni atomo rilascia 10 eV, l’energia rilasciata dal Sole tramite reazioni chimiche è circa

10^{58} {\rm eV} = 10^{39} {\rm J} \,.

Questo valore è circa 100 volte minore dell’energia potenziale disponibile, e basterebbe per mantenere il flusso attuale del Sole per un arco di tempo di circa 10^5 {\rm anni} \,, alla presente luminosità solare.

Reazioni nucleari

Le reazioni nucleari forniscono un modo per produrre la grande quantità di energia richiesta dalla luminosità delle stelle.

Esistono due tipi di reazioni nucleari: la fissione e la fusione.

Nella fissione nucleare viene rilasciata un’energia pari a circa 5 \times 10^{-4} della massa a riposo dei nuclei pesanti degli elementi chimici coinvolti (ad esempio: uranio).

Esercizio: l’idrogeno e l’elio hanno massa atomica rispettivamente {\rm H} = 1.008172$$ e {\rm He}_4 = 4.003875 \,; dimostrare che la fusione di 4 atomi di idrogeno in uno di elio può essere sufficiente a spiegare il bilancio energetico del Sole. Assumere che tutta la differenza di massa sia convertita in energia (si ignori la conversione di due protoni in neutroni).

Corollario: la massa dei nuclei è di solito espressa in unità di massa atomica, definita come 1/12 della massa del C_{12} \,.

Domanda #1: è possibile mostrare che, almeno in linea di principio, anche la fissione nucleare potrebbe spiegare l’irraggiamento del Sole. Quali dei due processi nucleari è più probabile che abbia luogo nelle stelle?

Domanda #2: dati i limiti ottenuti da noi sulla pressione e la temperatura nell’interno del Sole, ci sono al centro delle stelle le condizioni fisiche per la fusione nucleare?

 

La repulsione di Coulomb

Come vedremo ora, in accordo con la fisica classica, la fusione nucleare dovrebbe essere un processo molto raro.

Infatti la forza di repulsione fra particelle con carica elettrica di egual segno cresce vertiginosamente a piccole distanze, in accordo con il potenziale di Coulomb:

U =- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \ , \frac{Z_1 Z_2 e^2}{r} \,.

I nuclidi possono stare insieme perché a scale di lunghezza dell’ordine di 10^{-15} {\rm m}\, la forza nucleare forte, che è attrattiva, diventa dominante. Il problema, nella fusione, è che bisogna superare la barriera coulombiana prima di poter raggiungere queste minuscole distanze (noto come problema di Eddington).

Cominciamo allora con il calcolare quanta energia cinetica (ossia, quale temperatura del gas) sia necessaria per superare la barriera determinata dal potenziale di Coulomb.

Esercizio: dimostrare che il superamento della barriera richiede una temperatura pari a:

T = Z_1 Z_2 \times T^{10} \, {\rm K}\,.

Potenziale dell’interazione fra due protoni, dato dalla somma del potenziale elettrostatico di Coulomb e della forza nucleare forte, attrattiva e dominante a piccole distanze. Fonte: M. Capaccioli.

Potenziale dell'interazione fra due protoni, dato dalla somma del potenziale elettrostatico di Coulomb e della forza nucleare forte, attrattiva e dominante a piccole distanze. Fonte: M. Capaccioli.


Nozioni di meccanica statistica

Se un gas è all’equilibrio termico, alla temperatura T \,, i moduli delle velocità degli atomi sono distribuiti secondo la funzione di distribuzione di Maxwell-Boltzmann: il numero di particelle del gas con velocità fra v e v+dv è:

N_v \, dv = N \left( \frac{m}{2 \pi k T} \right) \, e^{-\frac{mv^2}{kT}} \, 4 \pi v^2 \, dv\,.

La velocità più probabile è v^2 = 2 \frac{2 kT}{m} \,, corrispondente al picco della funzione di distribuzione.

L’energia cinetica media è data da:

\frac{1}{2} m {\bar {v}^2} = \frac{3}{2} k T \,.

Funzione di distribuzione di Maxwell-Boltzmann per due diversi valori della temperatura di equilibrio. Fonte M. Capaccioli.

Funzione di distribuzione di Maxwell-Boltzmann per due diversi valori della temperatura di equilibrio. Fonte M. Capaccioli.


Effetto tunnel quantistico

La risposta al problema posto da sir Arthur Eddington (come due protoni possono superare la repulsione della barriera di Coulomb) viene dalla meccanica quantistica.

Il principio di indeterminazione di Heisenberg afferma che e posizione e momento di una particella non possono essere definiti simultaneamente con precisione assoluta:

\Delta p \, \Delta x \geq \frac{h}{2}\,.10^{-15} \, \mbox{m}\,

L’incertezza nella posizione implica che, se due protoni sono vicini abbastanza, allora c’è qualche probabilità che essi siano localizzati entro la barriera di Coulomb: questo fenomeno è noto come effetto tunnel.

L’efficacia del fenomeno dipende dal momento delle particelle.

In prima approssimazione, si può mostrare che l’effetto tunnel è possibile quando la separazione di due protoni è dell’ordine della lunghezza d’onda di De Broglie:

\lamda_{\rm dB} \equiv \frac{h}{p} = \frac{h}{\mu v} = \frac{h}{sqrt{3kT \mu}} \,.

Effetto tunnel quantistico

Quale temperatura è richiesta affinché due protoni si avvicinino entro una lunghezza d’onda di de Broglie? ?

Deve essere soddisfatta la seguente condizione:

image

dove r è proprio la lunghezza di de Broglie.

La fusione è quindi posibile se la temperatura verifica la condizione:

image

Per due protoni, questa è circa 10^7 \, \mbox{K}\,.

Pertanto non è necessario che la separazione di due protoni sia dell’ordine di 10^{-15} \, \mbox{m}\,.

Esercizio: valutare \lambda{\rm dB} per i protoni alla tipica temperatura interna del Sole.

Nota: la probabilità che 4 atomi di idrogeno si trovino entro una piccola separazione per fondersi in un atomo di elio è bassa. La fusione nucleare deve avvenire necessariamente attraverso una catena di reazioni più semplici e probabili.

Reazioni nucleari: tasso di collisioni

Il tasso di produzione di energia nucleare è legato al tasso delle collisioni fra nuclei.

In generale, si approssima l’equazione del tasso di reazioni nucleari con una legge di potenza su un dato intervallo di temperature:

r_{ix} = r_0 X_i X_x \rho^{1+\alpha} \, T^{\beta} \,.

dove X_i ed X_x sono le frazioni di massa delle particelle coinvolte.

Il parametro \alpha vale circa 1 per interazioni fra due particelle; il parametro \beta può assumere un ampio intervallo di valori.

 

Schema per il tasso di collissioni fra nuclei. Fonte M. Capaccioli.

Schema per il tasso di collissioni fra nuclei. Fonte M. Capaccioli.


Quinta equazione della struttura stellare

Se ogni reazione nucleare rilascia un’energia L \,, allora la quantità di energia rilasciata dalla stella per unità di massa è:

\epsilon_{ix} = \epsilon_0 X_i X_x \rho^{1+\alpha} \, T^{\beta} \,.

Sommando su tutte le reazioni possibili, otteniamo il contributo dei processi di fusione nucleare alla grandezza \epsilon nella quinta equazione della struttura stellare:

\frac{dL}{dt} = 4 \pi r^ \epsioln dr \,.

Trasposto dell’energia

Ci sono tre modalità di trasporto dell’energia nelle stelle:

  1. convezione: trasporto dell’energia per mezzo di moti del gas;
  2. conduzione: trasposto per mezzo di scambio di energia negli urti fra particelle (in genere, elettroni);
  3. irraggiamento: trasporto attraverso i processi di emissione ed assorbimento di fotoni.

Conduzione e irraggiamento sono processi fondamentalmente simili: entrambi coinvolgono scambi energetici attraverso l’interazione diretta fra particelle o fra particelle e fotoni.

La domanda che ci poniamo è: quali di questi processi è quello dominante nelle stelle?

Confronto fra conduzione e irraggiamento

Possiamo verificare che l’energia trasportata dai fotoni è paragonabile all’energia cinetica degli elettroni liberi.

Esercizio: mostrare che nel Sole la densità di particelle è superiore a quella dei fotoni (suggerimento: si considerino sia particelle che fotoni medi).

Il risultato dell’esercizio parrebbe implicare che la conduzione sia un processo più efficace rispetto all’irraggiamento, per via del numero dei portatori.

Ma le particelle hanno un range di azione molto minore di quello dei fotoni come dimostra la valutazione dei diversi cammini liberi medi:

  • cammino libero medio dei fotoni: \sim 10^{-2} \mbox{m}\,;
  • cammino libero medio delle particelle (elettroni: perché?): \sim 10^{-10} \mbox{m}\,.

Pertanto i fotoni forniscono un mezzo di trasporto dell’energia fra regioni a diversa temperatura più efficiente delle particelle.

In conclusione: la conduzione è trascurabile rispetto all’irraggiamento.

Il trasporto di energia: alcuni numeri

La luminosità del Sole, ossia l’energia rilasciata dal sole nell’unità di tempo, è: 3.83\times10^{33} \mbox{erg\, s}^{-1}\,.

Definizione di costante solare: per simmetria sferica, la densità di energia alla distanza dell’orbita della Terra è pari a 1.37\times 10^6 \, \mbox{erg\, cm}^{-2}\mbox{s}^{-1} \,.

Il 40% dell’energia solare è emessa nella regione visibile dello spettro elettromagnetico.

L’energia tipica di un fotone nel visibile è pari E = h_ = 4.00 \times 10^{-12} \, \mbox{erg}\,.

Il flusso del Sole nel visibile è pari a 1.37 \times 10^{17} \, \mbox{fotoni \, cm}^{-2} \mbox{s}^{-1} \,.

Il 70% della luce visibile del Sole passa attraverso l’atmosfera (allo zenith).

Dettagli della superficie solare.

Dettagli della superficie solare. Risoluzione: 100 km. Grandezze dei granuli: 1000 km. Crediti: Swedish Solar Telescope.

Dettagli della superficie solare. Risoluzione: 100 km. Grandezze dei granuli: 1000 km. Crediti: Swedish Solar Telescope.


La convezione

La convezione è il moto ascensionale/discensionale della materia all’interno di un gas, e avviene quando il gradiente di temperatura supera un valore critico.

Consideriamo un elemento convettivo a distanza r dal centro della stella, in equilibrio con le regioni circostanti. Lo chiameremo “bolla”.

Supponiamo che la bolla si muova verso l’alto e raggiunga la posizione r+\delta r dove le condizioni fisiche sono diverse da quelle di partenza. La bolla si espande: la sua pressione diventa P - \delta P e la sua densità \rho - \delta \rho \,.

Questi nuovi valori di densità e pressione possono essere differenti da quelli propri della regione circostante il luogo raggiunto dalla bolla (diventerebbero se medesime se ci fosse tempo sufficiente per scambiare energia tra bolla e ambiente).

Se la bolla è più densa, essa tornerà in basso, se meno densa continuerà salire: diremo allora che è convettivamente instabile.

Elemento convettivo in moto all’interno della stella. Fonte: M. Capaccioli.

Elemento convettivo in moto all'interno della stella. Fonte: M. Capaccioli.


Convezione

La condizione di instabilità convettiva è:

\rho - \delta \rho < \rho - \Delta \rho \,.

Due sono i fattori per cui essa può essere soddisfatta:

  • il tasso al quale l’elemento si espande in base alla diminuzione della pressione;
  • il tasso con il quale la densità dell’ambiente circostante decresce con l’altezza.

Facciamo due ipotesi:

  1. la bolla sale in modo adiabatico, e
  2. si muove a una velocità minore di quella del suono.

La seconda ipotesi implica che, durante il moto, le onde sonore hanno tempo di annullare le differenze di pressione tra la bolla e l’ambiente circostante. Pertanto \delta P = \Delta P \,.

La prima implica che l’elemento di massa obbedisca alla relazione adiabatica fra pressione e volume: P V^{\gamma} = \mbox{cost} \,. Ricordiamoci che il parametro \gamma = c_P / c_V è il rapporto fra il calore specifico a pressione costante ed il calore specifico a volume costante.

Convezione

Dato che la densità varia in modo inversamente proporzionale al volume, ne segue che:

\frac{P}{\rho^{\gamma}} = \mbox{cost} \,.

Eguagliando le quantità al raggio r - \delta r \,, si ottiene:

\frac{P - \delta P}{(\rho - \delta \rho)^{\gamma}} = \frac{P}{\delta \rho^{\gamma}} \,.

Dato che \delta \rho è piccolo, possiamo espandere (\rho - \delta \rho)^{\gamma} usando il teorema binomiale:

(\rho - \delta \rho)^{\gamma} \sim \rho^{\gamma} - \gamma \rho6{\gamma-1} \delta \rho\,.

Combinando le ultime due espressioni, otteniamo:

\delta \rho = \frac{\rho}{\gamma P} \, \delta P \,.

Dobbiamo ora valutare la variazione di densità nell’ambiente, \Delta \rho.
Per una salita infinitesima \delta r risulta:

\Delta \rho = \frac{d \rho}{d r} \, \delta r \,.

  • Contenuti protetti da Creative Commons
  • Feed RSS
  • Condividi su FriendFeed
  • Condividi su Facebook
  • Segnala su Twitter
  • Condividi su LinkedIn
Progetto "Campus Virtuale" dell'Università degli Studi di Napoli Federico II, realizzato con il cofinanziamento dell'Unione europea. Asse V - Società dell'informazione - Obiettivo Operativo 5.1 e-Government ed e-Inclusion